[Teoria dei Segnali] Densità spettrale per segnali di energia e potenza
Si consideri un sistema LTI avente risposta impulsiva $h(t) = \frac{1}{\pit}$ e siano $x(t)$ e $y(t)$ generici segnali (deterministici o aleatori, di energia o di potenza) rispettivamente di ingresso e di uscita.
La risposta in frequenza è dunque $H(f) = -jsign(f)$.
Siano $r_x(\tau)$, $r_y(\tau)$ e $r_h(\tau)$ le funzioni di autocorrelazione dei segnali citati e $S_x(f)$, $S_h(f)$, $S_y(f)$ le rispettive trasformate di Fourier, ossia le densità spettrali.
Una proprietà dei sistemi LTI è che $r_y(\tau) = r_h(\tau) \ast r_x(\tau)$, ossia in frequenza $S_y(\tau) = S_h(\tau)S_x(\tau)$.
Si sa che:
-per segnali di energia risulta che $S_h(f) = |H(f)|^2$
-per segnali di potenza aperiodici risulta che $S_h(f) = \lim_{T->\infty} \frac{|H_T(f)|^2}{T}$, dove $H_T(f)$ è la trasformata di Fourier di $h(t)\Pi(t/T)$.
Nel mio caso, sulle dispense viene scritto che
$S_y(f) = |-jsign(f)|^2S_x(f)$
ma, essendo $h(t)$ un segnale di potenza, perchè utilizza la formula per segnali di energia?
La risposta in frequenza è dunque $H(f) = -jsign(f)$.
Siano $r_x(\tau)$, $r_y(\tau)$ e $r_h(\tau)$ le funzioni di autocorrelazione dei segnali citati e $S_x(f)$, $S_h(f)$, $S_y(f)$ le rispettive trasformate di Fourier, ossia le densità spettrali.
Una proprietà dei sistemi LTI è che $r_y(\tau) = r_h(\tau) \ast r_x(\tau)$, ossia in frequenza $S_y(\tau) = S_h(\tau)S_x(\tau)$.
Si sa che:
-per segnali di energia risulta che $S_h(f) = |H(f)|^2$
-per segnali di potenza aperiodici risulta che $S_h(f) = \lim_{T->\infty} \frac{|H_T(f)|^2}{T}$, dove $H_T(f)$ è la trasformata di Fourier di $h(t)\Pi(t/T)$.
Nel mio caso, sulle dispense viene scritto che
$S_y(f) = |-jsign(f)|^2S_x(f)$
ma, essendo $h(t)$ un segnale di potenza, perchè utilizza la formula per segnali di energia?
Risposte
Il problema qui e' che gli integrali non convergono. Quelli che sono nelle definizioni di segnale di energia e potenza.
$$ {\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}|x(t)|^{2}dt,\quad }$$
$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }|x(t)|^{2}dt}$$
Quindi nessuna delle due definizioni si applica al segnale $x(t) = 1/t$
$$ {\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}|x(t)|^{2}dt,\quad }$$
$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }|x(t)|^{2}dt}$$
Quindi nessuna delle due definizioni si applica al segnale $x(t) = 1/t$
Quindi si conclude che $1/t$ non è né di energia e né di potenza.
Ma alla domanda del post come si risponde dunque?
Ma alla domanda del post come si risponde dunque?
Infatti esistono segnali a energia infinita ma a potenza zero (finita ma zero). Nel calcolo dello spettro di potenza o di energia in uscita da un sistema si moltiplica lo spettro di ingresso per il modulo quadro della fdt del sistema. Sembra quindi corretta l’espressione di calcolo per $Sy(f)$, infatti per un segnale di ingresso a potenza costante vale:
$Sy(f)=\lim_{T \to ∞} \frac{|Y_{T}(f)|^2}{2T}=\lim_{T \to ∞} \frac{|X_{T}(f)|^2\cdot |H(f)|^2}{2T}=Sx(f)\cdot |H(f)|^2$
$Sy(f)=\lim_{T \to ∞} \frac{|Y_{T}(f)|^2}{2T}=\lim_{T \to ∞} \frac{|X_{T}(f)|^2\cdot |H(f)|^2}{2T}=Sx(f)\cdot |H(f)|^2$
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