[Teoria dei Segnali] Convoluzione di costanti
Salve a tutti ho questo esercizio e mi sono iniziati a salire dei dubbi sulla circonvoluzione, in particolare la convoluzione di due constanti.
L'esercizio mi chiede di stabilire se il seguente sistema:
$ y(t)=x(t)** x(-t) $
Rispetta le seguenti proprietà: linearità, tempo invarianza, causalità, istantaneità e stabilità.
Dall'applicazione delle proprietà ho definito che il sistema è non lineare, tempo variante, non causale e non istantaneo.
la mia difficoltà sta nello stabilire la stabilità
Ho pensato ingenuamente che se definisco che se l'ingresso è limitato allora anche l'uscita sarà limitata:
$ |x(t)|
Però poi ho riflettuto che se in ingresso ci fosse un $ x(t)=u(t) $ l'uscita diverge perché leggendo su internet se la convoluzione con se stesso è pari ad una rampa cioè $ u(t)**u(t)=t $, allora la convoluzione con se stesso non ribaltato genererebbe un uscita meno infinita o sbaglio?
Cioè se non sto sparando cazzate:
$ u(t)**u(-t)=int_(+oo)^(t) u(tau)u(tau-t) d tau = int_(+oo)^(t) d tau =[t]_(+oo)^(t)=t-oo=-oo $
E' un assurdo?
Adesso consideranto due segnali costanti $x_(1)(t)=2$ e $x_(2)(t)=2$ e li considero come:
$x_(1)(t)=2u(t)+2u(-t)$ e $x_(2)(t)=2u(t)+2u(-t)$ e faccio la convoluzione otterrei:
$ y(t)=x_(1)(t)**x_(2)(t)= [2u(t)+2u(-t)]**[2u(t)+2u(-t)]= 8u(t)**u(-t)+4u(t)**u(t)+4u(-t)**u(-t)= t-t +?$
Il punto interrogativo è relativo al problema che non ho capito quanto fa $ u(t)**u(-t) $ potete aiutarmi?
Mi sto scervellando ma non riesco a capire è possibile fare questo conto?
In definitiva sto sistema ha una risposta stabile o no?
Grazie mille a tutti in anticipo
L'esercizio mi chiede di stabilire se il seguente sistema:
$ y(t)=x(t)** x(-t) $
Rispetta le seguenti proprietà: linearità, tempo invarianza, causalità, istantaneità e stabilità.
Dall'applicazione delle proprietà ho definito che il sistema è non lineare, tempo variante, non causale e non istantaneo.
la mia difficoltà sta nello stabilire la stabilità
Ho pensato ingenuamente che se definisco che se l'ingresso è limitato allora anche l'uscita sarà limitata:
$ |x(t)|
Però poi ho riflettuto che se in ingresso ci fosse un $ x(t)=u(t) $ l'uscita diverge perché leggendo su internet se la convoluzione con se stesso è pari ad una rampa cioè $ u(t)**u(t)=t $, allora la convoluzione con se stesso non ribaltato genererebbe un uscita meno infinita o sbaglio?
Cioè se non sto sparando cazzate:
$ u(t)**u(-t)=int_(+oo)^(t) u(tau)u(tau-t) d tau = int_(+oo)^(t) d tau =[t]_(+oo)^(t)=t-oo=-oo $
E' un assurdo?
Adesso consideranto due segnali costanti $x_(1)(t)=2$ e $x_(2)(t)=2$ e li considero come:
$x_(1)(t)=2u(t)+2u(-t)$ e $x_(2)(t)=2u(t)+2u(-t)$ e faccio la convoluzione otterrei:
$ y(t)=x_(1)(t)**x_(2)(t)= [2u(t)+2u(-t)]**[2u(t)+2u(-t)]= 8u(t)**u(-t)+4u(t)**u(t)+4u(-t)**u(-t)= t-t +?$
Il punto interrogativo è relativo al problema che non ho capito quanto fa $ u(t)**u(-t) $ potete aiutarmi?
Mi sto scervellando ma non riesco a capire è possibile fare questo conto?
In definitiva sto sistema ha una risposta stabile o no?
Grazie mille a tutti in anticipo
Risposte
Direi che, posto così il problema, la caratterizzazione del sistema dipende dalla tipologia di segnale applicato in ingresso.
Con riferimento al criterio di stabilità, il sistema è stabile quando: $\int_{-\infty}^{+\infty}|x(-t) |dt< \infty$
Questa relazione è vera per alcune categorie di segnali e per altre no.
Con riferimento al criterio di stabilità, il sistema è stabile quando: $\int_{-\infty}^{+\infty}|x(-t) |dt< \infty$
Questa relazione è vera per alcune categorie di segnali e per altre no.
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