[Teoria dei Segnali] Convoluzione

[enzialdiff]

Salve a tutti non riesco a risolvere questo esercizio:

Il segnale di ingresso x(t) e la risposta impulsiva h(t) di un sistema LTI sono dati da:
$x(t)=e^(-t/T)*u(t)$ e $h(t)= rect((t-T/2)/T)$ con $T in R^+$

Calcolare e rappresentare l'uscita $y(t)$

L'uscita $y(t)$ sarà $y(t)=int_-infty^(+infty)x(tau-t)*h(tau) d tau$

Essendo la h(t) una finestra rettangolare centrate in T/2 da 0 a T, il prodotto nell'integrale sarà nullo per t<0 fin qui ci siamo.

Facendo una riflessione e traslazione di x(t) e integrando per $t in [0,T]$ ottengo

$y(t)=int_0^(T)x(tau-t)*h(tau) d tau = int_0^(T) e^((t- tau)/T) d tau = T[e^((t- tau)/T)]_0^T$ = $T(e^(-t/tau)(e-1))$

Ma in realtà non riesco a trovarmi con il risultato che è:

$0$ per $t<0$
$T(1-e^(-t/T))$ per $0<=t<=T$
$T(e^(-t/T)(e-1))$ per $t>T$

Dove sbaglio?

[D4lF4zZI0]

Scusa ma, assegnate le due funzioni $f(t)$ e $g(t)$, si definisce convoluzione:
$ f(t)** g(t)=int_(-oo)^(+oo) f(t-tau)g(tau) d tau = int_(-oo)^(+oo) e^(-(t-tau)/T)u(t-tau)rect((tau-T/2)/T) d tau $
Quindi fatto questo, devi particolarizzare l'integrale a seconda che $t in[0;T]$ e che $t>T$

[enzialdiff]

Grazie D4lF4zZI0, avevo sbagliato la convoluzione ma continuo a non riuscire a svolgerlo.

Quando particolarizzo con $t in [0,T]$ ed integro ottengo il risultato di $t>T$

Come integro poi $u(t-tau)$ e la $rect$?

[D4lF4zZI0]

Forse commetti un errore nel valutare la funzione $u(t-tau)$; magari posta i passaggi e vediamo

[enzialdiff]

Essendo la rect $!=0$ solo tra 0 e T devo per forza integrare tra 0 e T. Forse è questo che mi induce in errore.


$int_(-oo)^(+oo) e^(-(t-tau)/T)u(t-tau)rect((tau-T/2)/T) d tau $ = $ int_(0)^(T) e^(-(t-tau)/T)u(t-tau) d tau $ procedendo poi ottengo il risultato che dovrei avere per $t>T$

[D4lF4zZI0]

Infatti così facendo trascuri completamente la funzione $u(t-tau)$. Bada bene, quando fai la convoluzione, la variabile temporale diventa proprio $tau$ mentre $t$ diventa " un parametro " ( ai fini dell'integrale ); quindi hai che:
$ u(t-tau)={ ( 1 rarr tau<=t),( 0 rarrtau>t):} $
Così facendo ( aiutati con un diagramma in cui sovrapponi le funzioni ), l'integrale di convoluzione diventa:
1) per $t in [0,T]$:
$ y(t)=int_(0)^(t) e^(-(t-tau)/T) d tau = e^(-t/tau)int_(0)^(t) e^(tau/T) d tau=...=T(1-e^(-t/T)) $
Continua tu quando $t>T$

[enzialdiff]

"D4lF4zZI0":Infatti così facendo trascuri completamente la funzione $u(t-tau)$. Bada bene, quando fai la convoluzione, la variabile temporale diventa proprio $tau$ mentre $t$ diventa " un parametro " ( ai fini dell'integrale ); quindi hai che:
$ u(t-tau)={ ( 1 rarr tau<=t),( 0 rarrtau>t):} $
Così facendo ( aiutati con un diagramma in cui sovrapponi le funzioni ), l'integrale di convoluzione diventa:
1) per $t in [0,T]$:
$ y(t)=int_(0)^(t) e^(-(t-tau)/T) d tau = e^(-t/tau)int_(0)^(t) e^(tau/T) d tau=...=T(1-e^(-t/T)) $
Continua tu quando $t>T$

Credo di aver capito, quando $ t>T$, nel secondo integrale gli estremi dovrebbero essere sempre $0,t$ a causa di $u(t-tau) $ma la porzione di "area" dopo $$T non ci interessa in quanto dopo T moltiplichiamo per 0, quindi integriamo tra $[0,T]$.

$t>T$
$y(t)=int_(0)^(T) e^(-(t-tau)/T) d tau = Te^(-t/T)(e-1)$


Grazie mille

[D4lF4zZI0]

Esatto. Prego figurati