[Teoria dei Segnali] componenti di bassa frequenza
Ciao,
vi chiedo un chiarimento sulla rappresentazione di un generico segnale mediante le componenti in bassa frequenza.
A partire da un generico segnale reale $x(t)$ la decomposizione del tipo \[ x(t) = x_c(t)cos (2\pi f_0t) - x_s(t)sin(2\pi f_0t) \] e' sempre applicabile indipendentemente dal fatto che $x(t)$ sia di tipo passa banda ?
Da quanto capisco la riposta e' affermativa facendo anche riferimento alla dispensa Segnali passa banda.
Questo perche' alla parte a frequenze positive dello spettro $X_{+}(f)$ - ovvero al segnale analitico $x_{+}(t)$ - corrisponde univocamente lo spettro $X(f)$ del segnale reale $x(t)$. A quel punto basta traslare lo spettro $X_{+}(f)$ di una qualsiasi frequenza $f_0$ e calcolare l'antitrasformata di Fourier ovvero l'inviluppo complesso $z(t) = x_c(t) + jx_s(t)$ del segnale analitico.
E' corretto ? grazie.
vi chiedo un chiarimento sulla rappresentazione di un generico segnale mediante le componenti in bassa frequenza.
A partire da un generico segnale reale $x(t)$ la decomposizione del tipo \[ x(t) = x_c(t)cos (2\pi f_0t) - x_s(t)sin(2\pi f_0t) \] e' sempre applicabile indipendentemente dal fatto che $x(t)$ sia di tipo passa banda ?
Da quanto capisco la riposta e' affermativa facendo anche riferimento alla dispensa Segnali passa banda.
Questo perche' alla parte a frequenze positive dello spettro $X_{+}(f)$ - ovvero al segnale analitico $x_{+}(t)$ - corrisponde univocamente lo spettro $X(f)$ del segnale reale $x(t)$. A quel punto basta traslare lo spettro $X_{+}(f)$ di una qualsiasi frequenza $f_0$ e calcolare l'antitrasformata di Fourier ovvero l'inviluppo complesso $z(t) = x_c(t) + jx_s(t)$ del segnale analitico.
E' corretto ? grazie.
Risposte
Si ma non c'e' bisogno di scomodare tutta quella teoria nelle slide.
Il segnale $x(t)$ puo' essere scomposto nelle sue componenti sempre secondo Fourier, ovvero come somma di seni e coseni.
Quindi ogni singolo seno e coseno si puo' ottenere con la decomposizione:
\[ x(t) = x_c(t)cos (2\pi f_0t) - x_s(t)sin(2\pi f_0t) \]
nel modo che segue, dove $c$ e $s$ stanno per coseno e seno, per brevita', $b = 2\pi f_1 t$, e $a = 2\pi f_0 t$
Ad esempio vogliamo ottenere
\[ x(t) = \cos(2\pi f_1 t) = x_c(t)cos (2\pi f_0t) - x_s(t)sin(2\pi f_0t) \]
$$ c (b) = c(a+b)c(a)-(-s(a+b))s(a)$$
$$ c (b) = c(a)c(b)c(a) -s(a)s(b)c(a) + s(a)c(b)s(a) + c(a)s(b)s(a)$$
$$ c (b) = c^2(a)c(b) + s^2(a)c(b) - s(a)s(b)c(a) + c(a)s(b)s(a)$$
$$ c (b) = c(b)$$
In questo modo e' evidente si possa ricavare $\cos(2\pi f_1 t)$, a una frequenza qualsiasi $f_1$.
Per il $\sin(2\pi f_1 t)$ e' del tutto simile.
Il segnale $x(t)$ puo' essere scomposto nelle sue componenti sempre secondo Fourier, ovvero come somma di seni e coseni.
Quindi ogni singolo seno e coseno si puo' ottenere con la decomposizione:
\[ x(t) = x_c(t)cos (2\pi f_0t) - x_s(t)sin(2\pi f_0t) \]
nel modo che segue, dove $c$ e $s$ stanno per coseno e seno, per brevita', $b = 2\pi f_1 t$, e $a = 2\pi f_0 t$
Ad esempio vogliamo ottenere
\[ x(t) = \cos(2\pi f_1 t) = x_c(t)cos (2\pi f_0t) - x_s(t)sin(2\pi f_0t) \]
$$ c (b) = c(a+b)c(a)-(-s(a+b))s(a)$$
$$ c (b) = c(a)c(b)c(a) -s(a)s(b)c(a) + s(a)c(b)s(a) + c(a)s(b)s(a)$$
$$ c (b) = c^2(a)c(b) + s^2(a)c(b) - s(a)s(b)c(a) + c(a)s(b)s(a)$$
$$ c (b) = c(b)$$
In questo modo e' evidente si possa ricavare $\cos(2\pi f_1 t)$, a una frequenza qualsiasi $f_1$.
Per il $\sin(2\pi f_1 t)$ e' del tutto simile.
"Quinzio":
Si ma non c'e' bisogno di scomodare tutta quella teoria nelle slide.
Se capisco bene provo a riassumere quanto dici: un segnale reale $x(t)$ periodico o meno puo' esser sempre rappresentato attraverso un integrale di Fourier in cui in generale compaiono termini in seno e coseno su una infinita' continua di frequenze (da notare infatti che lo spettro di un segnale reale ha sempre parte reale pari e quella immaginaria dispari).
Ora per ciascuno dei termini in seno e coseno ad una data frequenza (i.e. $sin(2 \pi f_kt)$ e $cos(2 \pi f_kt)$) possiamo applicare la decomposizione \[ x^k_c(t)cos (2\pi f_0t) - x^k_s(t)sin(2\pi f_0t) \] dove $f_0$ e' una frequenza arbitraria.
Raccogliendo ora tutti i termini in $cos (2\pi f_0t)$ e $sin (2\pi f_0t)$ otteniamo la tesi: qualsiasi segnale reale $x(t)$ ha una rappresentazione del tipo \[ x_c(t)cos (2\pi f_0t) - x_s(t)sin(2\pi f_0t) \] per un qualsiasi valore di $f_0$.
"cianfa72":[/quote]
[quote="Quinzio"]
Ora per ciascuno dei termini in seno e coseno ad una data frequenza (i.e. $sin(2 \pi f_kt)$ e $cos(2 \pi f_kt)$) possiamo applicare la decomposizione \[ x^k_c(t)cos (2\pi f_0t) - x^k_s(t)sin(2\pi f_0t) \] dove $f_0$ e' una frequenza arbitraria.
Si, il concetto generale l'hai capito bene.
Quello che pero' volevo sottolineare e' che quelli che tu hai chiamato $x^k_c(t)$ e $x^k_s(t)$ non sono funzione del tempo, non dipendono dal tempo, ma sono dei coefficienti fissi, anche se variano in con la frequenza $f_k$. E poi per definire l'ampiezza del coseno c'e' un parametro solo, e un altro per definire l'ampiezza del seno.
In altre parole, non sono
$x_c^k(t)$ e $x_s^k(t)$
ma e' solo
$x^k$.
La formula che hai scritto prima andrebbe riscritta, per il coseno, come
\[ x^k_c cos (2\pi f_1 t) = x^k_c \{cos (2\pi (f_0 + f_1) t) cos (2\pi f_0t) + sin (2\pi (f_0 + f_1) t) sin(2\pi f_0t)\} \]
Per il seno la formula e' del tutto simile, ma volevo lasciarla a te come esercizio, cosi' verifichi se hai capito.
"Quinzio":
Quello che pero' volevo sottolineare e' che quelli che tu hai chiamato $x_c^k(t)$ e $x_s^k(t)$ non sono funzione del tempo, non dipendono dal tempo, ma sono dei coefficienti fissi, anche se variano in con la frequenza $f_k$. E poi per definire l'ampiezza del coseno c'e' un parametro solo, e un altro per definire l'ampiezza del seno.
In altre parole, non sono $x_c^k(t)$ e $x_s^k(t)$ ma e' solo $x^k$.
Scusami mi sono espresso male.... $x_c^1(t)$ e $x_s^1(t)$ ad esempio nella "decomposizione" di $cos(2 \pi f_1t)$ erano per me rispettivamente le quantita' variabili nel tempo $cos (2\pi (f_0 + f_1) t)$ e $-sin (2\pi (f_0 + f_1) t)$.
Quindi correttamente vale quanto hai scritto ($x^k$ sono i coefficienti dello sviluppo di Fourier in seno e coseno del segnale $x(t)$ da cui siamo partiti).
Grazie.
"Quinzio":
Per il seno la formula e' del tutto simile, ma volevo lasciarla a te come esercizio, cosi' verifichi se hai capito.
Con la notazione che hai introdotto:
$s(b) = s(a+b)c(a) - c(a+b)s(a)$
$s(b) = s(a)c(b)c(a) + c(a)s(b)c(a) - c(a)c(b)s(a) + s(a)s(b)s(a) = [c^2(a) + s^2(a)]s(b) = s(b)$
Ne approfitto per chiedere una conferma: il procedimento descritto nel mio primo post (e quindi la decomposizione in componenti analogiche $x_c(t)$ e $x_s(t)$) abbiamo detto si applica a qualsiasi segnale...non solo ai segnali di tipo passa-banda, corretto ?
Grazie.
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