[Teoria dei Segnali] Calcolo potenza media all'uscita di un sistema LTI

[siddy98]

Ciao a tutti,

negli ultimi giorni sto facendo a pugni con il seguente esercizio:

E' dato il segnale $$x(t)= \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\pi}{2}(t-nT)^2}$$ Tale segnale passa attraverso un sistema LTI con risposta all'impulso rettangolare, di supporto $[-T/2, T/2]$, e ampiezza unitaria. Quanto vale la potenza media del segnale $y(t)$ in uscita dal sistema?

Mi sembra che il modo più semplice per svolgere il calcolo sia passare nel dominio delle frequenze; quindi dovrei calcolare le trasformate di Fourier $X(f)$ e $H(f)$ del segnale e della risposta all'impulso, applicare la formula $P_y(f) = |H(f)|^2P_x(f)$ e poi integrare.
Le rispettive trasformate sono, se non ho commesso errori, $$H(f) = \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f}$$ $$X(f)=\frac{\sqrt{2}}{T}\sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-2\pi\frac{n^2}{T^2}}\delta (f-\frac{n}{T})$$

Ora, però, per calcolare $P_x(f)$ come dovrei procedere? L'espressione mi sembra un po' complicata per poter semplicemente applicare la definizione...forse c'è qualche formula che mi sfugge. Sapreste aiutarmi?

Grazie in anticipo

[Flamber]

Ciao,
Non ho molto tempo ora per controllare i conti e non sono sicuro che la trasformata $X(f)$ sia corretta, ma ad occhio, il consiglio che potrei darti è quello di provare ad esplicitare
\[ e^{-2\pi\frac{n^2}{T^2}}\delta (f-\frac{n}{T}) \]
Questo dovrebbe semplificare i conti, ma magari aspetta anche il parere di qualcun altro

[siddy98]

"Flamber":Ciao,
il consiglio che potrei darti è quello di provare ad esplicitare
\[ e^{-2\pi\frac{n^2}{T^2}}\delta (f-\frac{n}{T}) \]

Cosa intendi con esplicitare?
Comunque rivedendo gli appunti la PSD di una distribuzione del genere dovrebbe essere $$P_x(f)=\frac{2}{T^2}\sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-4\pi\frac{n^2}{T^2}}\delta (f-\frac{n}{T}) $$.

A questo punto, moltiplicando per il quadrato del modulo della FdT, otteniamo $$P_y(f) = \frac{2}{T^2}\sum_{n = -\infty}^{+\infty}\frac{|\sin^2(\pi n)|}{\pi^2 \frac{n^2}{T^2}} e^{-4\pi\frac{n^2}{T^2}}\delta (f-\frac{n}{T})$$

Che però, considerando quel $\sin(\pi n)$, l'integrale dovrebbe darmi 0. La risposta invece dovrebbe essere 2.

[Flamber]

Non avevo capito la notazione, intendevo di campionare in frequenza.
Scusa ma la trasformata $x(t)$ a me sembra sbagliata:

$x(t)=sum_(n=-oo)^(+oo)u(t-nT)*e^(-k(t-nT))$

allora dovresti avere:

$X(f)=1/Tsum_(n=-oo)^(+oo)1/(k+i2pin/T)*delta(f-n/T)$

[siddy98]

"Flamber":
$x(t)=sum_(n=-oo)^(+oo)u(t-nT)*e^(-k(t-nT))$

Ma $x(t)= \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\pi}{2}(t-nT)^2}$, non $sum_(n=-oo)^(+oo)u(t-nT)*e^(-k(t-nT))$

[Flamber]

Ah cavolo mi ero perso quel quadrato.
Allora forse ti conviene ragionare nel dominio de tempo e ricavare la potenza da $y(t)$, la convoluzione con una porta generalmente non è molto difficile, anche perché dovendo calcolare la potenza, ed essendo il segnal periodico devi farlo solo su un periodo

[siddy98]

"Flamber":Ah cavolo mi ero perso quel quadrato.
Allora forse ti conviene ragionare nel dominio de tempo e ricavare la potenza da $y(t)$, la convoluzione con una porta generalmente non è molto difficile, anche perché dovendo calcolare la potenza, ed essendo il segnal periodico devi farlo solo su un periodo

Lascia stare, ho fatto un errore madornale $|H(\frac{n}{T})|^2$ in $n = 0 $ è uguale a $1$, non a $0$; quindi mi si trova il risultato corretto. Grazie comunque