[Teoria dei Segnali] Calcolo Coeff. Fourier, uscita di un segnale e potenza mutua
Ciao ragazzi sto svolgendo questo esercizio di teoria dei segnali ma avrei bisogno un secondo del vostro aiuto. Vi scrivo il testo del problema:
"Sia $ x(t)=rep_2[x_g(t)] $ un segnale periodico dove $ x_g(t)={(t(2-t),if 0<=t<=1),((t-2)^2, if 1
$(b)$ Semplificare il più possibile l’espressione dei coefficienti $X_k$ nel caso di $k$ pari.
$(c)$ Nell’ipotesi in cui il segnale $x(t)$ sia posto in ingresso al sistema LTI avente risposta in frequenza $ H(f)=(j2pif)rect((2f)/3) $ , determinare il corrispondente segnale di uscita $y(t)$.
$(d)$ La potenza mutua $P_(yx)$
Allora, ho iniziato a calcolare la derivata di $x_g(t)$ ottenendo $ x'_g(t)={(2-2t,if 0<=t<=1),(2t-4, if 1
Procedo con la derivata seconda: $ x''_g(t)={(-2,if 0<=t<=1),(2, if 1
Scrivo il segnale che ho appena ricavato: $ x''_g(t)=2rect(t-3/2)-2rect(t-1/2)-2delta(t-1) $
Adesso devo ricavare segnale appena scritto nel dominio della frequenza applicando la formula di integrazione della trasformata di Fourier e risulta generalmente che $ Y(f)=1/2X(0)delta(f) + (X(f))/(j2pif) $.
Vado a scrivere quindi $ X(f)=[2sinc(f)*e^(-j2pif3/2)-2sinc(f)*e^(-j2pif1/2)-2*e^(-j2pif)]/(j2pif)^2 $.
Visto che $ X(0)=-2delta(f) $ , devo aggiungerlo alla mia $X(f)$ oppure va bene come ho scritto prima?
a questo punto, ipotizzando di aver scritto bene $X(f)$ vado a ricavare i coefficienti di Fourier essendo noto il periodo $f_0=1/T=1/2$:
$ X_k=[2sinc(k/2)*e^(-j3pik/2)-2sinc(k/2)*e^(-jpik/2)-2*e^(-jpik)]/[2*(jpik)^2 $
Ho finito il punto $(a)$.
Per il punto $(b)$, io so che $sinc(x)=0$ per ogni x=k tranne che in k=0 dove vale 1, quindi per $k pari$ risulta $ X_(k pari)=-1/(pi^2k^2) $.
Punto $(c)$
La risposta di un segnale periodico di periodo $T=1/f=2$ in ingresso a un sistema Lui con risposta in frequenza $H(f)$ è data da $ y(t)=sum_{k=-infty}^infty X_k*H(kf_0)*e^(j2pikf_0t) $.
Risulta quindi che $ H(kf_0)=(jpik)rect(k/3) $.
Mi accorgo che la finestra rettangolare NON si annulla solo per $k=0,1$ ma ora come proseguo l'esercizio? Come faccio a ricavare l'uscita del segnale $y(t)$? Spero di essere stato chiaro e grazie a tutti coloro che mi aiuteranno!
"Sia $ x(t)=rep_2[x_g(t)] $ un segnale periodico dove $ x_g(t)={(t(2-t),if 0<=t<=1),((t-2)^2, if 1
$(b)$ Semplificare il più possibile l’espressione dei coefficienti $X_k$ nel caso di $k$ pari.
$(c)$ Nell’ipotesi in cui il segnale $x(t)$ sia posto in ingresso al sistema LTI avente risposta in frequenza $ H(f)=(j2pif)rect((2f)/3) $ , determinare il corrispondente segnale di uscita $y(t)$.
$(d)$ La potenza mutua $P_(yx)$
Allora, ho iniziato a calcolare la derivata di $x_g(t)$ ottenendo $ x'_g(t)={(2-2t,if 0<=t<=1),(2t-4, if 1
Procedo con la derivata seconda: $ x''_g(t)={(-2,if 0<=t<=1),(2, if 1
Scrivo il segnale che ho appena ricavato: $ x''_g(t)=2rect(t-3/2)-2rect(t-1/2)-2delta(t-1) $
Adesso devo ricavare segnale appena scritto nel dominio della frequenza applicando la formula di integrazione della trasformata di Fourier e risulta generalmente che $ Y(f)=1/2X(0)delta(f) + (X(f))/(j2pif) $.
Vado a scrivere quindi $ X(f)=[2sinc(f)*e^(-j2pif3/2)-2sinc(f)*e^(-j2pif1/2)-2*e^(-j2pif)]/(j2pif)^2 $.
Visto che $ X(0)=-2delta(f) $ , devo aggiungerlo alla mia $X(f)$ oppure va bene come ho scritto prima?
a questo punto, ipotizzando di aver scritto bene $X(f)$ vado a ricavare i coefficienti di Fourier essendo noto il periodo $f_0=1/T=1/2$:
$ X_k=[2sinc(k/2)*e^(-j3pik/2)-2sinc(k/2)*e^(-jpik/2)-2*e^(-jpik)]/[2*(jpik)^2 $
Ho finito il punto $(a)$.
Per il punto $(b)$, io so che $sinc(x)=0$ per ogni x=k tranne che in k=0 dove vale 1, quindi per $k pari$ risulta $ X_(k pari)=-1/(pi^2k^2) $.
Punto $(c)$
La risposta di un segnale periodico di periodo $T=1/f=2$ in ingresso a un sistema Lui con risposta in frequenza $H(f)$ è data da $ y(t)=sum_{k=-infty}^infty X_k*H(kf_0)*e^(j2pikf_0t) $.
Risulta quindi che $ H(kf_0)=(jpik)rect(k/3) $.
Mi accorgo che la finestra rettangolare NON si annulla solo per $k=0,1$ ma ora come proseguo l'esercizio? Come faccio a ricavare l'uscita del segnale $y(t)$? Spero di essere stato chiaro e grazie a tutti coloro che mi aiuteranno!
Risposte
$ x''_g(t)=2rect(t-3/2)-2rect(t-1/2)-2delta(t-1) $
Manca una delta in $t=0$.
Manca una delta in $t=0$.
Ecco perchè non si annullava! Grazie!! Sai dirmi qualcosa sul resto dell'esercizio? Mi puoi aiutare sul punto C?
Scrivi tu pero' la soluzione dell'esercizio.
Per il punto c scriverai $y$ come somma degli armonici che rimangono dopo il filtro.
Es. $y = 1 + 1/2 sin(2/3\pi t) + 1/3 cos(2/3 \pi t) + ...$
Per il punto c scriverai $y$ come somma degli armonici che rimangono dopo il filtro.
Es. $y = 1 + 1/2 sin(2/3\pi t) + 1/3 cos(2/3 \pi t) + ...$
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