Teoria dei segnali, Ancora variabili aleatorie...

[Lauke]

Ok ragazzi dopo un'immane fatica ho capito cos'è una variabile aleatoria...

Ora ho un'altro "dubbio" che proprio dubbio non è, ma voglio capire cmq...

Supponiamo di avere un esperimento casuale caratterizzato da questo insieme di risultati $ Z = {a_1,a_2} $ e di associare a questo esperimento casuale 2 variabili aleatorie $ X_1, X_2 $ tali che... $ X_1(a_1) = 1, X_1(a_2) = 2, X_2(a_1) = 0, X_2(a_2) = 3 $. Poniamo ora

$ Y = X_1 + 2*X_2 $

Posso andare al sodo ora...Io so "per cultura" che la combinazione lineare di variabili aleatorie su di un medesimo esperimento casuale è ancora una variabile aleatoria su tale esperimento. Dalla cultura voglio la scientificità della questione, come dimostro ciò che ho detto prima su quella equazione?

Grazie per la disponibilità.

P.S. quando mi avete risposto, se potete ditemi inoltre chi sia $ Y^-1(5) $

[gugo82]

Beh, una variabile aleatoria è una funzione $X:Z\to RR$ che sia misurabile rispetto alla misura di probabilità messa su $Z$.
Se hai due v.a. $X_1,X_2$, la somma è definita "puntualmente" come quella funzione $X$ tale che:

$AAa \in Z, X(a):=X_1(a)+X_2(a) \quad$;

analogamente, il prodotto di una v.a. $X$ per uno scalare $alpha \in RR$ è definita "puntualmente" come quella funzione $Y$ tale che:

$AA a \in Z, Y(a):=alpha*X(a) \quad$.

La somma di due v.a. si denota col simbolo $X_1+X_2$ ed il prodotto di una v.a. per uno scalare reale si denota con $alpha*X$. Facendo la somma di prodotti per scalari di (due) v.a. trovi le combinazioni lineari $alpha_1*X_1+alpha_2*X_2$.

Ora, un teorema semplice di Teoria della Misura ti garantisce che comunque scegli una funzione $Phi:RR^2 \to RR$ continua e due v.a. $X_1,X_2 :Z\to RR$, la funzione composta:

$AA a \in Z, Y(a):=Phi(X_1(a),X_2(a))$

è misurabile, ossia è una v.a. su $Z$; in particolare se $Phi(xi_1,xi_2):=alpha_1*xi_1+alpha_2*xi_2$ (con $alpha_1,alpha_2 \in RR$), allora $Y=alpha_1*X_1+alpha_2*X_2$ è una v.a..

Se poi vogliamo fare le cose senza ricorrere a teoremi astratti, nel nostro caso possiamo fare così.
Per esempio, mostriamo che $Y=alpha*X$ è una v.a. se tale è $X$; per comodità supporremo $alpha >0$.
Innanzitutto notiamo che su $Z$ è messa una misura di probabilità discreta del tipo:

$P: Pi(Z) \to [0,1], \quad$ con $P(\emptyset)=0, P(Z)=1, P(\{ a_1\})=p, P(\{ a_2\})=1-p$*

e che, avendo $Z$ solo due elementi, allora l'immagine di $X$ contiene solo due valori, cioè $X(a_1)=x_1,X(a_2)=x_2$; pertanto l'immagine di $Y$ contiene unicamente i due valori $Y(a_i)=alpha*x_i$ per $i=1,2$.
Sfruttando la definizione di v.a., dobbiamo far vedere che, per ogni $x \in RR$, l'insieme $\{ Y<=x\}$ è misurabile in $Z$.
Distinguiamo i casi:

1) se $x>=max \{ alpha*x_1,alpha*x_2\}$ allora $Y$ è sempre $<=x$, perciò $\{ Y<=x\}=Z$ e $Z$ è un evento;

2) se $xx$, perciò $\{ Y<=x\}=\emptyset$ e $\emptyset$ è un evento;

3) se $min\{ alpha*x_1,alpha*x_2\} <=x
Pertanto $Y$ è una funzione misurabile, ossia è una v.a. su $Z$.

__________
* Qui $Pi(Z)$ è l'insieme delle parti di $Z$ e $p \in [0,1]$.

[Lauke]

Supponiamo di avere, secondo la definizione di segnale aleatorio, per fila e per segno. Il seguente segnale:

$ s(t,\zeta) = \zeta*e^(-t)rect(frac{t}{T}) $ dove $\zeta$ è un risultato appartenente allo spazio dei risultati di un esperimento casuale, sottolineo RISULTATO.

Sappiamo che fissato un $t = t_0$, per la definizione di processo stocastico, $ s(t_0,\zeta) $ definisce una variabile aleatoria alla quale possiamo associare una densità di probabilità, supponiamo in questo caso sia uniforme in $[0,x_1]$. La domanda che faccio magari sarà stupida, ma tenete conto che è la prima volta che lavoro con questi tipi di segnali, per cui una minima fesseria mi può far crollare il mondo. Ora se $ s(t_0,\zeta) $ è una variabile aleatoria posso chiamarla $ s(t_0,\zeta) = X$, dove questo $X$ è dipendente da $\zeta$. Se la mia densità di probabilità è uniforme significa che...$ p_X(x) = p_(s_0)(x) = frac{1}{x_1}*rect(frac{x-frac{x_1}{2}}{x_1})$ (è corretto intanto ciò che ho scritto? per me ha un senso, ma non so se è corretto). Avendo individuato la densità di probabilità, l'espressione cioè, mi pongo un'altra domanda supponiamo io adesso voglia trovare la probabilità che il segnale in quell'istante assuma un valore compreso nell'intervallo $[0, x_0]: x_0

Cita

Segnala

[gugo82]

Visto che la densità è uniforme in $[0,x_1]$, la distribuzione di probabilità è lineare in $[0,x_1]$ (mentre è nulla a sinistra di $0$ ed unitaria a destra di $1$), quindi:

$P(s_0x_1):}$

In altre parole, la $P(s_0
Tuttavia non è che sia un grande esperto di processi stocastici, quindi attendo conferma.