[Teoria Dei Circuiti] Esercizio d'esame
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 55 55 0 0 470
LI 55 55 55 40 0
LI 55 40 70 40 0
MC 70 40 0 0 080
MC 70 85 0 0 120
LI 55 75 55 85 0
LI 55 85 70 85 0
LI 80 40 90 40 0
LI 80 85 90 85 0
LI 90 35 90 90 0
LI 90 90 135 90 0
LI 135 90 135 35 0
LI 135 35 90 35 0
TY 105 50 15 10 0 0 0 * Z
LI 85 25 85 25 0
LI 85 25 85 40 0
LI 85 85 85 100 0
LI 85 25 100 25 0
LI 100 25 105 25 0
MC 105 25 0 0 120
LI 115 25 140 25 0
LI 140 25 140 40 0
LI 140 40 165 40 0
LI 165 40 165 60 0
MC 165 60 1 0 170
LI 140 40 135 40 0
LI 165 70 165 85 0
LI 165 85 135 85 0
LI 85 100 105 100 0
MC 105 100 0 0 120
LI 125 100 115 100 0
LI 125 100 140 100 0
LI 140 100 140 85 0
SA 115 20 0
SA 115 95 0
TY 70 25 8 6 0 0 0 * R
TY 40 60 9 5 0 0 0 * V
TY 70 85 8 6 0 0 0 * L
TY 170 60 8 6 0 0 0 * C
TY 120 15 8 5 0 0 0 * 1:2[/fcd]
Valori Numerici:
\(\displaystyle L = 1; C = 1; R = 2 \)
$ V_G (t) = \{(0, if t>=0),(1+ sint, if t<0):}$
\(\displaystyle (H,F,\Omega, V) \)
$ Z = [[2,1],[1,2]] $
1) Determinare la funzione di rete che lega l'eccitazione $ V_G $ alla risposta del circuito $ V_C $. Dire se il circuito è stabile e in quali casi non lo è.
2) Trovare un potenziale $V_G (t)$ e $V_G (t)$ per tutto l'asse dei tempi.
Fatemi questo favore io ieri durante l'esame non sono riuscito a fare la (2) e non penso che mi abbia dato giusta la (1). Quindi sono sicuro di non averlo passato, comunque vi chiedo di provarci dato che non è semplice.
FJC B 0.5
MC 55 55 0 0 470
LI 55 55 55 40 0
LI 55 40 70 40 0
MC 70 40 0 0 080
MC 70 85 0 0 120
LI 55 75 55 85 0
LI 55 85 70 85 0
LI 80 40 90 40 0
LI 80 85 90 85 0
LI 90 35 90 90 0
LI 90 90 135 90 0
LI 135 90 135 35 0
LI 135 35 90 35 0
TY 105 50 15 10 0 0 0 * Z
LI 85 25 85 25 0
LI 85 25 85 40 0
LI 85 85 85 100 0
LI 85 25 100 25 0
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LI 115 25 140 25 0
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LI 165 70 165 85 0
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LI 85 100 105 100 0
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LI 140 100 140 85 0
SA 115 20 0
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TY 70 25 8 6 0 0 0 * R
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TY 70 85 8 6 0 0 0 * L
TY 170 60 8 6 0 0 0 * C
TY 120 15 8 5 0 0 0 * 1:2[/fcd]
Valori Numerici:
\(\displaystyle L = 1; C = 1; R = 2 \)
$ V_G (t) = \{(0, if t>=0),(1+ sint, if t<0):}$
\(\displaystyle (H,F,\Omega, V) \)
$ Z = [[2,1],[1,2]] $
1) Determinare la funzione di rete che lega l'eccitazione $ V_G $ alla risposta del circuito $ V_C $. Dire se il circuito è stabile e in quali casi non lo è.
2) Trovare un potenziale $V_G (t)$ e $V_G (t)$ per tutto l'asse dei tempi.
Fatemi questo favore io ieri durante l'esame non sono riuscito a fare la (2) e non penso che mi abbia dato giusta la (1). Quindi sono sicuro di non averlo passato, comunque vi chiedo di provarci dato che non è semplice.
Risposte
Credo si debba fare nel dominio dei fasori, ma non riesco a giungere ad un circuito equivalente a quello dato. Poi bisognerà sicuramente calcolare la funzione di rete (suppongo anche quella nel dominio dei fasori \(\displaystyle F(j\omega) \) ) e poi riportarla nel dominio della variabile di Laplace ponendo \(\displaystyle s=j\omega \).
Il problema è sulla 2 porte non riesco a sciogliere
Il problema è sulla 2 porte non riesco a sciogliere
[xdom="JoJo_90"]Da regolamento non è consentito postare interi esercizi tramite foto o link. Puoi postare solo il circuito (l'ideale sarebbe disegnarlo con FidoCadJ) ma testo e conti vanno scritti nel messaggio. Ti invito ad apportare le modifiche del caso. Grazie.
Ricordo inoltre agli utenti che risponderanno che il forum non è un risolutore di esercizi, dunque non è il caso di postare la soluzione, ma piuttosto è bene "guidare" verso di essa.[/xdom]
Ricordo inoltre agli utenti che risponderanno che il forum non è un risolutore di esercizi, dunque non è il caso di postare la soluzione, ma piuttosto è bene "guidare" verso di essa.[/xdom]
Intanto non è chiaro se quelle due induttanze accoppiate abbiano solo un mutuo accoppiamento o siano un trasformatore ideale. Sembrano un trasformatore ideale e fin qui andiamo bene.
Il problema è quel doppio bipolo. La matrice delle impedenze non determina univocamente un doppio bipolo.
La matrice delle impedenze va bene se il doppio bipolo taglia il circuito in due pezzi che non hanno nessun altro punto in comune. I due pezzi devono essere separati dal d.bipolo. In questo caso non è così, perchè il traformatore è "a cavallo" del doppio bipolo. Quindi il circuito non è univocamente determinato e la soluzione non è univoca.
Dovrei allegare degli schemi per chiarire meglio la situazione, ma ho perso una mezz'ora con Fidocad e ci rinuncio.
Sarei curioso di vedere come lo risolve il professore. Secondo me ha voluto fare il cattivone e ha dato un esercizio difficile, ma non lo ha risolto, e probabilmente ci fa una figuraccia. Boh, dicci come va a finire.
Il problema è quel doppio bipolo. La matrice delle impedenze non determina univocamente un doppio bipolo.
La matrice delle impedenze va bene se il doppio bipolo taglia il circuito in due pezzi che non hanno nessun altro punto in comune. I due pezzi devono essere separati dal d.bipolo. In questo caso non è così, perchè il traformatore è "a cavallo" del doppio bipolo. Quindi il circuito non è univocamente determinato e la soluzione non è univoca.
Dovrei allegare degli schemi per chiarire meglio la situazione, ma ho perso una mezz'ora con Fidocad e ci rinuncio.
Sarei curioso di vedere come lo risolve il professore. Secondo me ha voluto fare il cattivone e ha dato un esercizio difficile, ma non lo ha risolto, e probabilmente ci fa una figuraccia. Boh, dicci come va a finire.
Grazie intanto quinzio e jojo per le spiegazioni. Si quello è un trasformatore ideale pensavo si capisse ma meglio precisarlo. Comunque secondo me l'unica soluzione è assumere che nel trasformatore non scorra corrente. Il resto dell'esercizio si risolve poi bene "staccando" la rete e col metodo su base maglie o nodi e con i vincoli del 2 porte.
Quinzio se sia un "cattivone" non so ma posso dirti che è molto peggio, soprattutto quando fa i suoi discorsi sulla "Guerra del Golfo e le armi di distruzione di massa" ahah, e che qualcuno ha citato il suo corso in "Le cose più inutili fatte nella vita" http://www.gamesvillage.it/forum/showthread.php?776919-Le-cose-piu-inutili-che-avete-fatto-nella-vostra-vita/page2. Comunque colpo di scena non l'ho passato ma mi fa fare l'orale oggi speriamo bene.
Quinzio se sia un "cattivone" non so ma posso dirti che è molto peggio, soprattutto quando fa i suoi discorsi sulla "Guerra del Golfo e le armi di distruzione di massa" ahah, e che qualcuno ha citato il suo corso in "Le cose più inutili fatte nella vita" http://www.gamesvillage.it/forum/showthread.php?776919-Le-cose-piu-inutili-che-avete-fatto-nella-vostra-vita/page2. Comunque colpo di scena non l'ho passato ma mi fa fare l'orale oggi speriamo bene.
[ot]Bene, ma non sono Admin, lui è il grande capo della baracca , mentre io sono solo il moderatore di questa sezione.[/ot]
, mentre io sono solo il moderatore di questa sezione.[/ot]
Entro il fine settimana qualcuno riesce a farlo? Vi prego ci sto provando anche io e mi serve.
Risolto!. Ho abbozzato una soluzione anche aiutandomi con appunti vari e il libro del corso. Ve la posto.
1) Osservo che la rete 2 porte si può sostituire con 2 generatori di tensione con in serie un'appropriata impedenza, e un generatore indipendente di tensione per il primario ed il secondario del trasformatore.
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 20 15 20 35 0
LI 20 35 45 35 0
LI 45 35 45 15 0
LI 45 15 20 15 0
LI 20 20 15 20 0
LI 20 30 15 30 0
LI 45 20 50 20 0
LI 45 30 50 30 0
TY 60 20 8 6 0 0 0 * =
MC 90 10 0 0 115
MC 115 10 0 0 115
LI 90 10 90 5 0
LI 90 5 85 5 0
LI 115 10 115 5 0
LI 115 5 120 5 0
MC 90 20 0 0 470
MC 115 20 0 0 470
LI 90 40 90 45 0
LI 90 45 85 45 0
LI 115 40 115 45 0
LI 115 45 120 45 0
TY 30 20 8 6 0 0 0 * Z
TY 80 10 7 5 0 0 0 * Z
TY 85 15 3 2 0 0 0 * 11
TY 120 10 7 5 0 0 0 * Z
TY 125 15 3 2 0 0 0 * 22
TY 70 35 7 5 0 0 0 * Z
TY 75 40 3 2 0 0 0 * 12
TY 80 35 7 5 0 0 0 * I
TY 85 40 3 2 0 0 0 * 2
TY 120 35 7 5 0 0 0 * Z
TY 125 40 3 2 0 0 0 * 21
TY 130 35 7 5 0 0 0 * I
TY 135 40 3 2 0 0 0 * 1[/fcd]
Dunque ho il circuito a 3 maglie che può essere risolto tramite le correnti di maglia, tenendo presente i vincoli del trasformatore e del 2-porte.
VINCOLI:
$[[V_1],[V_2]] = [[2,1],[1,2]] \cdot [[I_1],[I_2]]$
\begin{cases} V_1^T = V_1 - V_2 = I_1 - I_2 \\ V_2^T = 2 \cdot V_1^T \end{cases}
Passo nel dominio simbolico dei fasori:
$ \bar V_G $ = \begin{cases} 0, & \mbox{se } t>=0 \\ 1+j, & \mbox{altrimenti} \end{cases}
$ Z_R = 2; Z_L = j; Z_C = \frac{1}{j} = -j $
da cui se scrivo le correnti in funzione delle correnti di maglia:
\begin{cases} I_1 = I_1^M - I_2^M \\ I_2 = I_2^M - I_3^M \end{cases}
Risostituendo nei vincoli e sostituendo i vincoli nel sistema risolvente ho ( ..dopo noiosi calcoli):
$[[4+j,-1,-1],[-2,4,-2],[-1,-1,2-j]] \cdot [[I_1^M],[I_2^M ],[I_3^M]] = [[\bar V_G],[0],[0]]$
Ho subito con la regola di Cramer:
$ I_3^M = - \frac{\bar V_G}{4(2-j)} \Longrightarrow \bar V_C = -jI_3^M = \frac{\bar V_G \cdot j}{4(2-j)} $
Ottengo la funzione di rete cercata:
$ F(j\omega) = F(j) = \frac{j}{4(2-j)} $
2)
Posso riscrivere:
\bar V_C = \begin{cases}0, & \mbox{se } t>=0 \\ \frac{1}{4}\cdot(\frac{j}{3}-1), & \mbox{altrimenti} \end{cases}
E poichè il modulo di $\frac{j}{3}-1$ è $\frac{\sqrt{10}}{3}$, la fase $-\arctan \frac{1}{3}$ ho:
V_C(t) = \begin{cases}0, & \mbox{se } t>=0 \\ \frac{\sqrt{10}}{12} \cdot cos(t- \arctan \frac{1}{3}) , & \mbox{altrimenti} \end{cases}
e dunque:
$V_C(t) = \frac{\sqrt{10}}{12} \cdot cos(t- \arctan \frac{1}{3}) \cdot (1-u^{-1}(t))$
e anche:
$V_G(t) = (1+ \sin t) \cdot (1-u^{-1}(t)) $
$u^{-1}(t)$ è la funzione gradino di Heaviside.
1) Osservo che la rete 2 porte si può sostituire con 2 generatori di tensione con in serie un'appropriata impedenza, e un generatore indipendente di tensione per il primario ed il secondario del trasformatore.
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 20 15 20 35 0
LI 20 35 45 35 0
LI 45 35 45 15 0
LI 45 15 20 15 0
LI 20 20 15 20 0
LI 20 30 15 30 0
LI 45 20 50 20 0
LI 45 30 50 30 0
TY 60 20 8 6 0 0 0 * =
MC 90 10 0 0 115
MC 115 10 0 0 115
LI 90 10 90 5 0
LI 90 5 85 5 0
LI 115 10 115 5 0
LI 115 5 120 5 0
MC 90 20 0 0 470
MC 115 20 0 0 470
LI 90 40 90 45 0
LI 90 45 85 45 0
LI 115 40 115 45 0
LI 115 45 120 45 0
TY 30 20 8 6 0 0 0 * Z
TY 80 10 7 5 0 0 0 * Z
TY 85 15 3 2 0 0 0 * 11
TY 120 10 7 5 0 0 0 * Z
TY 125 15 3 2 0 0 0 * 22
TY 70 35 7 5 0 0 0 * Z
TY 75 40 3 2 0 0 0 * 12
TY 80 35 7 5 0 0 0 * I
TY 85 40 3 2 0 0 0 * 2
TY 120 35 7 5 0 0 0 * Z
TY 125 40 3 2 0 0 0 * 21
TY 130 35 7 5 0 0 0 * I
TY 135 40 3 2 0 0 0 * 1[/fcd]
Dunque ho il circuito a 3 maglie che può essere risolto tramite le correnti di maglia, tenendo presente i vincoli del trasformatore e del 2-porte.
VINCOLI:
$[[V_1],[V_2]] = [[2,1],[1,2]] \cdot [[I_1],[I_2]]$
\begin{cases} V_1^T = V_1 - V_2 = I_1 - I_2 \\ V_2^T = 2 \cdot V_1^T \end{cases}
Passo nel dominio simbolico dei fasori:
$ \bar V_G $ = \begin{cases} 0, & \mbox{se } t>=0 \\ 1+j, & \mbox{altrimenti} \end{cases}
$ Z_R = 2; Z_L = j; Z_C = \frac{1}{j} = -j $
da cui se scrivo le correnti in funzione delle correnti di maglia:
\begin{cases} I_1 = I_1^M - I_2^M \\ I_2 = I_2^M - I_3^M \end{cases}
Risostituendo nei vincoli e sostituendo i vincoli nel sistema risolvente ho ( ..dopo noiosi calcoli):
$[[4+j,-1,-1],[-2,4,-2],[-1,-1,2-j]] \cdot [[I_1^M],[I_2^M ],[I_3^M]] = [[\bar V_G],[0],[0]]$
Ho subito con la regola di Cramer:
$ I_3^M = - \frac{\bar V_G}{4(2-j)} \Longrightarrow \bar V_C = -jI_3^M = \frac{\bar V_G \cdot j}{4(2-j)} $
Ottengo la funzione di rete cercata:
$ F(j\omega) = F(j) = \frac{j}{4(2-j)} $
2)
Posso riscrivere:
\bar V_C = \begin{cases}0, & \mbox{se } t>=0 \\ \frac{1}{4}\cdot(\frac{j}{3}-1), & \mbox{altrimenti} \end{cases}
E poichè il modulo di $\frac{j}{3}-1$ è $\frac{\sqrt{10}}{3}$, la fase $-\arctan \frac{1}{3}$ ho:
V_C(t) = \begin{cases}0, & \mbox{se } t>=0 \\ \frac{\sqrt{10}}{12} \cdot cos(t- \arctan \frac{1}{3}) , & \mbox{altrimenti} \end{cases}
e dunque:
$V_C(t) = \frac{\sqrt{10}}{12} \cdot cos(t- \arctan \frac{1}{3}) \cdot (1-u^{-1}(t))$
e anche:
$V_G(t) = (1+ \sin t) \cdot (1-u^{-1}(t)) $
$u^{-1}(t)$ è la funzione gradino di Heaviside.
Mi correggo: la soluzione per t<0 è da fare con la sovrapposizione degli effetti. In ogni caso il trasformatore ideale si elimina dal circuito per su di esso non scorre corrente.
La soluzione corretta l'ho fatta con Sagemath e PSPice (io non ce l'ho fatta da solo). L'ho postata su EY (pag. 2):
http://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=2&t=50568&start=10
http://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=2&t=50568&start=10
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