[Teoria dei Circuiti] Dubbio antitrasformata poli complessi
Salve
trovo sempre difficoltà nell'antitrasformare una funzione nel dominio di Laplace che ha poli complessi, specialmente per quanto riguarda la fase della sinusoide che andrò a trovare.
Ad esempio applicando la procedura che segue il mio libro (con j si intende l'unità immaginaria) arrivo all'espressione del residuo A= (-2+j)/j2. Se calcolo l'angolo con questa espressione mi viene circa 26 gradi, se invece la semplifico fino a ottenere A=(1+j2)/2 l'angolo è il complementare di circa 63 gradi.
Questa differenza influisce nella sinusoide? Ho commesso qualche errore?
trovo sempre difficoltà nell'antitrasformare una funzione nel dominio di Laplace che ha poli complessi, specialmente per quanto riguarda la fase della sinusoide che andrò a trovare.
Ad esempio applicando la procedura che segue il mio libro (con j si intende l'unità immaginaria) arrivo all'espressione del residuo A= (-2+j)/j2. Se calcolo l'angolo con questa espressione mi viene circa 26 gradi, se invece la semplifico fino a ottenere A=(1+j2)/2 l'angolo è il complementare di circa 63 gradi.
Questa differenza influisce nella sinusoide? Ho commesso qualche errore?
Risposte
Posta il procedimento che usi per il calcolo della fase.
L'antitrasformazione di una coppia di numeri complessi coniugati con p=r+jw e p'=r-jw è uguale a 2|Ak| e^(rt) cos(wt +z). I valori di Ak e z vengono dal numero complesso che si ottiene seguendo la procedura per i poli semplici sostituendo cioè uno dei due poli complessi (secondo il mio libro scegliendolo arbitrariamente) e ottenedo appunto un rapporto tra quantità complesse, da questo si ricava modulo e angolo.
Non so se sono stato chiaro, sul web ho trovato http://www.giacobbe85.altervista.org/do ... aplace.pdf il quale mostra il procedimento che ho seguo (senza la precisazione nella scelta del polo).
Nel primo esempio che ho postato ho commeso un errore io e me ne scuso.
$ (4+4jsqrt(7)) / (-7-jsqrt(7)) $
Se considero questo numero se semplifico il denominatore mi viene un angolo differente da quello che potrei calcolare come differenza dei due angoli dei numeri complessi.
Non so se sono stato chiaro, sul web ho trovato http://www.giacobbe85.altervista.org/do ... aplace.pdf il quale mostra il procedimento che ho seguo (senza la precisazione nella scelta del polo).
Nel primo esempio che ho postato ho commeso un errore io e me ne scuso.
$ (4+4jsqrt(7)) / (-7-jsqrt(7)) $
Se considero questo numero se semplifico il denominatore mi viene un angolo differente da quello che potrei calcolare come differenza dei due angoli dei numeri complessi.
scusa un attimo.... forse mi son perso qualcosa io... ma nella dispensa che hai linkato, mi sta bene quel procedimento poichè ho una funzione razionale fratta di variabile complessa $s$. Quelli che mi dai tu sono dei numeri.... e quindi c'è qualcosa che non mi torna... probabilmente tu mi stai dando un risultato di un passaggio intermedio....
Comunque: [tex]$\angle \frac{4+4j\sqrt{7}}{-7 - j\sqrt{7}} = \angle(4 + 4j\sqrt{7}) - \angle(-7-j\sqrt{7}) = \tan^{-1}\left (\frac{4\sqrt{7}}{4}\right) - (\tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{7}}{-7}\right) + \pi) = \tan^{-1}(\sqrt{7}) - \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) - \pi \approx -2.2935 rad = -131.4096 °$[/tex]
Se invece trasformi prima il numero in [tex]$\frac{4(1+j\sqrt{7})(-7 + j\sqrt{7})}{56} = \frac{4(-14 -6j\sqrt{7})}{56}$[/tex] ottieni che la fase è alla fine si riduce a calcolare [tex]$\tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) + \pi \approx 3.9897 rad = 228.5904°$[/tex].
I due sfasamenti sono equivalenti dato che sommando un giro completo al primo si ottiene il secondo
Comunque: [tex]$\angle \frac{4+4j\sqrt{7}}{-7 - j\sqrt{7}} = \angle(4 + 4j\sqrt{7}) - \angle(-7-j\sqrt{7}) = \tan^{-1}\left (\frac{4\sqrt{7}}{4}\right) - (\tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{7}}{-7}\right) + \pi) = \tan^{-1}(\sqrt{7}) - \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) - \pi \approx -2.2935 rad = -131.4096 °$[/tex]
Se invece trasformi prima il numero in [tex]$\frac{4(1+j\sqrt{7})(-7 + j\sqrt{7})}{56} = \frac{4(-14 -6j\sqrt{7})}{56}$[/tex] ottieni che la fase è alla fine si riduce a calcolare [tex]$\tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) + \pi \approx 3.9897 rad = 228.5904°$[/tex].
I due sfasamenti sono equivalenti dato che sommando un giro completo al primo si ottiene il secondo
Anzi volendo essere più precisi e usando la definizione di fase di numero complesso che restituisce sempre un valore compreso in [tex]$(-\pi, \pi]$[/tex] nel secondo caso la fase sarebbe [tex]$\tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) - \pi \approx -2.2935 rad$[/tex] questo perchè sia la parte reale che la parte immaginaria sono negative.
Si era il passaggio succesivo, dove elimino la s sostituendo un polo complesso.
Hai chiarito una parte del mio dubbio, non avevo notato che erano sfasati di un angolo giro.
Se sostituisco il polo coniugato dovrei ottenere lo stesso angolo?A me torna comunque diverso
La funzione di partenza è
$ (4(s+1)) /(s(s^(2) +s+2)) $
Hai chiarito una parte del mio dubbio, non avevo notato che erano sfasati di un angolo giro.
Se sostituisco il polo coniugato dovrei ottenere lo stesso angolo?A me torna comunque diverso
La funzione di partenza è
$ (4(s+1)) /(s(s^(2) +s+2)) $
Il risultato dovrebbe essere ovviamente l'angolo opposto.
Chiamando [tex]$\alpha = a + jb = \frac{-1 + j\sqrt{7}}{2}$[/tex] soluzione del polinomio di secondo grado al denominatore, allora la decomposizione sarà data da
[tex]$\frac{2}{s} + \frac{K}{s-\alpha} +\frac{K^*}{s-\alpha^*}$[/tex] dove [tex]$K = |K|e^{j\theta_K} = \frac{4(\alpha + 1)}{\alpha(\alpha-\alpha^*)}$[/tex].
Antitrasformando avrai [tex]$2 + K e^{\alpha t} + K^* e^{\alpha^* t} = 2 + e^{at}(Ke^{jbt} + K^* e^{-jbt}) = 2 + |K|e^{at}(e^{j(b + \theta_K)} + e^{-j(b+\theta_K)}) = 2 + 2e^{at}|K|cos(bt + \theta_K)$[/tex]
Chiamando [tex]$\alpha = a + jb = \frac{-1 + j\sqrt{7}}{2}$[/tex] soluzione del polinomio di secondo grado al denominatore, allora la decomposizione sarà data da
[tex]$\frac{2}{s} + \frac{K}{s-\alpha} +\frac{K^*}{s-\alpha^*}$[/tex] dove [tex]$K = |K|e^{j\theta_K} = \frac{4(\alpha + 1)}{\alpha(\alpha-\alpha^*)}$[/tex].
Antitrasformando avrai [tex]$2 + K e^{\alpha t} + K^* e^{\alpha^* t} = 2 + e^{at}(Ke^{jbt} + K^* e^{-jbt}) = 2 + |K|e^{at}(e^{j(b + \theta_K)} + e^{-j(b+\theta_K)}) = 2 + 2e^{at}|K|cos(bt + \theta_K)$[/tex]
Quindi posso scegliere la soluzione da sostituire per il calcolo del residuo in modo arbitrario. Non avevo ben chiaro questo e inoltre non ottenendo quasi mai la soluzione del libro per quanto riguarda l'angolo, credevo di sbagliare o che ci fosse qualche regola particolare.
Vi ringrazio per l'aiuto.
e se fosse negativa solo la parte reale immaginaria?
Vi ringrazio per l'aiuto.
Anzi volendo essere più precisi e usando la definizione di fase di numero complesso che restituisce sempre un valore compreso in nel secondo caso la fase sarebbe questo perchè sia la parte reale che la parte immaginaria sono negative.
e se fosse negativa solo la parte reale immaginaria?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo