Teorema di Parseval
ciao a tutti,
qualcuno sa dirmi perchè il prodotto tra una funzione $s(t)$ per la sua coniugata è uguale al prodotto tra la trasformata $S(f)$ e la sua coniugata e quindi si arriva a dimostrare il teorema di Parseval?
grazie a tutti
Irene
qualcuno sa dirmi perchè il prodotto tra una funzione $s(t)$ per la sua coniugata è uguale al prodotto tra la trasformata $S(f)$ e la sua coniugata e quindi si arriva a dimostrare il teorema di Parseval?
grazie a tutti
Irene
Risposte
Dimostrazione alla buona, supponiamo $h,g$ due segnali F-trasformabili, e supponiamo la validità dell'antitrasformazione, allora possiamo scrivere
$\int_RR h(t) \bar g(t) dt = \int_RR (\int_RR H(f) e^{j2\pi f t} df) \bar g(t) dt$
scambiando gli integrali (è possibile poichè dalle ipotesi $H(f)\bar g(t)$ sono integrabili su $RR^2$) si ottiene
$\int_RR H(f) (\int_RR \bar g(t) e^{j2\pi ft} dt) df = \int_RR H(f) \bar G(f) df$
Se poi $g(t)=h(t)$ si ottiene appunto la relazione di parseval
Si può dimostrare anche con il teorema di convoluzione.
Questo risultato è vero per funzioni $L^2$ ovvero le funzioni quadrato-sommabili... La dimostrazione si basa sulla densità delle funzioni di Schwartz nello spazio $L^2$ e sulla completezza dello stesso.
$\int_RR h(t) \bar g(t) dt = \int_RR (\int_RR H(f) e^{j2\pi f t} df) \bar g(t) dt$
scambiando gli integrali (è possibile poichè dalle ipotesi $H(f)\bar g(t)$ sono integrabili su $RR^2$) si ottiene
$\int_RR H(f) (\int_RR \bar g(t) e^{j2\pi ft} dt) df = \int_RR H(f) \bar G(f) df$
Se poi $g(t)=h(t)$ si ottiene appunto la relazione di parseval
Si può dimostrare anche con il teorema di convoluzione.
Questo risultato è vero per funzioni $L^2$ ovvero le funzioni quadrato-sommabili... La dimostrazione si basa sulla densità delle funzioni di Schwartz nello spazio $L^2$ e sulla completezza dello stesso.
"sharkbait":
ciao a tutti,
qualcuno sa dirmi perchè il prodotto tra una funzione $s(t)$ per la sua coniugata è uguale al prodotto tra la trasformata $S(f)$ e la sua coniugata e quindi si arriva a dimostrare il teorema di Parseval?
grazie a tutti
Irene
Non e' mica vero che quei prodotti - intesi come funzioni - sono eguali. E' vero che i loro integrali sono eguali, cioe' e' vero il Teorema di Parseval. Sul perche' valga il teorema di Parseval
non capisco se vuoi sapere come funziona la dimostrazione, se vuoi "il motivo filosofico" per cui la dimostrazione vale o se vuoi visualizzare il significato (matematico o fisico) di tale
risultato.
Ovviamente spero si riferisse all'uguaglianza degli integrali del prodotto di quelle funzioni...
Tra le funzioni direttamente nn c'è alcuna correlazione :/
Tra le funzioni direttamente nn c'è alcuna correlazione :/
@Irene
Questo, dal punto di vista strettamente intuitivo, ti sconvolge? Lega la relazione di Parseval all'energia del segnale e scoprirai che risulta del tutto ovvia.
Questo, dal punto di vista strettamente intuitivo, ti sconvolge? Lega la relazione di Parseval all'energia del segnale e scoprirai che risulta del tutto ovvia.
si si certo mi riferivo all'uguaglianza degli integrali del prodotto delle funzioni...
mi sfugge appunto il fatto matematico e la relazione pratica legata all'energia del segnale...comunque comincio a vederci sicuramente più chiaro
mi sfugge appunto il fatto matematico e la relazione pratica legata all'energia del segnale...comunque comincio a vederci sicuramente più chiaro
scusate ho scritto da cani... dicevo la dimostrazione matematica ora mi torna, grazie Ska...
è la relazione con l'energia che mi sfugge. scusate i discorsi contorti, ma sto impazzendo su quest'esame...
è la relazione con l'energia che mi sfugge. scusate i discorsi contorti, ma sto impazzendo su quest'esame...
L'enegia di un segnale è definita nel seguente modo:
$E=\int_(-\infty)^(+\infty)|s(t)|^2dt$
Inoltre per l'eguaglianza di Parseval si ha:
$E=\int_(-\infty)^(+\infty)|s(t)|^2dt=\int_(-\infty)^(+\infty)|S(f)|^2df$
Quindi questa relazione ti dice che l'energia del segnale e della sua trasformata è esattamente la stessa. Ti apparirà chiaro come questa sia una cosa ovvia, essendo la trasformata soltanto un modo di vedere diversamente lo stesso segnale.
$E=\int_(-\infty)^(+\infty)|s(t)|^2dt$
Inoltre per l'eguaglianza di Parseval si ha:
$E=\int_(-\infty)^(+\infty)|s(t)|^2dt=\int_(-\infty)^(+\infty)|S(f)|^2df$
Quindi questa relazione ti dice che l'energia del segnale e della sua trasformata è esattamente la stessa. Ti apparirà chiaro come questa sia una cosa ovvia, essendo la trasformata soltanto un modo di vedere diversamente lo stesso segnale.
ecco ecco ora è tutto più chiaro! grazie mille!
grazie mille!
Gentili utenti del forum, sono nuovo qui nel forum.
Vi scrivo perchè non mi è chiaro il significato di coniugato di una funzione visto che in questo caso ha come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali e non quello dei complessi.
Vi ringrazio della risposta
Vi scrivo perchè non mi è chiaro il significato di coniugato di una funzione visto che in questo caso ha come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali e non quello dei complessi.
Vi ringrazio della risposta
Il tuo è un caso particolare, non è detto che quelle funzioni siano definite "solamente" nell'insieme dei numeri reali nel qual caso, tra l'altro, potresti anche non considerare il modulo ma solamente il quadrato.
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