[Teo dei Segnali] Trasformata Serie
Salve a tutti, nell'ultimo appello avevo un esercizio di cui non riesco a venire a capo. Eccolo qua:
Sia dato il segnale periodico $ x(t)=(3A)/4*sin (pi*B*t)+A/4*sin(3*pi*B*t) $. Calcolare periodo del segnale, trasformata serie di Fourier, e il rapporto in dB tra la potenza associata alla fondamentale e quella alla terza armonica.
Allora per il primo quesito semplicemente: $ T_1=2/B $ ; $ T_2=2/(3B) $ => $ T=2/(B) $
Per il secondo, essendo un segnale dispari posso utilizzare la formula semplificata, per cui:
$ x_k=-(2i)/T*int_(0)^(T/2) [(3A)/4*sin (pi*B*t)+A/4*sin(3*pi*B*t)]*sin(pi*k*B*t) dt $
Allora questo è risolvibile sviluppando in prodotto e dividendo in due integrali distinti, ma con i calcoli viene una cosa abnorme e la cosa mi puzza. Sbaglio qualcosa? o c'è un metodo di risoluzione più veloce?
Per il terzo punto proprio non so da dove partire. Cioè, dovrei, una volta calcolata la serie di fourier, calcolare la potenza del segnale per $ k=1 $ e per $k = 3 $ e farne il rapporto?
Grazie!
Sia dato il segnale periodico $ x(t)=(3A)/4*sin (pi*B*t)+A/4*sin(3*pi*B*t) $. Calcolare periodo del segnale, trasformata serie di Fourier, e il rapporto in dB tra la potenza associata alla fondamentale e quella alla terza armonica.
Allora per il primo quesito semplicemente: $ T_1=2/B $ ; $ T_2=2/(3B) $ => $ T=2/(B) $
Per il secondo, essendo un segnale dispari posso utilizzare la formula semplificata, per cui:
$ x_k=-(2i)/T*int_(0)^(T/2) [(3A)/4*sin (pi*B*t)+A/4*sin(3*pi*B*t)]*sin(pi*k*B*t) dt $
Allora questo è risolvibile sviluppando in prodotto e dividendo in due integrali distinti, ma con i calcoli viene una cosa abnorme e la cosa mi puzza. Sbaglio qualcosa? o c'è un metodo di risoluzione più veloce?
Per il terzo punto proprio non so da dove partire. Cioè, dovrei, una volta calcolata la serie di fourier, calcolare la potenza del segnale per $ k=1 $ e per $k = 3 $ e farne il rapporto?
Grazie!
Risposte
Puoi usare le formule di Werner per semplificare i conti, ti verranno integrali di coseni..un pò elaborioso ma non impossibile. Il 3° punto si devi fare il rapporto e poi calcolarlo in dB.
"Blackorgasm":
Puoi usare le formule di Werner per semplificare i conti, ti verranno integrali di coseni..un pò elaborioso ma non impossibile. Il 3° punto si devi fare il rapporto e poi calcolarlo in dB.
Allora, dopo mille peripezie sono attivato a questo:
$ x_k= (i3A)/(4T)[(sen(pi(1-k)))/(pi*B(1-k)) - (sen(pi(1+k)))/(pi*B(1+k))] -(iA)/(4T)[(sen(pi(3-k)))/(pi*B(3-k)) - (sen(pi(3+k)))/(pi*B(3+k))] $
Può essere giusto? Anche perchè a questo punto, la prima armonica non dovrebbe essere quella per $ k = 1 $ ?
Solo che per $ k = 1 $ si annulla tutto. Anzi, si annulla tutto per qualsiasi $k$ intero. Dove sbaglio? :/
Via lo userò come topi ufficiale per le mie domande a questo punto 
Altro quesito sciocco ma a cui non vengo a capo.
Nota questa trasformata notevole $ cos(2pif_0t)<=>1/2delta(f-f_0)+1/2 delta(f+f_0) $
Se io ad esempio avessi da calcolare la trasformata di questo segnale $ x(t)=1/4cos(3/2pif_0t) $ Come faccio?
Io ho pensato di utlizzare il teo del cambiamento di scala $ x(at)<=>1/|a|X(f/a) $ , vedendo il segnale come $ 1/4cos[3/4(*2pif_0t)] $ dove $3/4=a$ e quindi:
$ X(f)=1/6[*delta((4f)/3-f_0)+delta((4f)/3+f_0)] $
Ma è giusto? O c'è un altro modo?
Altro quesito sciocco ma a cui non vengo a capo.
Nota questa trasformata notevole $ cos(2pif_0t)<=>1/2delta(f-f_0)+1/2 delta(f+f_0) $
Se io ad esempio avessi da calcolare la trasformata di questo segnale $ x(t)=1/4cos(3/2pif_0t) $ Come faccio?
Io ho pensato di utlizzare il teo del cambiamento di scala $ x(at)<=>1/|a|X(f/a) $ , vedendo il segnale come $ 1/4cos[3/4(*2pif_0t)] $ dove $3/4=a$ e quindi:
$ X(f)=1/6[*delta((4f)/3-f_0)+delta((4f)/3+f_0)] $
Ma è giusto? O c'è un altro modo?
Non mi convince la trasformata, ho provato a fare due conti e per esempio $B$ al denominatore sparisce, e mi vengono solo due termini. Comunque non ti allarmare, non è un problema di segnali alla fine, è solamente un integrale (anche se ovviamente bisogna saperli fare XD ).
Per l'altro esercizio non c'è bisogno del teorema del cambiamento di scala, il termine $1/4$ lo porti fuori dalla TCF ed arrivederci, mentre il coseno puoi riscriverlo come $cos(2pi3/4f_0t)$, e quindi avrai due delta in $+-3/4f_0$ di area $1/8$
(anche se ovviamente bisogna saperli fare XD ).Per l'altro esercizio non c'è bisogno del teorema del cambiamento di scala, il termine $1/4$ lo porti fuori dalla TCF ed arrivederci, mentre il coseno puoi riscriverlo come $cos(2pi3/4f_0t)$, e quindi avrai due delta in $+-3/4f_0$ di area $1/8$
"Blackorgasm":
Non mi convince la trasformata, ho provato a fare due conti e per esempio $B$ al denominatore sparisce, e mi vengono solo due termini. Comunque non ti allarmare, non è un problema di segnali alla fine, è solamente un integrale
Per l'altro esercizio non c'è bisogno del teorema del cambiamento di scala, il termine $1/4$ lo porti fuori dalla TCF ed arrivederci, mentre il coseno puoi riscriverlo come $cos(2pi3/4f_0t)$, e quindi avrai due delta in $+-3/4f_0$ di area $1/8$
Ok, domani mi ci metto e riprovo a calcolarlo finchè non torna! xD
Per il secondo punto ok. Posso considerarla come $ 3/4 f_0 $ e quindi come una transazione di quella quantità. Perfetto grazie!
"Blackorgasm":
Non mi convince la trasformata, ho provato a fare due conti e per esempio $B$ al denominatore sparisce, e mi vengono solo due termini. Comunque non ti allarmare, non è un problema di segnali alla fine, è solamente un integrale
Per l'altro esercizio non c'è bisogno del teorema del cambiamento di scala, il termine $1/4$ lo porti fuori dalla TCF ed arrivederci, mentre il coseno puoi riscriverlo come $cos(2pi3/4f_0t)$, e quindi avrai due delta in $+-3/4f_0$ di area $1/8$
Allora, non riesco a capire dove sbaglio, posto un pò di calcoli:
$ X_k=-(2i)/T*int_(0)^(T/2) [[(3A)/4*sin (pi*B*t)] *sin(pi*k*B*t)+ [A/4*sin(3*pi*B*t)]*sin(pi*k*B*t)] dt $
$ =-(2i)/(T)*int_(0)^(T/2) [(3A)/4sin(piBt)*sin(pibtk)]dt -(2i)/(T)int_(0)^(T/2)[A/4sin(3piBt)*sin(piBtk)]dt $
Uso werner e semplifico l'$1/2$ con il primo termine fuori dall'integrale:
$ =-(3Ai)/(4T)*int_(0)^(T/2) [cos(tpiB(1-k))-cos(tpiB(1+k))]dt -(Ai)/(4T)int_(0)^(T/2)[cos(tpiB(3-k))-cos(tpiB(3+k))]dt $
Svolgendo il primo integrale, viene:
$ = [(sin((T/2)piB(1-k)))/(piB(1-k)) - (sin((T/2)piB(1+k)))/(piB(1+k))] $
Ricordandosi che $ B=2/T $ :
$ = T/2[(sin(pi(1-k)))/(pi(1-k)) - (sin(pi(1+k)))/(pi(1+k))] $ Ho raccolto il fattore $T/2$ e portato fuori.
Il secondo integrale è speculare, e quindi infine il totale viene:
$ = -(3Ai)/(8)[(sin(pi(1-k)))/(pi(1-k)) - (sin(pi(1+k)))/(pi(1+k))]-(iA)/8[(sin(pi(3-k)))/(pi(3-k)) - (sin(pi(3+k)))/(pi(3+k))] $
E' praticamente uguale a prima, avevo sbagliato di un fatto, o ho sbagliato adesso.
Dov'è che sbaglio? :/
$sin(pix)/(pix)=sinc(x)$ 
"Blackorgasm":
$sin(pix)/(pix)=sinc(x)$
Ci avevo pensato, però con la trasformata serie non mi era mai capitato e quindi non sapevo se si poteva fare cmq con la variabile $ k $.
Cmq a questo punto:
$x_k = -(iA)/8[3 sinc(1-k)-3sinc(1+k)+sinc(3-k)-sinc(3+k)] $
A meno che mi sfugga qualche magica proprietà della $sinc $ mi sembra che non si possa semplificare di più.
Ora, la sinc per i valori interi si annulla. Quindi come calcolo la potenza del segnale, o meglio delle due armoniche?
Anche se ora che ci penso io so calcolare la potenza di un segnale del tempo, ma in questo caso come si fa?
Usa il teorema di Parseval per segnali periodici, poi fai il rapporto in dB delle due quantita
"Blackorgasm":
Usa il teorema di Parseval per segnali periodici, poi fai il rapporto in dB delle due quantita
Ma perceval non è per l'energia? e soprattutto per i segnali in frequenza? Qui dovrei calcolare la potenza di un termine della serie di fourier. Come faccio?
Uso come variabile k?
http://www.comlab.uniroma3.it/Tds_el/03 ... ourier.pdf
$P_x=sum(|x_k)|^2)$, quindi a te basta trovare (banalmente) $|x_1|^2$ e $|x_3|^2$
$P_x=sum(|x_k)|^2)$, quindi a te basta trovare (banalmente) $|x_1|^2$ e $|x_3|^2$
"Blackorgasm":
http://www.comlab.uniroma3.it/Tds_el/03_Segnali_periodici_serie_Fourier.pdf
$P_x=sum(|x_k)|^2)$, quindi a te basta trovare (banalmente) $|x_1|^2$ e $|x_3|^2$
Ecco, il professore nel suo corso alquanto approssimativo forse avrebbe fatto meglio a consigliarci un libro invece di dire "bastano i miei appunti" :/
Cmq ok, ora manifesterò tutta la mia ignoranza ma proviamo:
$|x_k| = |-(iA)/8[3 sinc(1-k)-3sinc(1+k)+sinc(3-k)-sinc(3+k)]| $
$ = A/8|3 sinc(1-k)-3sinc(1+k)+sinc(3-k)-sinc(3+k)| $
$ |x_k|^2= A^2/64|3 sinc(1-k)-3sinc(1+k)+sinc(3-k)-sinc(3+k)|^2 $
Ritorno al problema che se $ K = 1,2,3....n in N$ il tutto mi si annulla.
Sono convinto di sbagliare qualcosa nel calcolo del modulo.
no per $k=1$ e $k=3$ non tutto si annulla ($sinc(0)=1$)
Rivoluzione
Allora mi sono reso conto che con i seni e i coseni la trasformata serie è moooolto più semplice e non serve fare tutto questo ambaradam
Allora:
$ x(t)=(3A)/4sin(piBt)+A/4sin(3piBt) $
Sapendo che $T_0=2/B;f_0=B/2$ posso riscriverli come:
$ x(t)=(3A)/4sin(2pi[f_0]t)+A/4sin(2pi[3f_0]t) $
Da cui, per la forma complessa del seno, $x_k$ non può essere che:
$ x_k={ ( (3A)/(8i);K=1 ),( -(3A)/(8i);K=-1 ):} $ per il primo seno, e:
$ x_k={ ( (A)/(8i);K=3 ),( -(A)/(8i);K=-3 ):} $ per il secondo.
Quindi risulta evidente che il rapporto fra le potenze è:
$ |(3A)/8|^2/|A/8|^2=9 $
Che mi sembra torni anche con il calcolone di prima
Può essere?
Allora mi sono reso conto che con i seni e i coseni la trasformata serie è moooolto più semplice e non serve fare tutto questo ambaradam
Allora:
$ x(t)=(3A)/4sin(piBt)+A/4sin(3piBt) $
Sapendo che $T_0=2/B;f_0=B/2$ posso riscriverli come:
$ x(t)=(3A)/4sin(2pi[f_0]t)+A/4sin(2pi[3f_0]t) $
Da cui, per la forma complessa del seno, $x_k$ non può essere che:
$ x_k={ ( (3A)/(8i);K=1 ),( -(3A)/(8i);K=-1 ):} $ per il primo seno, e:
$ x_k={ ( (A)/(8i);K=3 ),( -(A)/(8i);K=-3 ):} $ per il secondo.
Quindi risulta evidente che il rapporto fra le potenze è:
$ |(3A)/8|^2/|A/8|^2=9 $
Che mi sembra torni anche con il calcolone di prima
Può essere?
si sembra giusto devi farlo in dB però il rapporto ($10*log_10$)
devi farlo in dB però il rapporto ($10*log_10$)
"Blackorgasm":
si sembra giusto
Quindi in sostanza $ 10log_10(9) $ ?
"Blackorgasm":
Presumo che ancora non ti hanno introdotto il decibel
No infatti xD
però qui leggo che il rapporto espresso in dB fra due numeri o due grandezze fisiche omogenee, N1 e N2, resta quindi definito come
$ 10log_10(N_1/N_2) $
Quindi non dovrebbe essere come ho scritto?
si si va bene come hai fatto però non sempre il fattore a moltiplicare è 10; è 10 quando hai un rapporto di potenze o energie, sennò è 20
però non sempre il fattore a moltiplicare è 10; è 10 quando hai un rapporto di potenze o energie, sennò è 20
"Blackorgasm":
si si va bene come hai fatto
Ok perfetto. Grazie mille, Mi sei stato di grande aiuto.
Se sei pratico anche di segnali aleatori, e soprattutto se ne hai voglia
, avrei fatto un paio di domande qua a cui nessuno sembra interessarsi più di tanto xD post661828.html#p661828Grazie cmq, in ogni caso!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo