[Teo dei Segnali] Trasformata Serie

[Jonhson91]

Salve a tutti, nell'ultimo appello avevo un esercizio di cui non riesco a venire a capo. Eccolo qua:

Sia dato il segnale periodico $ x(t)=(3A)/4*sin (pi*B*t)+A/4*sin(3*pi*B*t) $. Calcolare periodo del segnale, trasformata serie di Fourier, e il rapporto in dB tra la potenza associata alla fondamentale e quella alla terza armonica.

Allora per il primo quesito semplicemente: $ T_1=2/B $ ; $ T_2=2/(3B) $ => $ T=2/(B) $

Per il secondo, essendo un segnale dispari posso utilizzare la formula semplificata, per cui:

$ x_k=-(2i)/T*int_(0)^(T/2) [(3A)/4*sin (pi*B*t)+A/4*sin(3*pi*B*t)]*sin(pi*k*B*t) dt $

Allora questo è risolvibile sviluppando in prodotto e dividendo in due integrali distinti, ma con i calcoli viene una cosa abnorme e la cosa mi puzza. Sbaglio qualcosa? o c'è un metodo di risoluzione più veloce?

Per il terzo punto proprio non so da dove partire. Cioè, dovrei, una volta calcolata la serie di fourier, calcolare la potenza del segnale per $ k=1 $ e per $k = 3 $ e farne il rapporto?

Grazie!

[Jonhson91]

Ok, altra domanda. Scusate per il doppio post

Un sistema ha questo ingresso $ x(t)=Asin(2pif_0t) $ e questa uscita $ y(t)=Af_0 cos(2pif_0t) $
Calcolare $H(f)$ e la risposta al segnale di ingresso gradino unitario.

Allora mi sono calcolato le trasformate:

$ X(f)= (A)/(2i)[delta(f-f_0)-delta(f+f_0)] $
$ Y(f)=(Af_0)/2[delta(f-f_0)+delta(f+f_0)] $

Ora da definizione

$ H(f)=(Y(f))/(X(f))=i*f_0[delta(f-f_0)+delta(f+f_0)]/[delta(f-f_0)-delta(f+f_0)] $

Si può semplificare in qualche modo?

Cmq poi prendo la trasformata del gradino unitario $ X(f)=1/(i2pif)+1/2*delta(f) $

E quindi la nuova uscita dovrebbe essere il prodotto:

$ Y(f)=[1/(i2pif)+1/2*delta(f)]*[i*f_0[delta(f-f_0)+delta(f+f_0)]/[delta(f-f_0)-delta(f+f_0)]] $

Ma è così? e se è così come lo semplifico questo obrobrio? :/
Grazie.

[Blackorgasm]

No non è così, perché la trasformata di $y(t)$ non è quella, in quanto hai anche un $f_0$ fuori dall'argomento del coseno.
Io avrei ragionato diversamente (anche se va bene il procedimento che hai seguito), ti basta osservare che il sistema applica uno sfasamento ed una amplificazione, quindi è essenzialmente un filtro derivatore

[Jonhson91]

"Blackorgasm":No non è così, perché la trasformata di $y(t)$ non è quella, in quanto hai anche un $f_0$ fuori dall'argomento del coseno.
Io avrei ragionato diversamente (anche se va bene il procedimento che hai seguito), ti basta osservare che il sistema applica uno sfasamento ed una amplificazione, quindi è essenzialmente un filtro derivatore

Ma essendo $ f_0$ una costante come $A$, perchè la trasformata non è quella?

Cmq considerandolo un derivatore ottengo questo:

Dato che $ (d x(t))/dt=A2pif_0*cos(2pif_0t) $

Semplicemente questo sistema deve essere $ y(t)=2pi*(dx(t))/(dt) $

Da cui $ Y(f)=2pi*X(f)[i2pif] $

e quindi $ H(f) = i4(pi)^2f $

Quindi la risposta al gradino unitario è $ Y(f) = [1/(i2pif)+1/2delta(f)][i4(pi)^2f] $

Che se non sbaglio fa semplicemente $ Y(f)=2pi $ O.O

da cui segue che $ y(t)=2pi* delta(t) $

Può essere?

[Blackorgasm]

si scusami sul fatto di $f_0$, ho fatto confusione XD comunque il miglior approccio è quello che ti ho detto io in questo caso; il procedimento è quello giusto però è sbagliata la costante, hai fatto un errorino al secondo passaggio, devi dividere la derivata per $2pi$ e non moltiplicarla

[Jonhson91]

"Blackorgasm":si scusami sul fatto di $f_0$, ho fatto confusione XD comunque il miglior approccio è quello che ti ho detto io in questo caso; il procedimento è quello giusto però è sbagliata la costante, hai fatto un errorino al secondo passaggio, devi dividere la derivata per $2pi$ e non moltiplicarla

Ah si ho moltiplicato invece di dividere, che miccio xD cmq ok, torna!

Hai idea di come potrebbe tornarmi lo stesso risultato nell'altro metodo? xD