[Telecomunicazioni] Energia di un filtro RC
Salve a tutti, ho un filtro RC con risposta in frequenza:
$H(f)=1/(1+2piiRCf)$
del quale vorrei calcolare la Banda al 95% dell'energia.
Allora calcolo prima di tutto l'energia del filtro, cioè l'integrale su tutto $RR$ del modulo quadro della risposta in frequenza del filtro.
Il modulo quadro è
$|H(f)|^2= 1/(1+(2piRCf)^2)$
e quindi l'integrale è (ricordando che la funzione integranda è pari):
$epsilon= \int_RR 1/(1+(2piRCf)^2) df = 2\int_0^(+oo) 1/(1+(2piRCf)^2) df = 2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^(+oo) = 1/(2RC)$
E qualcosa non mi torna perché ho ottenuto una frequenza (1 su costante di tempo). C'è qualche errore? Grazie
$H(f)=1/(1+2piiRCf)$
del quale vorrei calcolare la Banda al 95% dell'energia.
Allora calcolo prima di tutto l'energia del filtro, cioè l'integrale su tutto $RR$ del modulo quadro della risposta in frequenza del filtro.
Il modulo quadro è
$|H(f)|^2= 1/(1+(2piRCf)^2)$
e quindi l'integrale è (ricordando che la funzione integranda è pari):
$epsilon= \int_RR 1/(1+(2piRCf)^2) df = 2\int_0^(+oo) 1/(1+(2piRCf)^2) df = 2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^(+oo) = 1/(2RC)$
E qualcosa non mi torna perché ho ottenuto una frequenza (1 su costante di tempo). C'è qualche errore? Grazie
Risposte
Considera che dimensionalmente l’integrale rappresenta una banda equivalente di rumore [Hz].
Quindi ho ottenuto la banda al 100% dell'energia?
Allora per la banda al 95% dovrei calcolare:
$epsilon_0.95= 2\int_0^(F) 1/(1+(2piRCf)^2) df = 2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^F = 1/(piRC)arctan(2piRCF)$
e, per trovare la frequenza che racchiude il 95% dell'energia, devo imporre:
$1/(piRC)arctan(2piRCF)=0.95/(2RC) => arctan(2piRCF)=0.95pi/2=>2piRCF=tan(0.95pi/2)=>$
$F~=4/(2RC)$
ma ho ottenuto una quantità maggiore rispetto all'energia totale calcolata prima... i conti non tornano...
Allora per la banda al 95% dovrei calcolare:
$epsilon_0.95= 2\int_0^(F) 1/(1+(2piRCf)^2) df = 2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^F = 1/(piRC)arctan(2piRCF)$
e, per trovare la frequenza che racchiude il 95% dell'energia, devo imporre:
$1/(piRC)arctan(2piRCF)=0.95/(2RC) => arctan(2piRCF)=0.95pi/2=>2piRCF=tan(0.95pi/2)=>$
$F~=4/(2RC)$
ma ho ottenuto una quantità maggiore rispetto all'energia totale calcolata prima... i conti non tornano...
Non credo di aver ben compreso. Provo a ricapitolare.
L'energia ha questa espressione:
$epsilon(B)=\int_(-B)^(+B) |H(f)|^2df=2\int_(0)^(+B) |H(f)|^2df=2\int_(0)^(+B) 1/(1+(2piRCf)^2)df=2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^B = 1/(piRC)arctan(2piRCB)$
Quindi per calcolarmi l'energia totale estendo l'intervallo a tutto l'asse delle frequenze, ottenendo
$epsilon=2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^(+oo) = 1/(2RC)$
Questo risultato è corretto?
Ora, per trovare la banda al 95% dell'energia, cioè la frequenza entro la quale è contenuto il 95% dell'energia totale, devo imporre
$2\int_(0)^(+B) 1/(1+(2piRCf)^2)df=1/(piRC)arctan(2piRCB) = 0.95epsilon$
o sbaglio?
L'energia ha questa espressione:
$epsilon(B)=\int_(-B)^(+B) |H(f)|^2df=2\int_(0)^(+B) |H(f)|^2df=2\int_(0)^(+B) 1/(1+(2piRCf)^2)df=2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^B = 1/(piRC)arctan(2piRCB)$
Quindi per calcolarmi l'energia totale estendo l'intervallo a tutto l'asse delle frequenze, ottenendo
$epsilon=2[1/(2piRC)arctan(2piRCf)]_0^(+oo) = 1/(2RC)$
Questo risultato è corretto?
Ora, per trovare la banda al 95% dell'energia, cioè la frequenza entro la quale è contenuto il 95% dell'energia totale, devo imporre
$2\int_(0)^(+B) 1/(1+(2piRCf)^2)df=1/(piRC)arctan(2piRCB) = 0.95epsilon$
o sbaglio?
Il primo risultato, con un filtro passivo di questo tipo, corrisponde alla “Banda equivalente di rumore” bilatera del filtro.
Nel secondo la banda $B$ corrisponde alla banda monolatera al 95% del filtro.
I due risultati rappresentano grandezze fisiche differenti, e sono quindi difficilmente paragonabili.
Nel secondo la banda $B$ corrisponde alla banda monolatera al 95% del filtro.
I due risultati rappresentano grandezze fisiche differenti, e sono quindi difficilmente paragonabili.
Ma quindi non è questa l'espressione dell'energia, in funzione della banda?
$epsilon(B)=1/(piRC)arctan(2piRCB)$
$epsilon(B)=1/(piRC)arctan(2piRCB)$
Questo è il calcolo dell’energia in banda applicato alla fdt del filtro: attenzione però che, trattandosi di una fdt e non di uno spettro, non si tratta di vera energia e infatti dimensionalmente non lo è.
Ok, intuitivamente credo perché il filtro è un elemento passivo e quindi non c'è una vera e propria energia, ma quindi se volessi trovare la banda al 95% dell'energia di quel filtro, che equazione dovrei impostare?
"Sinuous":
Nel secondo la banda $ B $ corrisponde alla banda monolatera al 95% del filtro.