[Telecomunicazioni] Calcolo densità spettrale di energia

[F3d3rik]

Ciao, sto provando a risolvere questo esercizio dove si richiede di calcolare la densità spettrale di energia e poi l'energia del segnale $z(t)$:
$z(t) = x(t) - y(t)$
dove $x(t) = 1/2 \delta (t-f_0)$ e $y(t) = 1/(2j) \delta (t + f_0)$ , con $f_0$ costante positiva
Ho calcolato lo spettro del segnale $Z(f) = 1/2*(e^(-j2 \pi f f_0)+je^(j2 \pi f f_0))$ ma sto trovando un po' di difficoltà a fare il quadrato del modulo.
Ho pensato di esplicitare la parte reale e la parte immaginaria ottenendo $1/2(\cos(2 \pi f f_0) - \sin(2 \pi f f_0)) + j/2(\cos(2 \pi f f_0) - \sin(2 \pi f f_0))$ e poi moltiplicare per il coniugato ma mi sembra di aver complicato le cose.
Sapreste aiutarmi?

[Flamber]

Allora innanzi tutto facciamo che $t_0=f_0$, non capisco chi abbia deciso di usare proprio $f_0$ come nome della costante.

Per la linearità della trasformata di Fourier:

$Z(f)=X(f)-Y(f)$

$X(f)=1/2e^(j2\pit_0f)$

$Y(f)=1/(2j)e^(-j2\pit_0f)$

$Z(f)=1/(2)(e^(j2\pit_0f)+je^(-j2\pit_0f)) = 1/(2)(e^(j2\pit_0f)+e^(j\pi/2)e^(-j2\pit_0f)) = 1/(2)(e^(j2\pit_0f)+e^(-j(2\pit_0f-\pi/2)))$

$\bar{Z(f)}=1/(2)(e^-(j2\pit_0f)+e^(j(2\pit_0f-\pi/2)))$

e ora ti tocca fare questo calcolo
$|Z(f)|^2=Z(f)*\bar{Z(f)}$

P.S. non garantisco sui segni

[F3d3rik]

Grazie, non ci ero proprio arrivato ad esprimere $j$ come $e^(j\pi/2)$.
Ti confermo che hai sbagliato i segni perchè per la proprietà di traslazione nel tempo $v(t - t_d) \leftrightarrow V(f)e^(-j2\pi f t_d$.
Alla fine viene $1/2(1 - \sin(4\pi f t_0)$ però mi fa sorgere un dubbio: dato che è periodico non ha senso parlare di energia semmai si può calcolare la potenza (e verrebbe $P = 1/(8t_0 ^2)$) o sbaglio?

[Flamber]

Giusto. Essendo un segnale ad energia infinita ha senso solo parlare di potenza