[Tecnica delle costruzioni] Telaio a nodi spostabili
Ciao a tutti, rieccomi con un dubbio su tecnica delle costruzioni.
Sto cercando di risolvere questo telaio a nodi spostabili tramite il metodo "misto", e ho qualche problema a impostare il sistema di equazioni.
Metto cerniere in tutti i nodi e trovo una struttura principale ipostatica, alla quale aggiungo una biella fittizia per renderla isostatica. Quindi separatamente metto in evidenza i carichi, le iperstatiche e lo spostamento:
Io da quel che ho capito devo imporre la congruenza nei tre punti $A, B, C$ e quindi le condizioni:
$ { ( theta_A = 0 ),( Deltatheta_(B) = theta_(BA) - theta_(BC)=0 ),( Deltatheta_(C) = theta_(CB) - theta_(CD)=0 ):} $
Oltre a queste devo mettere la condizione di equilibrio per la quale la reazione complessiva al piede della biella fittizia sia nulla... confermate fin qui??
Il professore nella soluzione dell'esercizio scrive il sistema di equazioni in questa forma:
$ ( ( (2/3 L)/(3EJ) , (2/3 L)/(6EJ) , 0 , 3/(2L) ),( (2/3 L)/(6EJ) , ((2/3 + 1)L)/(3EJ) , L
/(6EJ) , -3/(2L)),( 0 , L/(6EJ) , (2L)/(3EJ) , 1/L ),( -3/(2L) , 3/(2L) , -1/L , 0 ) ) ( ( X_1 ),( X_2 ),( X_3 ),( eta ) ) =( ( 0 ),( (pL^3)/(24EJ) ),( (pL^3)/(24EJ) ),( 0 ) ) $
(la quarta equazione è la condizione di equilibrio)
I coefficienti di influenza mi sono chiari.
Invece non capisco come abbia fatto a scrivere i coefficienti dell'ultima colonna:
sono le reazioni che provoca CIASCUNA iperstatica al piede della biella, oppure le reazioni provocate dallo spostamento unitario $eta = 1$ al piede della biella?
Ma soprattutto... Non capisco perché nelle tre equazioni di congruenza debbano comparire le reazioni del piede della biella, se stiamo considerando le rotazioni nei nodi!!
Grazie a chi vorrà rispondere
Sto cercando di risolvere questo telaio a nodi spostabili tramite il metodo "misto", e ho qualche problema a impostare il sistema di equazioni.
Metto cerniere in tutti i nodi e trovo una struttura principale ipostatica, alla quale aggiungo una biella fittizia per renderla isostatica. Quindi separatamente metto in evidenza i carichi, le iperstatiche e lo spostamento:
Io da quel che ho capito devo imporre la congruenza nei tre punti $A, B, C$ e quindi le condizioni:
$ { ( theta_A = 0 ),( Deltatheta_(B) = theta_(BA) - theta_(BC)=0 ),( Deltatheta_(C) = theta_(CB) - theta_(CD)=0 ):} $
Oltre a queste devo mettere la condizione di equilibrio per la quale la reazione complessiva al piede della biella fittizia sia nulla... confermate fin qui??
Il professore nella soluzione dell'esercizio scrive il sistema di equazioni in questa forma:
$ ( ( (2/3 L)/(3EJ) , (2/3 L)/(6EJ) , 0 , 3/(2L) ),( (2/3 L)/(6EJ) , ((2/3 + 1)L)/(3EJ) , L
/(6EJ) , -3/(2L)),( 0 , L/(6EJ) , (2L)/(3EJ) , 1/L ),( -3/(2L) , 3/(2L) , -1/L , 0 ) ) ( ( X_1 ),( X_2 ),( X_3 ),( eta ) ) =( ( 0 ),( (pL^3)/(24EJ) ),( (pL^3)/(24EJ) ),( 0 ) ) $
(la quarta equazione è la condizione di equilibrio)
I coefficienti di influenza mi sono chiari.
Invece non capisco come abbia fatto a scrivere i coefficienti dell'ultima colonna:
sono le reazioni che provoca CIASCUNA iperstatica al piede della biella, oppure le reazioni provocate dallo spostamento unitario $eta = 1$ al piede della biella?
Ma soprattutto... Non capisco perché nelle tre equazioni di congruenza debbano comparire le reazioni del piede della biella, se stiamo considerando le rotazioni nei nodi!!
Grazie a chi vorrà rispondere
Risposte
"Gendarmevariante":
... confermate fin qui??
Confermo
"Gendarmevariante":
Invece non capisco come abbia fatto a scrivere i coefficienti dell'ultima colonna:
Come hai disegnato giustamente te, lo spostamento $\eta$ provocherà anche un contributo rotazionale all'angolo $\phi_{A}$ ....se provi a capire quale sia questo contributo, capisci da dove arrivano i coefficienti di quella 4 colonna
"Gendarmevariante":
Ma soprattutto... Non capisco perché nelle tre equazioni di congruenza debbano comparire le reazioni del piede della biella, se stiamo considerando le rotazioni nei nodi!!
Cosa intendi con "reazioni del piede della biella?"
"Gendarmevariante":
Grazie a chi vorrà rispondere
Prego
"ELWOOD":
Cosa intendi con "reazioni del piede della biella?"
Niente, essendo i termini della quarta colonna uguali e contrari a quelli della quarta riga (che se ho capito bene sono le reazioni a terra della biella fittizia, la cui somma deve essere zero) credevo che fossero la stessa cosa!
"ELWOOD":
Come hai disegnato giustamente te, lo spostamento $\eta$ provocherà anche un contributo rotazionale all'angolo $\phi_{A}$ ....se provi a capire quale sia questo contributo, capisci da dove arrivano i coefficienti di quella 4 colonna
Scusa ma non capisco... Dici che per ogni nodo devo aggiungere anche i contributi dello spostamento, e ok; però dovendo essere tutti i termini della stessa dimensione, dovrò moltiplicare $eta$ (che è una lunghezza) per una forza o un momento, no?
Eppure i termini della quarta colonna sono solamente degli "inversi di lunghezze"...!!
Guardando la tabella dei coefficienti di influenza per il metodo delle FORZE, trovo che un'asta con due cerniere agli estremi che ha un cedimento $bar(eta)$ a un estremo sviluppa una rotazione $(bar(eta))/L$ all'altro estremo.
Ok, il caso è questo, perché se l'asta è lunga $2/3 L$ e il cedimento vale $1$ trovo i valori della quarta colonna: ma allora la mia $eta$ è una "forza"???
Cioè, io credevo di dover usare i coefficienti del metodo degli spostamenti!
Scusate la confusione ma il mio docente ha spiegato la teoria praticamente solo a parole, e in fretta =__=
Allora, vediamo di ricapitolare il tutto e fare un quadro generale della situazione.
Innanzitutto nella risoluzione di questi telai, tu stai applicando il metodo delle forze ovvero svincoli la struttura, evidenzi le forze incognite che nascono ed imponi la congruenza interna sugli spostamenti che generano.
Sei d'accordo fin qua?
Quindi, in breve, nel nostro telaietto (in cui prevalgono le azioni flessionali) svincoliamo gli incastri ed evidenziamo le forze incognite (che sono momenti) e andiamo a scrivere delle equazioni di congruenza interna sulle rotazioni che questi momenti generano.
In questo caso però abbiamo a che fare con un telaio a nodi spostabili esattamente un telaio ad 1 nodo spostabile....che cosa significa questo?
Significa che il telaio subirà un cinematismo esterno!
Per cui in questo caso non sono più sufficienti le equazioni di congruenza interne, ma dobbiamo scrivere anche 1 equazione di congruenza esterna (O PLV esterno).
Quindi le equazioni sono:
${(\theta_{AB}=0),(\theta_{BA}-\theta_{BC}=0),(\theta_{CB}=\theta_{CD}=0),(PLV):}$
Proviamo a scriverle per esteso (scrivo solo la prima le altre sarai in grado di farle te):
$\theta_{AB}=0$
Per cui quali sono i contributi alla rotazione $\theta_{AB}$?
Questa volta avrai anche il contributo esterno dovuto al cedimento $\eta$:
Quanto vale quell'angolo? Nell'ipotesi che sia molto piccolo è lecito approssimarlo al seno:
$\sin\theta_{AB}^{\eta}\approx \theta_{AB}^{\eta}= \frac{\eta}{2/3*L}=\frac{3\eta}{2L}$
Scriviamo quindi i contributi rotazionali in $A$:
$\theta_{AB}=\theta_{AB}^{(X_1)}+\theta_{AB}^{(X_2)}+\theta_{AB}^{\eta}=0$
Quindi:
$\frac{X_1*2/3*L}{3EJ}+\frac{X_2*2/3*L}{6EJ}+\frac{3\eta}{2L}=0$
Che come vedi coincide con la prima riga della matrice.
Per quanto riguarda il PLV (3 equazione) dobbiamo capire quali sono le forze che generano un lavoro con la rotazione esterna $\theta^{\ \eta}$
Quindi:
$PLV=0 \rarr \sum_{i=1}^n F_i*\theta^{ \ \eta}=0$
$X_1*\theta_{AB}^{\ \eta}-X_2*\theta_{AB}^{\ \eta}+X_3*\theta_{CD}^{\ \eta}=0$
Ora occhio che $\theta_{CD}^{\ \eta}\ne \theta_{AB}^{\ \eta}$ infatti $\theta_{CD}^{\ \eta}\approx\sin\theta_{CD}^{\ \eta}=\frac{\eta}{L}$
Per cui quest'ultima equazione diventa: (Se l'angolo è concorde col momento va il segno positivo, altrimenti se discordi negativo!)
$X_1*\frac{3\eta}{2L}-X_2*\frac{3\eta}{2L}+X_3*\frac{\eta}{L}=0$
Se dividi tutto per $\eta$ vedi che ti ritrovi con la 4 riga della matrice.
Ciao
Innanzitutto nella risoluzione di questi telai, tu stai applicando il metodo delle forze ovvero svincoli la struttura, evidenzi le forze incognite che nascono ed imponi la congruenza interna sugli spostamenti che generano.
Sei d'accordo fin qua?
Quindi, in breve, nel nostro telaietto (in cui prevalgono le azioni flessionali) svincoliamo gli incastri ed evidenziamo le forze incognite (che sono momenti) e andiamo a scrivere delle equazioni di congruenza interna sulle rotazioni che questi momenti generano.
In questo caso però abbiamo a che fare con un telaio a nodi spostabili esattamente un telaio ad 1 nodo spostabile....che cosa significa questo?
Significa che il telaio subirà un cinematismo esterno!
Per cui in questo caso non sono più sufficienti le equazioni di congruenza interne, ma dobbiamo scrivere anche 1 equazione di congruenza esterna (O PLV esterno).
Quindi le equazioni sono:
${(\theta_{AB}=0),(\theta_{BA}-\theta_{BC}=0),(\theta_{CB}=\theta_{CD}=0),(PLV):}$
Proviamo a scriverle per esteso (scrivo solo la prima le altre sarai in grado di farle te):
$\theta_{AB}=0$
Per cui quali sono i contributi alla rotazione $\theta_{AB}$?
Questa volta avrai anche il contributo esterno dovuto al cedimento $\eta$:
Quanto vale quell'angolo? Nell'ipotesi che sia molto piccolo è lecito approssimarlo al seno:
$\sin\theta_{AB}^{\eta}\approx \theta_{AB}^{\eta}= \frac{\eta}{2/3*L}=\frac{3\eta}{2L}$
Scriviamo quindi i contributi rotazionali in $A$:
$\theta_{AB}=\theta_{AB}^{(X_1)}+\theta_{AB}^{(X_2)}+\theta_{AB}^{\eta}=0$
Quindi:
$\frac{X_1*2/3*L}{3EJ}+\frac{X_2*2/3*L}{6EJ}+\frac{3\eta}{2L}=0$
Che come vedi coincide con la prima riga della matrice.
Per quanto riguarda il PLV (3 equazione) dobbiamo capire quali sono le forze che generano un lavoro con la rotazione esterna $\theta^{\ \eta}$
Quindi:
$PLV=0 \rarr \sum_{i=1}^n F_i*\theta^{ \ \eta}=0$
$X_1*\theta_{AB}^{\ \eta}-X_2*\theta_{AB}^{\ \eta}+X_3*\theta_{CD}^{\ \eta}=0$
Ora occhio che $\theta_{CD}^{\ \eta}\ne \theta_{AB}^{\ \eta}$ infatti $\theta_{CD}^{\ \eta}\approx\sin\theta_{CD}^{\ \eta}=\frac{\eta}{L}$
Per cui quest'ultima equazione diventa: (Se l'angolo è concorde col momento va il segno positivo, altrimenti se discordi negativo!)
$X_1*\frac{3\eta}{2L}-X_2*\frac{3\eta}{2L}+X_3*\frac{\eta}{L}=0$
Se dividi tutto per $\eta$ vedi che ti ritrovi con la 4 riga della matrice.
Ciao
Grazie mille, così è tutto chiaro
Ero convinto che la quarta equazione dovesse essere un equilibrio fra forze o momenti, e non un'altra congruenza, per questo parlavo di reazioni al piede della biella.
Ero convinto che la quarta equazione dovesse essere un equilibrio fra forze o momenti, e non un'altra congruenza, per questo parlavo di reazioni al piede della biella.
Mi chiedevo se per caso la matrice, utilizzando questo sistema, viene SEMPRE emisimmetrica (cioè i valori della quarta riga uguali e contrari a quelli della quarta colonna)... C'è un qualche teorema che lo dimostra o succede solo in alcuni casi?
Se avessi preso i segni dell'equazione che ho scritto io in effetti la matrice diventa perfettamente simmetrica.
A dir la verità non saprei se questo è sempre vero, ma se ci pensi no stiamo applicando un $PLV$ quindi stiamo facendo un prodotto tra tensioni e deformazioni del tipo $\bar{\bar{\sigma}}*\bar{\bar{\epsilon}}$
Quindi un prodotto tra matrici simmetriche...che credo dia come risultato un tensore anch'esso simmetrico.
Ma non lo darei per scontato...se qualche matematico che passa volesse confermarlo sarebbe meglio.
Comunque non credo che in generale escano delle matrici simmetriche, forse delle matrici a banda....
ciao
A dir la verità non saprei se questo è sempre vero, ma se ci pensi no stiamo applicando un $PLV$ quindi stiamo facendo un prodotto tra tensioni e deformazioni del tipo $\bar{\bar{\sigma}}*\bar{\bar{\epsilon}}$
Quindi un prodotto tra matrici simmetriche...che credo dia come risultato un tensore anch'esso simmetrico.
Ma non lo darei per scontato...se qualche matematico che passa volesse confermarlo sarebbe meglio.
Comunque non credo che in generale escano delle matrici simmetriche, forse delle matrici a banda....
ciao
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