[Tecnica delle costruzioni] Metodo degli spostamenti

[Yumina92]

E' un argomento che rientra anche nella scienza delle costruzioni, non sapevo che etichetta scegliere >.<

Dunque, all'esame scritto devo risolvere una struttura con questo metodo. Devo individuare i movimenti indipendenti, bloccarli e risolvere la struttura. Il problema è che alcuni sono immediati (ottenendoli dalle condizioni cinematiche e statiche dei vincoli) e altri bisogna fare delle considerazioni teoriche in cui mi perdo.

Ad esempio, in questo esercizio l'unico movimento indipendente è la rotazione in B, in quanto la traslazione di ABC è dipendente perchè essendo presente un solo ritto, io conosco il taglio in BD,che di trasmette ad ABC come reazione orizzontale. Lungo ABC c'è solo quella reazione orizzontale e quindi posso considerare wABC come un movimento dipendente, per ragioni di equilibrio. Ok, fino a quando si tratta di un solo ritto ho capito.


Invece qui lo spostamento orizzontale dell'asta BD è indipendente. Mi è stato detto, in modo un po' confuso, che non posso sapere come interagiscono i vari ritti fra di loro... mah


Il prof poi a ricevimento mi ha detto che se ad esempio ho un portale, incastrato da una parte ed incernierato da un'altra, il movimento orizzontale del trasverso in alto è dipendente in quanto è noto il taglio per equilibrio...invece con un portale incastrato in entrambe le basi è indipendente...ma perchè??

[zanuccio]

Allora, il metodo degli spostamenti ti permette di ricavare invertendo la matrice di rigidezza le reazioni della struttura,conoscendone gli spostamente che quest'ultima puo fare.
I tuoi spostamenti sono la rotazione del carrello in A: varphi (A),la rotazione del carrello in C: varphi (C);lo spostamento orizzontale del carrello in A: w(A),lo spostamento orizzontale del carrello in C: w(C),gli spostamenti del nodo varphi (B) w(B) v(B).Ora applichi il metodo degli spostamenti a questi 7 sopra elencati.
Devi scrivere l'quilibrio al nodo B , chiamando ad esempio Mba il momento provocato da B in A, ed Mbp il momento provocato dal carico p in B, abbiamo che nel nodo B:
Mba+Mbc+Mbd+Mbp=0,Nba+Nbc+Nbd=0,Yba+Ybc+Ybd+Ybp=0
Partiamo da quella dei momenti:
Mba è uguale al momento provocato in b da parte della varphi (A) Mba=2EI/L2varphi (A)
Mbc=2EI/Lvarphi (C)
Mbd=0 in quanto essendo un incastro perfetto, il vincolo d ha rotazione varphi (D)=0
Mbp=-pl^2/12
A questi devi aggiungere il momento che lo spostamento del nodo b nei tratti di trave AB,BC,BD provoca:
Mab=4EI/L2varphi (B)
Mcb=4EI/Lvarphi (B)
Mdb=4EI/L varphi (B)

Sommi tutti questi momenti aggiungendo anche quelli provocati dallo spostamento verticali del nodo B per i tratti AB E BC,aggiungi il momento del nodo B provocato dallo spostamento orizzontale nel tratto BD, li sommi ed ottieni l'equilibro dei momenti al nodo.Fai questo procedimento per tutte le Y le W e le rotazioni Phi dove sono permesse ed ottieni una matrice simmetrica

[Yumina92]

La matrice di rigidezza è uno dei metodi che ci sono stati insegnati, ma con un procedimento diverso da quello che mi hai elencato tu, ed in ogni caso non si può usare durante l'esame.

[zanuccio]

Scusa penso di essere stato poco chiaro,la matrice di rigidezza per chi ha esperienza la ricava subito,ma diciamo che per livelli inferiori la puoi usare come misura di verifica,cioe se le equazioni che scrivi messe a matrice soddisfano le proprietà di quella di rigidezza allora l'esercizio che hai risolto è sicuro.Comunque al di fuori di usare o no la matrice il metodo degli spostamenti funziona cosi:

dall'immagine sopra linkata se vuoi sapere per esempio il momento in AMa=4EI/Lphi(A)+2EI/Lphi(B)-6EI/L^2phi(A)+6EI/L^2phi(B)
Come vedi determinati spostamenti fanno insorgere delle forze o dei momenti.I valori e tuo dovere saperli a memoria,per ricavarli basta che risolvi la trave 2 volte iperstatiche nel disegno che ti ho mandato applicando come reazioni incognite i momenti nei vincoli in A e B e le reazioni verticali in A e B,ad esempio utilizzando il metodo delle forze.Una volta che hai determinato tutti questi valori da sapere a memoria,cioe le forze causate dagli spostamenti provi a rifare l'esercizio che hai.Spero di essere stato chiaro