[Tecnica delle costruzioni] Metodi delle forze e degli spostamenti
Ciao a tutti!
Sto un pochino impazzendo con il corso di Tecnica delle costruzioni.
La teoria di Scienza delle costruzioni, che ho fatto l'anno scorso, mi era chiara. Ora, non capisco perché, ma quest'anno mi sembra di essere su un altro pianeta: i passaggi in generale mi sembrano confusi e privi di giustificazione.
In particolare, non ho ancora bene capito alcune cose sul metodo degli spostamenti (e su quello delle forze): i coefficienti di influenza... da dove diamine si tirano fuori???
Perché è vero che ci sono le tabelle, ma non coprono tutti i casi, e quando bisogna calcolarli come si fa??
Soprattutto, per quale motivo compare dovunque la rigidezza flessionale $EJ$ (o quella assiale $EA$)?? Al denominatore o al numeratore, ma che significato ha?
Ad esempio, sul libro di Belluzzi (Scienza delle Costruzioni, vol.2) ho trovato l'esempio seguente:
Due fili verticali vicini di lunghezza $l$, sezioni $A_1, A_2$ e moduli $E_1, E_2$ sono fissati in alto e tesi da un carico complessivo $P$.
Il testo spiega che fra gli infiniti abbassamenti congruenti, bisogna trovare quello che garantisce l'equilibrio con il carico, e fin qui ok.
Poi salta fuori con "per ottenere l'equazione risolvente si esprimono le reazioni $S_1, S_2$ in funzione dell'abbassamento comune $delta$:
$S_1 = (E_1 A_1)/ l$
$S_2 = (E_2 A_2)/ l$"
e da qui impone l'equilibrio...
Ma come ha fatto a trovare queste espressioni??
E in ogni caso, i metodi delle forze o degli spostamenti hanno come punto di partenza il principio dei lavori virtuali, giusto? Altrimenti non capisco perché si debba moltiplicare in ogni caso le forze per gli spostamenti...!!!
Per caso devo rivedere qualcosa di Scienza delle costruzioni?
Grazie a chi mi darà una mano
Sto un pochino impazzendo con il corso di Tecnica delle costruzioni.
La teoria di Scienza delle costruzioni, che ho fatto l'anno scorso, mi era chiara. Ora, non capisco perché, ma quest'anno mi sembra di essere su un altro pianeta: i passaggi in generale mi sembrano confusi e privi di giustificazione.
In particolare, non ho ancora bene capito alcune cose sul metodo degli spostamenti (e su quello delle forze): i coefficienti di influenza... da dove diamine si tirano fuori???
Perché è vero che ci sono le tabelle, ma non coprono tutti i casi, e quando bisogna calcolarli come si fa??
Soprattutto, per quale motivo compare dovunque la rigidezza flessionale $EJ$ (o quella assiale $EA$)?? Al denominatore o al numeratore, ma che significato ha?
Ad esempio, sul libro di Belluzzi (Scienza delle Costruzioni, vol.2) ho trovato l'esempio seguente:
Due fili verticali vicini di lunghezza $l$, sezioni $A_1, A_2$ e moduli $E_1, E_2$ sono fissati in alto e tesi da un carico complessivo $P$.
Il testo spiega che fra gli infiniti abbassamenti congruenti, bisogna trovare quello che garantisce l'equilibrio con il carico, e fin qui ok.
Poi salta fuori con "per ottenere l'equazione risolvente si esprimono le reazioni $S_1, S_2$ in funzione dell'abbassamento comune $delta$:
$S_1 = (E_1 A_1)/ l$
$S_2 = (E_2 A_2)/ l$"
e da qui impone l'equilibrio...
Ma come ha fatto a trovare queste espressioni??
E in ogni caso, i metodi delle forze o degli spostamenti hanno come punto di partenza il principio dei lavori virtuali, giusto? Altrimenti non capisco perché si debba moltiplicare in ogni caso le forze per gli spostamenti...!!!
Per caso devo rivedere qualcosa di Scienza delle costruzioni?
Grazie a chi mi darà una mano
Risposte
"Gendarmevariante":
Per caso devo rivedere qualcosa di Scienza delle costruzioni?
Credo proprio di sì
comunque non allarmarti...il metodo degli spostamenti in effetti non viene trattato molto completamente nel corso di scienze delle costruzioni, almeno nel mio...ho visto più compiutamente quello delle forze.
Ma comunque non c'è nulla che cambia...i metodi sono tra loro duali.
Prendi quello delle forze: Cosa facevi? Andavi ad esprimere il PLV e quindi la congruenza nella struttura sugli spostamenti che produceva una forza unitaria.
Il metodo degli spostamenti invece esprime la congruenza sulle forze che producono degli spostamenti unitari.
Per cui
"Gendarmevariante":
In particolare, non ho ancora bene capito alcune cose sul metodo degli spostamenti (e su quello delle forze): i coefficienti di influenza... da dove diamine si tirano fuori???
i valori delle forze che nascono dagli spostamenti unitari, vengono determinati con lo stesso procedimento con cui determinavi gli spostamenti col metodo delle forze, ovvero attraverso la linea elastica
"ELWOOD":
i valori delle forze che nascono dagli spostamenti unitari, vengono determinati con lo stesso procedimento con cui determinavi gli spostamenti col metodo delle forze, ovvero attraverso la linea elastica
Ti ringrazio per la risposta!
Forse con queste ultime parole mi hai aperto un mondo...
Stai dicendo che il coefficiente $EJ$ è lo stesso che compare nell'equazione della linea elastica?
Quindi se devo trovare un momento nel punto $x$ mi verrà un risultato del tipo $EJ y(x)$, e viceversa se devo trovare un abbassamento mi verrà qualcosa come $(M(x))/(EJ)$? E per le rotazioni uso la derivata prima di $y$...!
Per caso, per determinare i coefficienti del metodo delle forze può tornare utile l'analogia di Mohr?
--------------------------------------
Se tutto questo è giusto, ne approfitto per fare un esempio (in cui in realtà non compaiono le rigidezze):
(Trave lunga $l$)
Avendo una trave iperstatica come questa, è ovvio che le reazioni verticali negli estremi sono uguali e hanno valore $f_A=f_B=(pl)/2$ verso l'alto; i momenti negli estremi invece... sono uguali anche loro, ma contrari e il calcolo del valore mi sembra un po' meno ovvio, a meno di non usare proprio il metodo delle forze!! suggerimenti...?
come lo utilizzavi il metodo delle forze su una struttura iperstatica?
Beh in un caso del genere con una sola asta dovrei togliere uno dei due incastri e prendere una struttura principale con il carico distribuito, poi altre tre strutture di servizio per ognuna delle tre reazioni iperstatiche... E infine dovrei imporre che il lavoro interno trovato sovrapponendo gli effetti delle forze fittizie sia uguale al lavoro esterno, che è nullo in quanto gli spostamenti reali non ci sono...!
Ma in effetti così non uso la linea elastica...
Ma in effetti così non uso la linea elastica...
"Gendarmevariante":
poi altre tre strutture di servizio per ognuna delle tre reazioni iperstatiche
Perchè 3 ???
suvvia stai già facendo tecnica....potresti semplificarti un'pò la vita no?
Comunque prova anche a buttar giù qualche conto e vediamo dove arrivi
Comunque a suo tempo avevo risolto questo esempio col metodo delle forze....tanto per rinfrescarti la memoria prova a dargli un occhio:
viewtopic.php?f=38&t=104076&p=732477#p732367
viewtopic.php?f=38&t=104076&p=732477#p732367
Sì, ho detto 3 iperstatiche, ma ovviamente le reazioni orizzontali sono nulle 
Fantastico! Grazie mille!! Proverò a rifare un po' i conti con casi simili.
Avrei un'ultimissima domanda... in Tecnica è comparso un vincolo che in scienza non avevamo visto, cioè un triangolo appoggiato a terra (detto "appoggio" appunto): si tratta di un carrello o di una cerniera a terra? E come è fatta la sua reazione, in generale?
(non è pigrizia... sui libri e su google usano questo simbolo sia per le cerniere che per i carrelli!!)
"ELWOOD":
Comunque a suo tempo avevo risolto questo esempio col metodo delle forze....tanto per rinfrescarti la memoria prova a dargli un occhio:
viewtopic.php?f=38&t=104076&p=732477#p732367
Fantastico! Grazie mille!! Proverò a rifare un po' i conti con casi simili.
Avrei un'ultimissima domanda... in Tecnica è comparso un vincolo che in scienza non avevamo visto, cioè un triangolo appoggiato a terra (detto "appoggio" appunto): si tratta di un carrello o di una cerniera a terra? E come è fatta la sua reazione, in generale?
(non è pigrizia... sui libri e su google usano questo simbolo sia per le cerniere che per i carrelli!!)
Capiti proprio a fagiolo con questa domanda, visto che l'altro giorno se ne è discusso animatamente con navigatore e Jojo in questo post che ti invito ad andare a leggere:
viewtopic.php?f=38&t=124493#p804822
Comunque.....io lo vedo come una cerniera esterna "passante" (Che non spezza la struttura) ma comunque tu voglia chiamarlo si tratta di un vincolo che vincola le traslazioni piane.
viewtopic.php?f=38&t=124493#p804822
Comunque.....io lo vedo come una cerniera esterna "passante" (Che non spezza la struttura) ma comunque tu voglia chiamarlo si tratta di un vincolo che vincola le traslazioni piane.
"ELWOOD":
Comunque.....io lo vedo come una cerniera esterna "passante" (Che non spezza la struttura) ma comunque tu voglia chiamarlo si tratta di un vincolo che vincola le traslazioni piane.
Ecco infatti!! Anche secondo me è così!!
Comunque, rieccomi qua con un esercizietto: dopo aver provato a ricalcolare con linea elastica e PLV qualche coefficiente di influenza, ho più o meno capito come funzionano... credo!
Poi ho iniziato a fare esercizi sul metodo delle forze, e sulla dispensa del mio docente c'è questo:
La struttura è due volte iperstatica, metto in evidenza le iperstatiche in questo modo: (i cerchi sono cerniere... il disegno è penoso)
A questo punto dovrei scrivere il sistema $ { ( phi_B = 0 ),( phi_A=0 ):} $ (rotazioni nulle nei nodi)
Come convenzioni di segno assumo:
ROTAZIONI positive se CONCORDI CON LE FORZE CHE LE GENERANO
E qui trovo i coefficienti di influenza, facendo separatamente i tre schemi $1$ (iperstatica $X_1$), $2$ (iperstatica $X_2$), $0$ (carico $p$).
SCHEMA 1
la mia deformata intuitiva è questa:
ASTA AB
immagino una rotazione unitaria $X_1 = 1$, allora $phi_(BA) = (h')/(3EJ)$.
ASTA BC
$phi_(BC) = l/(3(2EJ)) = l/(6EJ)$
$phi_(CB) = l/(6(2EJ)) = l/(12EJ)$
SCHEMA 2
deformata:
ASTA BC
rotazione unitaria $X_2 = 1$
$phi_(CB) = (l)/3(2EJ) = l/(6EJ)$
$phi_(BC) = l/(6(2EJ)) = l/(12EJ)$
ASTA CD
$phi_(CD) = h/(4EJ)$
SCHEMA 0
Le rotazioni generate dal carico distribuito nei nodi sono entrambe uguali a $(pl^3)/(48EJ)$
-----------------------
In conclusione, il sistema risolvente si scrive:
$ { ( [(h')/(3EJ)+ l/(6EJ)]X_1+l/(12EJ)X_2+(pl^3)/(48EJ)=0 ),( l/(12EJ)X_1+[l/(6EJ)+h/(4EJ)]X_2+(pl^3)/(48EJ)=0 ):} $
Domanda: fino a qui è tutto giusto?
Il mio dubbio è sulla convenzione di segno: le rotazioni vanno prese positive se orarie o se sono concordi con le forze che le hanno generate?
"Gendarmevariante":
Domanda: fino a qui è tutto giusto?
No
Hai cannato la cosa fondamentale!
La condizione di congruenza!!!
Perchè dovrebbero essere nulle le rotazioni?!?!?
Quali sono le condizioni da porre in quei nodi?
Vediamo se ci arrivi
Fantastico... =____=
Forse avrei dovuto imporre che gli angoli nei nodi si mantenessero retti, essendoci degli incastri nella struttura di partenza?
E quindi
$phi_(BA) = phi_(BC)$
$phi_(CB)= phi_(CD)$
(intendendo le rotazioni complessive di tutti i tre contributi)
?
Forse avrei dovuto imporre che gli angoli nei nodi si mantenessero retti, essendoci degli incastri nella struttura di partenza?
E quindi
$phi_(BA) = phi_(BC)$
$phi_(CB)= phi_(CD)$
(intendendo le rotazioni complessive di tutti i tre contributi)
?
Bravissimo 
"ELWOOD":
Bravissimo
Son soddisfazioni
A questo punto però dovendosi mantenere l'angolo retto mi sembra che si debbano assumere come positive le rotazioni che vanno nello stesso senso, ad esempio orarie, allora $phi_(BA)$ è negativa, $phi_(BC)$ sono positive, $phi_(CB)$ negative e $phi_(CD)$ positiva...
Quindi il sistema è:
$ { ( phi_(BA) - phi_(BC) = 0 ),( phi_(CB)- phi_(CD) = 0 ):} $
$ { ( [ - ( h')/(3EJ)X_1]-[l/(6EJ)X_1+l/(12EJ)X_2+(pl^3)/(48EJ)]=0 ),( [-l/(12EJ)X_1-l/(6EJ)X_2-(pl^3)/(48EJ)]-[h/(4EJ)X_2]=0 ):} $
da cui trovo i valori delle iperstatiche
?
Ok ci siamo...solamente non mi trovo con l'ultima rotazione...
Perchè $\frac{X_2h}{4EJ}$ ?
Perchè $\frac{X_2h}{4EJ}$ ?
"ELWOOD":
Perchè $\frac{X_2h}{4EJ}$ ?
Mhm... perché l'asta CD è vincolata da una cerniera e da un incastro, il coefficiente di influenza nel caso di momento unitario applicato alla cerniera vale proprio $\frac{h}{4EJ}$
C'è anche qui nel terzo riquadro: http://stru.polimi.it/people/bamonte/ba ... luenza.pdf
Insisto un attimo, è giusta la mia convenzione per i segni delle rotazioni?
"Gendarmevariante":
Mhm... perché l'asta CD è vincolata da una cerniera e da un incastro, il coefficiente di influenza nel caso di momento unitario applicato alla cerniera vale proprio $\frac{h}{4EJ}$
Si scusa...hai perfettamente ragione!Ero convinto che avessi svincolato anche l'incastro in $D$
Per quanto riguarda le rotazioni, il ragionamento è corretto...ora hai capito il metodo
Grazie mille per l'aiuto, gentilissimo!
Figurati...
Se vuoi esercitarti su questo metodo c'è il libro di Carpinteri "Telai piani" che ho trovato decisamente utile
In bocca al lupo per i tuoi studi
Se vuoi esercitarti su questo metodo c'è il libro di Carpinteri "Telai piani" che ho trovato decisamente utile
In bocca al lupo per i tuoi studi
Lo cercherò grazie
Rieccomi a ben un mese dall'ultimo messaggio, con un altro dubbio sul metodo degli spostamenti... metodo che in realtà ho capito, salvo per quei casi che coinvolgono le maledette molle rotazionali 
La struttura è questa:
La molla ha rigidezza $mu$.
Procedo così: separo la molla dalla struttura, fissando i due nodi agli estremi della molla e imprimo separatamente una rotazione (ORARIA) unitaria ad ognuno dei due.
Io ho pensato che, se ad esempio prendo il caso $theta_1 = 1$, allora la molla subisce un accorciamento unitario, e quindi su di lei agisce un momento ORARIO che vale $1 mu = mu$, applicato all'estremo $B'$ . Per l'equilibrio della molla, agisce anche un altro momento ANTIORARIO all'estremo $B''$, e quindi sulla struttura agiscono due momenti sui due nodi (antiorario su $B'$, orario su $B''$),che valgono tutti $mu$.
Ripeto lo stesso ragionamento per la rotazione oraria $theta_2 = 1$ considerando che però in questo caso la molla subisce un allungamento.
Considerate le altre rotazioni e il carico, ottengo quindi il sistema:
$ { ( theta_1((4EJ)/l+mu)-theta_2 mu+(pl^2)/12 =0),( -theta_1 mu+ theta_2((4EJ)/h+mu)=0):} $
Domanda: ho ragionato correttamente? E' così che si fa con le molle rotazionali?
La struttura è questa:
La molla ha rigidezza $mu$.
Procedo così: separo la molla dalla struttura, fissando i due nodi agli estremi della molla e imprimo separatamente una rotazione (ORARIA) unitaria ad ognuno dei due.
Io ho pensato che, se ad esempio prendo il caso $theta_1 = 1$, allora la molla subisce un accorciamento unitario, e quindi su di lei agisce un momento ORARIO che vale $1 mu = mu$, applicato all'estremo $B'$ . Per l'equilibrio della molla, agisce anche un altro momento ANTIORARIO all'estremo $B''$, e quindi sulla struttura agiscono due momenti sui due nodi (antiorario su $B'$, orario su $B''$),che valgono tutti $mu$.
Ripeto lo stesso ragionamento per la rotazione oraria $theta_2 = 1$ considerando che però in questo caso la molla subisce un allungamento.
Considerate le altre rotazioni e il carico, ottengo quindi il sistema:
$ { ( theta_1((4EJ)/l+mu)-theta_2 mu+(pl^2)/12 =0),( -theta_1 mu+ theta_2((4EJ)/h+mu)=0):} $
Domanda: ho ragionato correttamente? E' così che si fa con le molle rotazionali?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo