[Tecnica delle costruzioni, Generico] Strutture reticolari

[Sinosui99]

Data la struttura riportata in Figura 1 si richiede di:
1 risolvere la struttura reticolare con il metodo dei nodi
2 costruire una tabella in cui per ogni asta si indica lo stato di sforzo e se l’asta è tirante o puntone
3 progettare e verificare l’elemento teso maggiormente sollecitato assumendo come materiale acciaio (si trascuri nel calcolo il tipo di collegamento)

Per il calcolo porre la forza F=50 kN. Ipotizzare per la maglia quadrata esterna della struttura reticolare lato L=1.5 m.

[moccidentale]

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[Sinosui99]

Analisi delle reazioni vincolari
Osserviamo i vincoli:
- Nodo 1 ha un vincolo a rulli (una reazione verticale \( R_{1y} \)).
- Nodo 2 ha un vincolo incastro a cerniera (due reazioni: \( R_{2x} \) e \( R_{2y} \)).

Equazioni di equilibrio globale per l’intera struttura:
1. **Somma delle forze orizzontali (\( \Sigma F_x = 0 \)):**
\[
R_{2x} - 2F = 0 \implies R_{2x} = 2F = 100 \, \text{kN}
\]

2. **Somma delle forze verticali (\( \Sigma F_y = 0 \)):**
\[
R_{1y} + R_{2y} - F = 0
\]

3. **Somma dei momenti rispetto a Nodo 2 (\( \Sigma M_2 = 0 \)):**
Calcoliamo il momento delle forze rispetto al Nodo 2:
\[
R_{1y} \cdot 1.5 - F \cdot 1.5 = 0 \implies R_{1y} = F = 50 \, \text{kN}
\]

Sostituendo in \( \Sigma F_y = 0 \):
\[
R_{2y} = F - R_{1y} = 50 - 50 = 0 \, \text{kN}
\]

### Passo 2: Metodo dei nodi
Per ciascun nodo, utilizziamo le equazioni di equilibrio:
- \( \Sigma F_x = 0 \)
- \( \Sigma F_y = 0 \)

#### Nodo 1
Le forze coinvolte:
- \( R_{1y} = 50 \, \text{kN} \) (verso l’alto)
- Asta \( T_{13} \) (inclinata)
- Asta \( T_{12} \) (orizzontale)

Equazioni:
1. **Forze orizzontali (\( \Sigma F_x = 0 \)):**
\[
T_{12} - T_{13} \cdot \cos(45^\circ) = 0
\]

2. **Forze verticali (\( \Sigma F_y = 0 \)):**
\[
R_{1y} - T_{13} \cdot \sin(45^\circ) = 0
\]

Da \( \Sigma F_y = 0 \):
\[
T_{13} = \frac{R_{1y}}{\sin(45^\circ)} = \frac{50}{0.707} \approx 70.7 \, \text{kN}
\]

Da \( \Sigma F_x = 0 \):
\[
T_{12} = T_{13} \cdot \cos(45^\circ) = 70.7 \cdot 0.707 \approx 50 \, \text{kN}
\]

#### Nodo 2
Le forze coinvolte:
- \( R_{2x} = 100 \, \text{kN} \) (verso destra)
- \( R_{2y} = 0 \)
- Asta \( T_{12} \) (orizzontale)
- Asta \( T_{24} \) (inclinata)

Equazioni:
1. **Forze orizzontali (\( \Sigma F_x = 0 \)):**
\[
R_{2x} - T_{12} - T_{24} \cdot \cos(45^\circ) = 0
\]

2. **Forze verticali (\( \Sigma F_y = 0 \)):**
\[
R_{2y} - T_{24} \cdot \sin(45^\circ) = 0
\]

Da \( \Sigma F_y = 0 \):
\[
T_{24} = \frac{R_{2y}}{\sin(45^\circ)} = 0 \, \text{kN}
\]

Da \( \Sigma F_x = 0 \):
\[
T_{12} = R_{2x} = 100 \, \text{kN}
\]

#### Nodo 3
Le forze coinvolte:
- Asta \( T_{13} \) (inclinata)
- Asta \( T_{34} \) (orizzontale)
- Asta \( T_{23} \) (inclinata)

Equazioni:
1. **Forze orizzontali (\( \Sigma F_x = 0 \)):**
\[
T_{34} + T_{13} \cdot \cos(45^\circ) - T_{23} \cdot \cos(45^\circ) = 0
\]

2. **Forze verticali (\( \Sigma F_y = 0 \)):**
\[
-T_{13} \cdot \sin(45^\circ) - T_{23} \cdot \sin(45^\circ) = 0
\]

Da \( \Sigma F_y = 0 \):
\[
T_{23} = -T_{13} = -70.7 \, \text{kN}
\]

Sostituendo in \( \Sigma F_x = 0 \):
\[
T_{34} = T_{23} \cdot \cos(45^\circ) - T_{13} \cdot \cos(45^\circ) = 0
\]

#### Nodo 4
Le forze coinvolte:
- Asta \( T_{34} \) (orizzontale)
- Asta \( T_{24} \) (inclinata)
- Forza \( F = 50 \, \text{kN} \) (verso il basso)

Da \( \Sigma F_y = 0 \):
\[
T_{24} = F = 50 \, \text{kN}
\]

Da \( \Sigma F_x = 0 \):
\[
T_{34} = 0 \, \text{kN}
\]

### Risultati finali
Le tensioni nelle aste sono:
- \( T_{12} = 50 \, \text{kN} \)
- \( T_{13} = 70.7 \, \text{kN} \)
- \( T_{23} = -70.7 \, \text{kN} \)
- \( T_{24} = 50 \, \text{kN} \)
- \( T_{34} = 0 \, \text{kN} \)

[Sinosui99]

Per progettare e verificare l’elemento teso maggiormente sollecitato, seguiamo questi passi:

Dati forniti e assunti:
1. **Elemento teso più sollecitato:** Asta \( T_{13} \), soggetta a una forza di trazione \( T_{13} = 70.7 \, \text{kN} \).
2. **Materiale:** Acciaio.
- Resistenza caratteristica dell’acciaio (\( f_y \)) = \( 235 \, \text{MPa} \) (S235, acciaio strutturale).
- Modulo di elasticità (\( E \)) = \( 210 \, \text{GPa} \).
3. **Coefficiente di sicurezza**: \( \gamma_M = 1.05 \) (valore tipico per acciaio in condizioni normali).

Passo 1: Area minima richiesta
La verifica a trazione prevede che la tensione normale massima non superi la resistenza di progetto:
\[
\sigma = \frac{T}{A} \leq f_{yd}
\]
dove:
- \( T \) = forza nell’asta (\( 70.7 \, \text{kN} = 70,700 \, \text{N} \)),
- \( A \) = area della sezione trasversale (\( \text{m}^2 \)),
- \( f_{yd} = \frac{f_y}{\gamma_M} \) = resistenza di progetto dell’acciaio.

Calcoliamo \( f_{yd} \):
\[
f_{yd} = \frac{f_y}{\gamma_M} = \frac{235}{1.05} \approx 223.8 \, \text{MPa}
\]

Area minima necessaria (\( A_{\text{min}} \)):
\[
A_{\text{min}} = \frac{T}{f_{yd}} = \frac{70,700}{223.8 \cdot 10^6} \approx 316 \, \text{mm}^2
\]

Passo 2: Scelta della sezione
Scelgo un profilo commerciale tondo in acciaio:
- Diametro nominale \( d = 20 \, \text{mm} \),
- Area della sezione trasversale \( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 = \frac{\pi}{4} \cdot 20^2 = 314 \, \text{mm}^2 \).

Il valore scelto è vicino al valore minimo calcolato. Questo profilo sarà verificato.

Passo 3: Verifica della tensione normale
Calcoliamo la tensione normale effettiva:
\[
\sigma = \frac{T}{A} = \frac{70,700}{314 \cdot 10^{-6}} \approx 225.2 \, \text{MPa}
\]

Confronto con \( f_{yd} \):
\[
\sigma = 225.2 \, \text{MPa} \leq f_{yd} = 223.8 \, \text{MPa}
\]

La tensione supera leggermente il valore limite. È necessario scegliere una sezione con un'area maggiore.

Nuova scelta della sezione
Scelgo un profilo con un diametro maggiore:
- \( d = 22 \, \text{mm} \),
- \( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 = \frac{\pi}{4} \cdot 22^2 \approx 380 \, \text{mm}^2 \).

Ricalcolo la tensione:
\[
\sigma = \frac{T}{A} = \frac{70,700}{380 \cdot 10^{-6}} \approx 186.1 \, \text{MPa}
\]

Confronto con \( f_{yd} \):
\[
\sigma = 186.1 \, \text{MPa} \leq f_{yd} = 223.8 \, \text{MPa}
\]

La verifica è soddisfatta.

Risultato finale
L'elemento teso più sollecitato (asta \( T_{13} \)) sarà progettato con:
- **Diametro**: \( d = 22 \, \text{mm} \),
- **Area della sezione**: \( A = 380 \, \text{mm}^2 \),
- La verifica è soddisfatta con un margine di sicurezza adeguato.

[Sinosui99]

E' corretto?
grazie a tutti