TDF di $x'(t)=-3tx(t)$
Sto esercitandomi per l'esame di Segnali...
Ho alcuni appelli con le soluzioni, solo che non riesco proprio a comprendere certi passaggi veramente elementari, quando li chiedo al prof lui me li spiega bene, tuttavia va un po' di fretta e me li dimentico in men che non si dica!
Ecco un primo esercizio: un segnale F trasformabile con la sua derivata prima soddisfa l'equazione
$x'(t)=-3tx(t)$ per qualunque t essendo $int x(t)dt=1$ da $-infty a +infty$
determinarne la trasformata di Fourier
SOLUZIONE PARZIALE:
$(-j2\pi\f)X(f) = -3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
$(j2\pi\f)X(f)=3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
Poi continua, ma non scrivo altro perchè per ora mi serve solo questa parte.
Ora vi dico quello che ho capito io
Prima riga della soluzione:
La proprietà di derivazione della TDF dice che:
$(dx(t))/(dt)$ diventa $j2\pi\fX(f)$
quindi lui prende il membro a sinistra dell'equazione $x'(t)=-3tx(t)$ e gli applica la proprietà. E già qui c'è un meno di troppo per come sto ragionando io.
Per quanto riguarda il membro di destra della prima riga della soluzione, accade che $-3tx(t)$ diventa $-3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$ qui sinceramente non ho proprio capito cosa fa, sembrerebbe la proprietà di integrazione della TDF
Ho alcuni appelli con le soluzioni, solo che non riesco proprio a comprendere certi passaggi veramente elementari, quando li chiedo al prof lui me li spiega bene, tuttavia va un po' di fretta e me li dimentico in men che non si dica!
Ecco un primo esercizio: un segnale F trasformabile con la sua derivata prima soddisfa l'equazione
$x'(t)=-3tx(t)$ per qualunque t essendo $int x(t)dt=1$ da $-infty a +infty$
determinarne la trasformata di Fourier
SOLUZIONE PARZIALE:
$(-j2\pi\f)X(f) = -3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
$(j2\pi\f)X(f)=3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
Poi continua, ma non scrivo altro perchè per ora mi serve solo questa parte.
Ora vi dico quello che ho capito io
Prima riga della soluzione:
La proprietà di derivazione della TDF dice che:
$(dx(t))/(dt)$ diventa $j2\pi\fX(f)$
quindi lui prende il membro a sinistra dell'equazione $x'(t)=-3tx(t)$ e gli applica la proprietà. E già qui c'è un meno di troppo per come sto ragionando io.
Per quanto riguarda il membro di destra della prima riga della soluzione, accade che $-3tx(t)$ diventa $-3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$ qui sinceramente non ho proprio capito cosa fa, sembrerebbe la proprietà di integrazione della TDF
Risposte
è stato adoperato la dualità che applicata alla derivata dice che se:
$(dx(t))/(dt) harr j2\pifX(f)$
allora
$-j2\pitx(t) harr (dX(f))/(df)$
I segni dovrebbero essere tutti ok!
$(dx(t))/(dt) harr j2\pifX(f)$
allora
$-j2\pitx(t) harr (dX(f))/(df)$
I segni dovrebbero essere tutti ok!
il terzo passaggio è:
$4/3\pi\^2f^(2) X(f) = d/(df) X(f)$ attenzione, prima avevo dimenticato il quadrato sul $\pi\ $
portando la costante $3/(j2\pi\)$ a sinistra, il membro a sinistra non sarebbe dovuto diventare $-4/3\pi\^2fX(f)$ dato che $j^2=-1$? Inoltre anche l'$f^2$ non capisco perchè non sia $f$ e basta.
$4/3\pi\^2f^(2) X(f) = d/(df) X(f)$ attenzione, prima avevo dimenticato il quadrato sul $\pi\ $
portando la costante $3/(j2\pi\)$ a sinistra, il membro a sinistra non sarebbe dovuto diventare $-4/3\pi\^2fX(f)$ dato che $j^2=-1$? Inoltre anche l'$f^2$ non capisco perchè non sia $f$ e basta.
credo che hai dimenticato un dollaro dopo la formula 
comunque sì, qua mi perdo pure io... a me verrebbe da dire che è $-4/3pi^2fX(f)=(dX(f))/(df)$
Poi a questo punto si ricava che la soluzione è nella forma $X(f)=\alphae^{-2/3pi^2f^2}
che imponendo la condizione $int_{-oo}^{oo}x(t)dt=1$ si ricava $\alpha=1$
comunque sì, qua mi perdo pure io... a me verrebbe da dire che è $-4/3pi^2fX(f)=(dX(f))/(df)$
Poi a questo punto si ricava che la soluzione è nella forma $X(f)=\alphae^{-2/3pi^2f^2}
che imponendo la condizione $int_{-oo}^{oo}x(t)dt=1$ si ricava $\alpha=1$
Letto ora il tuo reply. Intanto ho aggiustato il post di prima, ora vi metto tutta la soluzione:
$(-j2\pi\f)X(f) = -3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
$(j2\pi\f)X(f)=3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
$4/3\pi\^(2)f^(2) X(f) = d/(df) X(f)$
$4/3\pi\^(2)f^(2) df = 1/X(f) dX(f) \Rightarrow int 4/3\pi\^2fdf = int 1/(X(f)) dX(f)$ e qui già scompare un $f^2$ nell'argomento dell'integrale
$4/3(\pi\^(2))(f^(2))/2+c=ln(X(f))$
$X(f)=e^(2/3\pi\^2f^2)+e^c \Rightarrow X(f)=e^(2/3\pi\^2f^2)*k$
$int X(f)dt=X(f=0)=1$
$1=e^0*k \Rightarrow k=1$
Adesso analizzo per bene il tuo post, rifaccio i calcoli e torno qui per commentare
$(-j2\pi\f)X(f) = -3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
$(j2\pi\f)X(f)=3 1/(j2\pi\) d/(df) X(f)$
$4/3\pi\^(2)f^(2) X(f) = d/(df) X(f)$
$4/3\pi\^(2)f^(2) df = 1/X(f) dX(f) \Rightarrow int 4/3\pi\^2fdf = int 1/(X(f)) dX(f)$ e qui già scompare un $f^2$ nell'argomento dell'integrale
$4/3(\pi\^(2))(f^(2))/2+c=ln(X(f))$
$X(f)=e^(2/3\pi\^2f^2)+e^c \Rightarrow X(f)=e^(2/3\pi\^2f^2)*k$
$int X(f)dt=X(f=0)=1$
$1=e^0*k \Rightarrow k=1$
Adesso analizzo per bene il tuo post, rifaccio i calcoli e torno qui per commentare
mmm... per me ci sono degli errori.
A partire dall' $f^2$ che appare e poi scompare, per non parlare del segno!
Inoltre posso dirti che la soluzione non torna per un piccolo fatto d'esperienza: la soluzione dell'equazione differenziale nel tempo, risolta coi metodi classici, è un segnale gaussiano (con segno - ad esponente). E la trasformata di un gaussiano è noto in letteratura essere ancora gaussiano! Di conseguenza questi conti è come se dicessero che la gaussiana ha una trasformata non gaussiana
A partire dall' $f^2$ che appare e poi scompare, per non parlare del segno!
Inoltre posso dirti che la soluzione non torna per un piccolo fatto d'esperienza: la soluzione dell'equazione differenziale nel tempo, risolta coi metodi classici, è un segnale gaussiano (con segno - ad esponente). E la trasformata di un gaussiano è noto in letteratura essere ancora gaussiano! Di conseguenza questi conti è come se dicessero che la gaussiana ha una trasformata non gaussiana
Eehe non so cosa dirti, io sono solo un povero studente cui è stato fatto un corso non accelerato, ma qualcosa di più, su segnali e trasmissioni durante il corso preposto.
Invece il professore è un grande professionista conosciuto a livello nazionale, veramente una persona brava e stimata dai studenti anche se su questo corso ci sarebbe molto da dire, però vabbè questa è un'altra storia
Lunedì andrò da lui a chiedergli spiegazioni sugli errori che abbiamo trovato.
Fra poco posto qualche altra TDF che sto facendo in un topic unico, così evito di aprire troppi topic per lo stesso argomento. Cosa consigliano i moderatori? Topic unico oppure no?
Invece il professore è un grande professionista conosciuto a livello nazionale, veramente una persona brava e stimata dai studenti anche se su questo corso ci sarebbe molto da dire, però vabbè questa è un'altra storia
Lunedì andrò da lui a chiedergli spiegazioni sugli errori che abbiamo trovato.
Fra poco posto qualche altra TDF che sto facendo in un topic unico, così evito di aprire troppi topic per lo stesso argomento. Cosa consigliano i moderatori? Topic unico oppure no?
se il problema è diverso, direi anche topic separati
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