Studio di un sistema retto da equazione alle differenze
Salve a tutti.
Vi chiedo una mano su come risolvere questo esercizio:
Per un sistema retto dalla ED $y_(k+2)-1/3y_(k+1)=u_k$
a. Si calcoli la risposta forzata con ingresso $u_k=1_ksink\pi/6$
b. Si costruisca il diagramma di simulazione e si scrivano le equazioni di stato
c. Si analizzi la stabilità del sistema
Confesso di non sapere dove mettere le mani, mi potreste aiutare ad impostarlo e a svolgerlo correttamente?
Vi chiedo una mano su come risolvere questo esercizio:
Per un sistema retto dalla ED $y_(k+2)-1/3y_(k+1)=u_k$
a. Si calcoli la risposta forzata con ingresso $u_k=1_ksink\pi/6$
b. Si costruisca il diagramma di simulazione e si scrivano le equazioni di stato
c. Si analizzi la stabilità del sistema
Confesso di non sapere dove mettere le mani, mi potreste aiutare ad impostarlo e a svolgerlo correttamente?
Risposte
beh è un sistema lineare tempo discreto, trasformando tramite la trasfromata Z trov la funzione di trasferimento $(Y(z))/(U(z))$ poi antitrasformando Y(z) trovi l'evoluzione temporale della risposta. per la stabilità puoi studiare direttamente i poli della fdt. per diagramma di stato non so cosa intenda, comunque le variabili di stato sono arbitrarie, basta che siano compatibili con l'equazione alle differenze.
Ok, ho più bisogno di aiuto di quanto credessi.
In sostanza ciò che dice il libro è che la fdt è uguale al rapporto tra la trasformata Z della risposta forzata e quella del corrispondente ingresso, quindi quella che indichi con Y(z) è la trasformata Z della risposta forzata mentre U(z) è la trasformata Z dell'ingresso u_k, giusto? Ma allora, considerando che la risposta forzata è quello che devo calcolare inizialmente, cosa intendi per "tramite la trasfromata Z trovi la funzione di trasferimento"?
Dagli appunti poi risulta anche che per sistemi rappresentati da equazioni alle differenze la funzione di trasferimento è pari al rapporto tra l'ingresso e il polinomio caratteristico dell'equazione, quindi sarebbe $H(z) = (sink\pi/6)/(z^2-1/3z)$ ? E se si, come la antitrasformo?
Immagino di stare facendo un sacco di confusione ma sono a livelli veramente bassi, abbiate pazienza
In sostanza ciò che dice il libro è che la fdt è uguale al rapporto tra la trasformata Z della risposta forzata e quella del corrispondente ingresso, quindi quella che indichi con Y(z) è la trasformata Z della risposta forzata mentre U(z) è la trasformata Z dell'ingresso u_k, giusto? Ma allora, considerando che la risposta forzata è quello che devo calcolare inizialmente, cosa intendi per "tramite la trasfromata Z trovi la funzione di trasferimento"?
Dagli appunti poi risulta anche che per sistemi rappresentati da equazioni alle differenze la funzione di trasferimento è pari al rapporto tra l'ingresso e il polinomio caratteristico dell'equazione, quindi sarebbe $H(z) = (sink\pi/6)/(z^2-1/3z)$ ? E se si, come la antitrasformo?
Immagino di stare facendo un sacco di confusione ma sono a livelli veramente bassi, abbiate pazienza
Z trasformi l'equazione alle differenze, usando i vari teoremi, come quello del ritardo e dell'anticipo , avrai una relazione tra Y e U (si, sono le trasformate di y e u), risolvi in funzione di Y e ottieni appunto l'espressione della trasformata di Y, antitrasformi(sul libro c'è scritto come fare) e ottieni la tua risposta.
dalla stessa relazione da cui hai ricavato Y puoi ricavare la fdt come il rapporto tra Y e U
dalla stessa relazione da cui hai ricavato Y puoi ricavare la fdt come il rapporto tra Y e U
E' tutto il pomeriggio che ci sto sbattendo la testa e, nonostante ciò, non sono sicuro di aver capito.
Se trasformo la prima parte ottengo $1/(z^2-1/3z)$, mentre la trasformata di $1_ksink\pi/6$ è $(z*sin(\pi/6))/((z-cos\(pi/6))+sin^2\pi/6)$.
Quindi, moltiplicando:
$Y_f(z)=(sin\pi/6)/((z-1/3)(z-cos\pi/6)+((z-1/3)*sin^2\pi/6)$
Ora non so quanto tutto ciò sia esatto ma, anche se lo fosse, a questo punto non saprei da dove iniziare a calcolare l'antitrasformata, nonostante abbia letto più e più volte la teoria.
cyd, se dovessi avere voglia di perdere un po' di tempo potresti provare a postare l'esercizio svolto? Non so più a che santo rivolgermi.
Se trasformo la prima parte ottengo $1/(z^2-1/3z)$, mentre la trasformata di $1_ksink\pi/6$ è $(z*sin(\pi/6))/((z-cos\(pi/6))+sin^2\pi/6)$.
Quindi, moltiplicando:
$Y_f(z)=(sin\pi/6)/((z-1/3)(z-cos\pi/6)+((z-1/3)*sin^2\pi/6)$
Ora non so quanto tutto ciò sia esatto ma, anche se lo fosse, a questo punto non saprei da dove iniziare a calcolare l'antitrasformata, nonostante abbia letto più e più volte la teoria.
cyd, se dovessi avere voglia di perdere un po' di tempo potresti provare a postare l'esercizio svolto? Non so più a che santo rivolgermi.
allora,
$Z(y[k+2]) = z^2 Y(z) - z^2 y(0) - z y(1)$
$Z(-1/3 y[k+1]) = -1/3 z Y(k) + 1/3 z y(0)$
$Z(1(k) sin(theta k)) = (z sin(theta))/(z^2 -2 z cos(theta) +1)$
quindi hai $(z^2 - 1/3 z) Y(z) = (z^2 - 1/3 z) y(0) +z y(1) + (z sin(theta))/(z^2 -2 z cos(theta) +1)$
la risposta forzata è a transitorio esaurito, o a condizioni iniziali nulle quindi $Y(z) = (sin(theta))/((z- 1/3 ) (z^2 -2 z cos(theta) +1))$
quindi hai tre poli $z_1=1/3$ + i due complessi coniugati $z_2= cos theta + j sin theta$ e $z_2' = cos theta - j sin theta$
per antritrasformare puoi fattorizzare cioè Y può essere scritta come $Y = k_1/(z - z_1) + k_2/(z - z_2) + (k_2')/(z - z_2')$
con $k_1 = (z-z_1)*Y |(z=z_1) = (sin theta)/(1/9 - 2/3 cos theta +1)$ allo stesso modo $k_2 = 1/(j 2 (cos theta - 1/3) - 2 sin theta)$
l'antitrasformazione del termine reale consiste nell'antitrasformare $Y_1 = k_1/(z-1/3)$ ma pichè conosco da tabella solo l'antitrasformata di $z y_1 = (zK_1)/(z-1/3)$ antitrasformo questa e poi la ritardo col teorema $Z ( f[k-1] ) = 1/z F(z)$ cioè $Z^(-1) ((z K_1)/(z-1/3)) = K_1 (1/3)^k 1(k)$ quindi $Z^(-1) K_1/(z-1/3) = K_1 (1/3) ^(k-1) 1(k-1)$
antitrasformare i poli complessi è un casino fottuto, ora non ne ho il tempo, comunque puoi seguire il metodo per l'antitrasformata di laplace, e a meno di errori di calcolo dovresti farcela.
per la stabilità devi vedere che i poli non escano dal cerchio di convergenza, cioè che il modulo di tutti i poli sia inferiore o al piu uguale a 1. in questo caso hai un polo convergente e due poli complessi e coniugati con modulo = 1 cioè che dovrebbero dare vita ad un modo oscillante e costante. quindi il sistema a fronte di quell'ingresso dovrebbe essere semplicemente stabile, non divergere ma nemmeno convergere a zero... ma sono solo supposizioni potrei sbagliarmi
$Z(y[k+2]) = z^2 Y(z) - z^2 y(0) - z y(1)$
$Z(-1/3 y[k+1]) = -1/3 z Y(k) + 1/3 z y(0)$
$Z(1(k) sin(theta k)) = (z sin(theta))/(z^2 -2 z cos(theta) +1)$
quindi hai $(z^2 - 1/3 z) Y(z) = (z^2 - 1/3 z) y(0) +z y(1) + (z sin(theta))/(z^2 -2 z cos(theta) +1)$
la risposta forzata è a transitorio esaurito, o a condizioni iniziali nulle quindi $Y(z) = (sin(theta))/((z- 1/3 ) (z^2 -2 z cos(theta) +1))$
quindi hai tre poli $z_1=1/3$ + i due complessi coniugati $z_2= cos theta + j sin theta$ e $z_2' = cos theta - j sin theta$
per antritrasformare puoi fattorizzare cioè Y può essere scritta come $Y = k_1/(z - z_1) + k_2/(z - z_2) + (k_2')/(z - z_2')$
con $k_1 = (z-z_1)*Y |(z=z_1) = (sin theta)/(1/9 - 2/3 cos theta +1)$ allo stesso modo $k_2 = 1/(j 2 (cos theta - 1/3) - 2 sin theta)$
l'antitrasformazione del termine reale consiste nell'antitrasformare $Y_1 = k_1/(z-1/3)$ ma pichè conosco da tabella solo l'antitrasformata di $z y_1 = (zK_1)/(z-1/3)$ antitrasformo questa e poi la ritardo col teorema $Z ( f[k-1] ) = 1/z F(z)$ cioè $Z^(-1) ((z K_1)/(z-1/3)) = K_1 (1/3)^k 1(k)$ quindi $Z^(-1) K_1/(z-1/3) = K_1 (1/3) ^(k-1) 1(k-1)$
antitrasformare i poli complessi è un casino fottuto, ora non ne ho il tempo, comunque puoi seguire il metodo per l'antitrasformata di laplace, e a meno di errori di calcolo dovresti farcela.
per la stabilità devi vedere che i poli non escano dal cerchio di convergenza, cioè che il modulo di tutti i poli sia inferiore o al piu uguale a 1. in questo caso hai un polo convergente e due poli complessi e coniugati con modulo = 1 cioè che dovrebbero dare vita ad un modo oscillante e costante. quindi il sistema a fronte di quell'ingresso dovrebbe essere semplicemente stabile, non divergere ma nemmeno convergere a zero... ma sono solo supposizioni potrei sbagliarmi
Non so davvero come ringraziarti per la gentilezza che stai dimostrando. Proverò a dare un'occhiata alla tua risposta a mente più fresca, ora sono completamente fuori fase (tanto per rimanere in argomento). Sono sicuro che il tuo è il metodo più corretto per arrivare alla soluzione anche se mi sembra un po' troppo complicato vista la maniera in cui è impostato il mio corso (e che questo è solo uno degli esercizi presenti nella prova d'esame). Ad ogni modo grazie ancora, davvero!
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