Strutture labili-isostatiche-iperstatiche (Meccanica)

[dolphinine]

Salve a tutti. Mi sapreste spiegare concretamente come si fa a capire se una struttura (formata da carrelli, appoggi e incastri) è isostatica, iperstatica o labile? Ho capito che sottraendo ai gradi di libertà tolti dai vincoli (3 per l'incastro, 2 per l'appoggio e 1 per il carrello) quelli della trave nel piano (ovvero3) ottengo 3-3=0 per le isostatiche, un numero negativo per le labili ed uno positivo per le iperstatiche. Ma a quanto pare questo ragionamento non vale sempre perchè dipende dal tipo di forze che agiscono...ma precisamente in che modo??? Ad esempio se ho una trave formata da 4 carrelli con varie forze orizzontali e verticali, questa trave è labile o iperstatica? E se è iperstatica, lo è 1 o 2 volte?

[peppe.carbone.90]

Ciao. Allora spiegare "concretamente" e in poche parole quanto chiedi non è molto semplice. Cerco di fare un riassunto che spero possa esserti d'aiuto e chiarire la questione.
Inoltre è importante sapere a che livello stai studiando queste cose, cioè se sei uno studente delle scuole superiori o di università, in quanto le cose cambiano un pò. Inoltre ti devo chiedere di scrivere in minuscolo il titolo del tuo post, in quanto è contrario al regolamento scrivere in maiuscolo (perchè equivale ad urlare), grazie.

Assumo comunque che tu sia studente universitario visto che hai postati nella sezione di Ingegneria.

Per capire se una struttura è labile, isostatica o iperstatica (sarebbe più corretto dire labile, isodeterminata o iperdeterminata) si esegue la cosiddetta Analisi Cinematica. Da essa discendono due condizioni (una necessaria e una sufficiente) che, se soddisfatte, garantiscono l'isodeterminazione della struttura.
Si può affermare infatti che una struttura è isodeterminata, se sono soddisfatte le seguenti due condizioni*:

1. Che la molteplicità dei vincoli sia pari al numero dei gradi di libertà (g.d.l.) della struttura (condizioni necessaria);
2. Che i vincoli siano ben disposti, ovvero che siano cinematicamente efficaci (condizione sufficiente).

Ora, se la prima condizione è di immediata verifica (basta fare un piccolo conto), la seconda condizione lo è un pò meno, soprattutto per strutture composte da più tratti e variamente articolate. Quest'ultima condizione si può verificare tramite due metodi:

[*:cp5oov4v]Metodo algebrico (approccio analitico);[/*:m:cp5oov4v][/list:u:cp5oov4v]


[*:cp5oov4v]Metodo dei centri assoluti e relativi di rotazione (approccio geometrico).[/*:m:cp5oov4v][/list:u:cp5oov4v]

Lo studio algebrico è solitamente poco usato, in quanto molto poco pratico (se ne vuoi sapere di più ne parliamo); il secondo metodo invece è più speditivo e per questo si preferisce al primo.

Metodo dei centri di rotazione per la verifica della condizione sufficiente (buona disposizione dei vincoli)
Lo studio dei centri di rotazione si basa su ragionamenti grafici e non si esegue alcun calcolo. In particolare:



[*:cp5oov4v]se la struttura è costituita da un solo corpo, si verifica semplicemente se esiste il centro assoluto di rotazione; se esiste significa che la struttura può muoversi, quindi certamente è labile; se non esiste significa che i vincoli sono ben disposti e la struttura risulta isostatica se $g.d.l. = "molteplicità vincoli"$ e iperstatica se $g.d.l. > "molteplicità vincoli"$.[/*:m:cp5oov4v][/list:u:cp5oov4v]


[*:cp5oov4v]se la struttura è costituita da due o più corpi, si verifica che i centri assoluti e relativi non siano allineati; per fare ciò, ci si avvale di due teoremi sulla labilità, noti come Teoremi delle catene cinematiche, che sono i seguenti:[/*:m:cp5oov4v][/list:u:cp5oov4v]

Primo Teorema delle catene cinematiche. Data una struttura costituita da due corpi rigidi, condizione necessaria e sufficiente perché la struttura sia labile è che i due centri di rotazione assoluti siano allineati con il centro relativo.

Secondo Teorema delle catene cinematiche. Data una struttura costituita da tre corpi rigidi, condizione necessaria e sufficiente perché la struttura sia labile è che i tre centri di rotazione relativi siano allineati.

Come vedi, questi due teoremi dicono quando una struttura è labile; se si vuole verificare che una struttura è non labile, i teoremi suddetti non devono essere soddisfatti, ovvero non ci deve essere allineamento fra i centri assoluti e relativi.
Tuttavia, anche questo metodo può presentare problemi, soprattutto quando si hanno molti corpi connessi. In questo caso si preferisce ricorrere ad un ulteriore metodo che si basa essenzialmente sull'individuazione di sotto-strutture isostatiche "notevoli"(ad esempio archi a tre cerniere, mensole ect ect ect) o iperstatiche.

Questo in sintesi è il discorso "isostaticità di una struttura".

Ora vediamo di chiarire alcuni dubbi:



"dolphinine":Ma a quanto pare questo ragionamento non vale sempre perchè dipende dal tipo di forze che agiscono...



Come detto sopra, prima di tutto bisogna verificare che le due condizioni che ti ho scritto siano soddisfatte. Se lo sono entrambe, la struttura è isostastica a tutti gli effetti.
Quello che tu risporti sono dei casi un pò particolari, ma comunque molto diffusi, per cui vediamo di capire che succede. Può succedere infatti che, eseguendo l'analisi cinematica, la struttura risulti labile ma, a causa della particolare condizione di carico, sia isostatica e si dice infatti che la struttura è isostica solo per la particolare condizione di carico. Un esempio può essere una trave su tre carrelli caricata con una forza verticale. In questo caso la struttura è labile (può traslare orizzontalmente), ma, per il particolare carico applicato (forza verticale), la struttura non trasla verticalmente, perchè vincolata da carrelli. Capisci che la struttura non è che sia isostatica, perchè lo è solo se rimane immobile per qualunque carico io gli applichi. Essa è labile per qualunque tipo di carico, ma "isostatica" per forze verticali e solo per queste.
Ricorda quindi: una struttura è isostatica quando risulta immobile per qualunque condizione di carico.

Da tutto quello che ho scritto (lo so, troppo e forse ti ho confuso) potresti già rispondere da solo a questo che hai scritto:



"dolphinine":Ad esempio se ho una trave formata da 4 carrelli con varie forze orizzontali e verticali, questa trave è labile o iperstatica? E se è iperstatica, lo è 1 o 2 volte?



Dalla verifica delle condizioni necessaria (computo dei vincoli) e sufficiente (disposizione dei vincoli), si ottiene che la struttura è labile. Se essa viene caricata con sole forze verticali, vale il discorso di prima: essa risulta "isostatica" (anche se dire così è improprio). Per forze orizzontali però è labile, infatti scorrerrebbe orizzontalmente.
Da tutto questo possiamo dire anche che non è assolutamente iperstatica.

Capisco che ho scritto molto, anche forse più del dovuto, ma trattare in poche parole l'isostaticità non è semplice. Direi che per chiarire la questione, che credo ora ti sia un pò confusa, bisognerebbe svolgere un esercizio (anche perchè non ti ho spiegato come si esegue "praticamente" lo studio dei centri di rotazione).

Io sono a disposizione, tempo permettendo, quindi se vorrai postare un esercizio, sarò felice di aiutarti.

Ciao.

P.S. L'argomento è stato trattato diverse volte sul forum, infatti se cerchi, puoi trovare altre discussioni. Ti riporto solo il link di una di queste, perchè mi sembra che l'utente (Whispered), abbia dato una spiegazione ottima e per questo credo potrà esserti d'aiuto: Isostaticità struttura

________________________
*Una cosa importante da chiarire è che non è assolutamente sufficiente verificare il solo grado di vincolo (o molteplicità), per affermare che una struttura è isodeterminata. Tant'è che tale condizione è solo necessaria, ma non sufficiente, cioè non basta da sola. La sicurezza che una struttura è effettivamente isodeterminata si ha solo verificando anche la buona disposizione dei vincoli, nei modi che ho scritto su.
Ad esempio la trave rettilinea vincolata a terra con quattro carrelli di cui parlavi, è labile, eppure il grado di vincolo ($4$) è maggiore dei gradi di libertà della struttura ($3$), ma i vincoli sono mal disposti e infatti la struttura si può muovere in senso orizzontale (ecco quindi che non è sufficiente verificare la sola condizione necesaria).

[dolphinine]

Ciao! Innanzitutto ti ringrazio molto per la disponibilità...e mi scuso per aver scritto il titolo in maiuscolo (non ricordavo che fosse contro il regolamento). Cmq premetto che studio all'Università, ma per quest'esame ci sono state date pochissime informazioni di base per poter svolgere esercizi. In particolare non ci hanno mai parlato di aste, archi, catene cinematiche o cose del genere...le uniche e sole strutture di interesse (in base al programma del mio docente) sono carrelli, appoggi e incastri! L'esercizio "tipo" che dobbiamo saper svolgere consiste nel trattare una struttura iperstatica col metodo delle forze (cioè sconnettendola e rendendola isostatica), calcolare le reazioni vincolari e disegnare i diagrammi di N,T e M. Cmq ho capito come applicare la condizione necessaria, ma ho difficoltà nell'applicare concretamente quella sufficiente e vedere se i vincoli sono ben disposti o meno. Non c'è un modo rapido nel capirlo ad occhio in base alle forze che agiscono (senza il teorema delle catene cinematiche)? Ad ogni modo la trave incriminata è questa (scusami per il disegno in stile "elementare") Ora ho capito il ragionamento secondo cui, avendo solo carrelli, la trave tenderebbe a traslare orizzontalmente, ma se fosse labile come potrei poi risolvere la trave? Non potrei più usare il metodo delle forze...giusto?

[peppe.carbone.90]

Le travi che ti ritrovi a trattare dovrebbero essere travi gerber, cioè travi rettilinee su più appoggi.

Prima di continuare volevo capire due cose. La prima è se i carrelli sono tutti "esterni" e non "interni" nel senso che non interrompono la continuità della trave. La seconda è se le forze $F_1$, $F_2$ ed $F_1$ sono tutte dello stesso valore. Mi pare di capire che le due $F_1$, dato che hanno lo stesso nome, sono uguali e diverse dalla $F_2$.

A me comunque questa struttura sembra labile; può risultare "isostatica" solo nel caso in cui tutti i carichi agenti formano un sistema di forze a risultante e momento risultante nullo (questo particolare caso equivale al fatto che sulla struttura non agisce alcuna forza e quindi non c'è motivo che si muova). Non mi sembra comunque questo il caso infatti, basta vedere che non c'è equilibrio alla traslazione orizzontale (ammenoché i valori delle tre forze orizzontali sono tali che la loro somma sia il vettore nullo).

Per queste travi in effetti può risultare scomodo applicare il metodo dei centri, ma per questa trave nello specifico non c'è bisogno di applicare nulla: si vede ad occhio che può traslare.

Se comunque una struttura è labile non si può certamente risolvere, perchè non avrebbe senso parlare di "equilibrio" o "immobilità" per una struttura che si può movere. Ripeto: l'unico caso in cui una struttura labile è ferma, è il caso in cui il sistema di carichi agenti su di essa è un sistema di forze avente risultante e momento risultante nullo.

P.S. Per curiosità, che materia è?

P.S.S.

"dolphinine":Cmq ho capito come applicare la condizione necessaria, ma ho difficoltà nell'applicare concretamente quella sufficiente e vedere se i vincoli sono ben disposti o meno.

Questo è normale e ovviamente non è colpa tua, perchè non ti ho scritto come si applica concretamente la condizione sufficiente.

[dolphinine]

Sì...in pratica devo analizzare sempre travi rettilinee su più appoggi, però in genere quelle con cui ho avuto a che fare erano formate solo da un incastro e uno/due carrelli...mentre ora con questi 4 carrelli sono andato in crisi! Cmq sì, le due forze $F_1$ sono uguali tra loro e diverse dalla $F_2$ e, se ho capito cosa intendi, i carrelli non dovrebbero interrompere la continuità della trave. L'esercizio chiede in pratica di calcolare le reazioni vincolari e disegnare i diagrammi...ma, come dici tu, con una trave labile sarebbe impossibile. Quindi secondo te è sbagliato considerarla 2 volte iperstatica e applicare due sconnessioni (a livello dei due carrelli centrali)? Magari dirò una sciocchezza...ma potrebbe essere che le due $F1$ essendo uguali e opposte annullano la traslazione orizzontale? Cmq la materia è "Meccanica" (è una sorta di Scienza delle costruzioni...un po' più semplificato)

[peppe.carbone.90]

"dolphinine ":Sì...in pratica devo analizzare sempre travi rettilinee su più appoggi, però in genere quelle con cui ho avuto a che fare erano formate solo da un incastro e uno/due carrelli...

Ed infatti quelle che riporti sono esempi di strutture iperstatiche.

"dolphinine":Cmq sì, le due forze F1 sono uguali tra loro e diverse dalla F2 e, se ho capito cosa intendi, i carrelli non dovrebbero interrompere la continuità della trave.

Allora non c'è equlibrio alla traslazione orizzontale. Per esserci equilibrio infatti, deve accadere che la somma di tutte le forze (carichi e reazioni vincolari) sia nulla. Ora, siccome reazoni vincolari orizzontali non ce ne possono essere (perchè il carrello verticale reagisce con una forza verticale), le uniche forze che concorrono all'equilibrio sono i carichi orizzontali.
Come detto, la loro somma deve fare zero, affinché sia garantito l'equilibrio:

$- F_1 - F_2 + F_1 = "(le due"" "F_1" ""sono uguali e opposte quindi si eliminano)" = -F_2$

(ho considerato positive le forze rivolte verso destra)

Sommandole non si ottiene zero, ma $F_2$, quindi non c'è equilibrio alla traslazione orizzontale.

"dolphinine":L'esercizio chiede in pratica di calcolare le reazioni vincolari e disegnare i diagrammi...ma, come dici tu, con una trave labile sarebbe impossibile.

Eh, mi sa proprio di si. Certo, se fossero stati assenti i carichi orizzontali (o equivalentemente se la loro somma fosse stata nulla), potevamo concludere che, per carichi verticali, la strutture era $2$ volte iperstatica, perchè ci sono più carrelli del necessario, in particolare due in più (per l'equilibrio ne basterebbero due soli infatti). Ma così non è.

"dolphinine":Quindi secondo te è sbagliato considerarla 2 volte iperstatica e applicare due sconnessioni (a livello dei due carrelli centrali)

Vale quanto scritto su.

"dolphinine":ma potrebbe essere che le due $F_1$ essendo uguali e opposte annullano la traslazione orizzontale?

Anche a questo ho risposto su.

In conclusione, così com'è la condizione di carico, non si può risolvere la struttura perchè risulta labile.
Secondo me poi non è nemmeno una trave gerber, perchè queste di solito sono isostatiche, ma ci assomiglia solamente.

Più di questo non saprei che dirti, magari mi sto pure sbagliando; forse ti conviene chiedere chiarimenti al prof, oppure vedere nel materiale didattico che hai a disposizione (libri o dispense del prof) se c'è qualche spiegazione o parlarne con qualche collega.

Ciao.

[dolphinine]

Vabbè...mi sa che chiederò al prof, perchè non saprei proprio come risolvere altrimenti questa trave! Cmq ti ringrazio tantissimo per la disponibilità e il tempo dedicatomi Ciao...

[peppe.carbone.90]

Prego, figurati. Se comunque, una volta saputo come procedere, avrai bisogno di aiuto, puoi sempre tornare qui a chiedere.

Ciao.

[Madferit1]

Salve ragazzi, sono alle prese con una trave analoga, e ho trovato questo utilissimo forum.

Vorrei chiedere: nel caso le forze orizzontali fossero disposte in maniera da bilanciarsi, cioè in maniera tale che la loro risultante sia nulla, allora come si dovrebbe considerare la trave? E SOPRATTUTTO, come si dovrebbero ricercare le reazioni vincolari??

[peppe.carbone.90]

Hai già letto tutta la discussione? Dovrebbero esserci elementi sufficienti per rispondere alla tua prima domanda.

[Madferit1]

Si, ho letto...mi sembra di capire che per carichi verticali la struttura sarebbe 2 volte iperstatica, ma se così fosse, se volessi applicare il metodo delle forze adottando uno schema isostatico equivalente (SIE), che tipo di schema dovrei adottare? Applicando 2 sconnessioni a flessione, cioè spezzando la trave in due punti, troverei degli squilibri per gli spostamenti orizzontali, i quali si annullano solo se considero la trave nella sua interezza.

Avevo pensato di sostituire un carrello con una cerniera, però poi avrei una trave 3 volte iperstatica, quindi dovrei sconnettere 2 volte e declassare un vincolo semplice sostituendolo con una forza verticale, ma ho cmq difficoltà nel trovare reazioni vincolari, in quanto il numero delle incognite è superiore a quello delle equazioni da risolvere... Spero che tu abbia capito, scusa se sono stata un po' riassuntiva!

[peppe.carbone.90]

"Madferit":.mi sembra di capire che per carichi verticali la struttura sarebbe 2 volte iperstatica, ma se così fosse, se volessi applicare il metodo delle forze adottando uno schema isostatico equivalente (SIE), che tipo di schema dovrei adottare?

Potresti eliminare due carrelli a scelta e determinare poi le due incognite iperstatiche che ne nascono.
Introdurre sconnessioni non mi sembra la cosa più conveniente in questo caso.

"Madferit":Avevo pensato di sostituire un carrello con una cerniera, però poi avrei una trave 3 volte iperstatica, quindi dovrei sconnettere 2 volte e declassare un vincolo semplice sostituendolo con una forza verticale

Meccanismo troppo contorto; direi di non complicarti la vita in questo modo . Ti ripeto: secondo me è consigliabile trogliere due carrelli.

Ciao.

[Madferit1]

E' vero!! Non avevo proprio pensato ad una soluzione così semplice!
Grazie JoJo

[peppe.carbone.90]

Prego, figurati

[vencor]

Ciao,
ho letto la discussione su quest'argomento e l'ho trovata molto utile e interessante.
Sono anch'io disperata perchè ho a breve l'esame di statica e mi vengono ancora dubbi sulle strutture degeneri (che voi chiamate labili).
Penso di aver capito abbastanza bene come funziona il metodo grafico con i CIR, ma solo teoricamente; quando mi si presenta un esercizio un pò diverso davanti ho ancora difficoltà sull'applicazione pratica.
Ora vi allego la foto del mio esercizio, se qualcuno di voi potesse spiegarmi come si procede operativamente, in modo da poter verificare se il mio modo di ragionare è giusto, ve ne sarei grata
PS: i numeri cerchiati sull'esercizio indicano il numero di corpo, mentre quelli tra parentesi i GdV.