Stima dell'incertezza
Buon giorno .
Devo sostenere la seconda parte dell'esame di Elettronica . L'esame riguarda le Misure elettroniche in particolare la stima delle incertezze .
Mi viene proposto questo esercizio pero' per il momento mi e' un po' difficile affrontarlo .
Non chiedo la soluzione dell'esercizio ma indicarmi come riuscire ad affrontarlo .
Ringrazio chi mi suggerisce una strada ..
Esercizio :
Si devono determinare le dimensioni di una stanza rettangolare e si possono misurare solamente la diagonale D ed un lato L1.
Le letture ottenute sono:
D = 10 m; L1 = 8 m
Il misuratore di distanza elettronico impiegato ha le seguenti caratteristiche:
Portata: 20 m
Incertezza: (0.05% portata + 0.1% lettura) m
Stimare il valore e l’incertezza dell’altro lato L2 e della superficie S della stanza.
_______________
Soluzione : La prima cosa ( elementare ) che ho fatto e' quello di ricavarmi il secondo lato del rettangolo partendo dal calcolo dell'ipotenusa .
Sapendo che $ d = sqrt ( l1^2 +l2^2 ) $ ---> $ l2 = 6 $
Il secondo lato misura 6 .
A questo punto non so piu' andare avanti ..
Devo sostenere la seconda parte dell'esame di Elettronica . L'esame riguarda le Misure elettroniche in particolare la stima delle incertezze .
Mi viene proposto questo esercizio pero' per il momento mi e' un po' difficile affrontarlo .
Non chiedo la soluzione dell'esercizio ma indicarmi come riuscire ad affrontarlo .
Ringrazio chi mi suggerisce una strada ..
Esercizio :
Si devono determinare le dimensioni di una stanza rettangolare e si possono misurare solamente la diagonale D ed un lato L1.
Le letture ottenute sono:
D = 10 m; L1 = 8 m
Il misuratore di distanza elettronico impiegato ha le seguenti caratteristiche:
Portata: 20 m
Incertezza: (0.05% portata + 0.1% lettura) m
Stimare il valore e l’incertezza dell’altro lato L2 e della superficie S della stanza.
_______________
Soluzione : La prima cosa ( elementare ) che ho fatto e' quello di ricavarmi il secondo lato del rettangolo partendo dal calcolo dell'ipotenusa .
Sapendo che $ d = sqrt ( l1^2 +l2^2 ) $ ---> $ l2 = 6 $
Il secondo lato misura 6 .
A questo punto non so piu' andare avanti ..
Risposte
Per la propagazione degli errori o ti ricordi a memoria le formule, o le derivi ogni volta.
Il differenziale di $f(x, y)$ è dato da:
$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
Quindi consideriamo l'errore assoluto
$\delta f ≈ |\frac{\partial f}{\partial x}| \delta x + |\frac{\partial f}{\partial y}| \delta y$
Dove il valore assoluto è stato introdotto perché essendo un errore, ci interessa il maggior valore possibile. Considera che, infatti, in seguito avremo $f(x_0, y_0) = f_0 +- \delta f$ per una misura particolare.
Nel tuo testo si lavora con gli errori relativi, dunque considera
$\frac{\delta f }{f} ≈ 1/f |\frac{\partial f}{\partial x}| \delta x + 1/f |\frac{\partial f}{\partial y}| \delta y$
$\frac{\delta l_2 }{l_2} ≈ 1/l_2 |\frac{\partial l_2}{\partial l_1}| \delta l_1 + 1/l_2 |\frac{\partial l_2}{\partial d}| \delta d$
$\frac{\delta l_2 }{l_2} = \frac{l_1}{d^2-l_1^2} \delta l_1 + \frac{d}{d^2-l_1^2} \delta d$
Qualche volta capita di avere $\frac {\del x}{x}$ che è il tuo errore relativo e che quindi può essere messo direttamente nella formula. Ma non è questo il caso. Puoi calcolare, ad esempio, $\delta d$ considerando $\delta d = \frac {\delta d}{d}d$ per ogni misurazione.
Fai lo stesso per la formula dell'area, che essendo un prodotto è assai più semplice.
Il differenziale di $f(x, y)$ è dato da:
$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
Quindi consideriamo l'errore assoluto
$\delta f ≈ |\frac{\partial f}{\partial x}| \delta x + |\frac{\partial f}{\partial y}| \delta y$
Dove il valore assoluto è stato introdotto perché essendo un errore, ci interessa il maggior valore possibile. Considera che, infatti, in seguito avremo $f(x_0, y_0) = f_0 +- \delta f$ per una misura particolare.
Nel tuo testo si lavora con gli errori relativi, dunque considera
$\frac{\delta f }{f} ≈ 1/f |\frac{\partial f}{\partial x}| \delta x + 1/f |\frac{\partial f}{\partial y}| \delta y$
$\frac{\delta l_2 }{l_2} ≈ 1/l_2 |\frac{\partial l_2}{\partial l_1}| \delta l_1 + 1/l_2 |\frac{\partial l_2}{\partial d}| \delta d$
$\frac{\delta l_2 }{l_2} = \frac{l_1}{d^2-l_1^2} \delta l_1 + \frac{d}{d^2-l_1^2} \delta d$
Qualche volta capita di avere $\frac {\del x}{x}$ che è il tuo errore relativo e che quindi può essere messo direttamente nella formula. Ma non è questo il caso. Puoi calcolare, ad esempio, $\delta d$ considerando $\delta d = \frac {\delta d}{d}d$ per ogni misurazione.
Fai lo stesso per la formula dell'area, che essendo un prodotto è assai più semplice.
Grazie per avermi risposto e riconosco parte dei passaggi che hai eseguito perchè sono argomenti che sto' studiando .
Vorrei farti vedere pero' quest'altro modo di risolvere l'esercizio e sapere cosa ne pensi .
.determinare le dimensioni di una stanza rettangolare misurando la diagonale D ed un lato L1.
Le letture ottenute sono: D = 10 m; L1 = 8 m
Il misuratore di distanza elettronico impiegato ha le seguenti caratteristiche:
Portata: 20 m
Incertezza: (0.05% portata + 0.1% lettura) m
Stimare il valore e l’incertezza dell’altro lato L2 e della superficie S della stanza.
incertezza misura L1 = (0,05 /100)*20 + (0,01/100)*8 = 0,01 + 0,008 = 0,018 metri
incertezza misura D = (0,05 /100)*20 + (0,01/100)*10 = 0,01 + 0,01 = 0,02 metri
L2 = sqrt( D^2- L1^2) = sqrt(100-64)= 6 metri
incertezza di L2=sqrt((10+0,02)^2 - (8-0,018)^2) - 6 =sqrt(100,4 - 63,71) - 6 = 6,057 - 6 = 0,057 m
in eccesso
oppure L2=sqrt((10-0,02)^2 - (8+0,018)^2) - 6 = ..negativo in difetto.
Vorrei farti vedere pero' quest'altro modo di risolvere l'esercizio e sapere cosa ne pensi .
.determinare le dimensioni di una stanza rettangolare misurando la diagonale D ed un lato L1.
Le letture ottenute sono: D = 10 m; L1 = 8 m
Il misuratore di distanza elettronico impiegato ha le seguenti caratteristiche:
Portata: 20 m
Incertezza: (0.05% portata + 0.1% lettura) m
Stimare il valore e l’incertezza dell’altro lato L2 e della superficie S della stanza.
incertezza misura L1 = (0,05 /100)*20 + (0,01/100)*8 = 0,01 + 0,008 = 0,018 metri
incertezza misura D = (0,05 /100)*20 + (0,01/100)*10 = 0,01 + 0,01 = 0,02 metri
L2 = sqrt( D^2- L1^2) = sqrt(100-64)= 6 metri
incertezza di L2=sqrt((10+0,02)^2 - (8-0,018)^2) - 6 =sqrt(100,4 - 63,71) - 6 = 6,057 - 6 = 0,057 m
in eccesso
oppure L2=sqrt((10-0,02)^2 - (8+0,018)^2) - 6 = ..negativo in difetto.
Se non ho capito male stai calcolando $l_2$ utilizzando prima le misure senza errori e poi le misure con gli errori, per poi chiamare errore ("in eccesso" e "in difetto" a seconda del segno che hai usato) la differenza tra le due.
Non che io sia un esperto, ma mi pare sbagliato. Se non tiriamo in ballo la statistica, l'unico altro metodo che conosco è con Taylor.
Comunque usa lo script per le formule invece che scrivere come stai facendo. Nell'editor di risposta, in basso, puoi cliccare "Aggiungi formula". E' una questione di regolamento del forum, ed è anche più facile per gli altri capire cosa dici.
Non che io sia un esperto, ma mi pare sbagliato. Se non tiriamo in ballo la statistica, l'unico altro metodo che conosco è con Taylor.
Comunque usa lo script per le formule invece che scrivere come stai facendo. Nell'editor di risposta, in basso, puoi cliccare "Aggiungi formula". E' una questione di regolamento del forum, ed è anche più facile per gli altri capire cosa dici.
@polid
In effetti, il tuo procedimento non fa una piega. Tuttavia, se non esplicitamente richiesto e a patto che gli errori relativi siano "piccoli", per fare prima si procede propagando l'errore con le solite formule. Se risolvi l'esercizio seguendo questa seconda via, l'incertezza non dovrebbe subire modifiche apprezzabili. Insomma, solo se gli errori relativi non sono "piccoli" è doveroso procedere con il tuo metodo "forza bruta".
In effetti, il tuo procedimento non fa una piega. Tuttavia, se non esplicitamente richiesto e a patto che gli errori relativi siano "piccoli", per fare prima si procede propagando l'errore con le solite formule. Se risolvi l'esercizio seguendo questa seconda via, l'incertezza non dovrebbe subire modifiche apprezzabili. Insomma, solo se gli errori relativi non sono "piccoli" è doveroso procedere con il tuo metodo "forza bruta".
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