Stima ai minimi quadrati
Ciao a tutti, sto studiando la stima ai minimi quadrati e mi sono imbattuto nel cosiddetto Metodo di Gauss. Il prof. esordi' , nella spiegazione di questo metodo, col dire che e' un metodo banale e proprio per questo e' molto importante. Io pero' non ho trovato niente su Internet, forse non e' questo il vero nome del metodo.. non so.
Comunque cerco di spiegarmi e di farvi capire il mio dubbio.
Nella stima ai minimi quadrati semplice, la mia cifra di merito da minimizzare era:
$ min (y-\hat y)^T(y-\hat y)$
Con $y$ le uscite del sistema e $\hat y$ la stima delle uscite. La minimizzazione deve essere fatta rispetto a $\hat x$ stato stimato del mio sistema (che sarebbe il mio obiettivo).
Invece l'idea di Gauss e' la seguente:
bisogna ricordare che la matrice di covarianza ha sulla diagonale le varianze dei vari esperimenti . Se un esperimento ha una varianza piccola significa che e' un esperimento molto valido e viceversa.
Quindi detta $V$ la matrice di covarianza, la mia cifra di merito si modifica in:
$ min (y-\hat y)^T*V^(-1)*(y-\hat y)$
Cioe' la formulazione di Gauss da info sull'attendibilita' delle misure.
La mia domanda e' la seguente:
La V e' la matrice di covarianza dei miei esperimenti? Ma se la y e' una variabile aleatoria non ha semplicemente una e una sola varianza? oppure si puo' parlare di "varianza degli esperimenti" come ha fatto il mio prof.?
Spero di essere stato chiaro.
Grazie per l'aiuto!
Comunque cerco di spiegarmi e di farvi capire il mio dubbio.
Nella stima ai minimi quadrati semplice, la mia cifra di merito da minimizzare era:
$ min (y-\hat y)^T(y-\hat y)$
Con $y$ le uscite del sistema e $\hat y$ la stima delle uscite. La minimizzazione deve essere fatta rispetto a $\hat x$ stato stimato del mio sistema (che sarebbe il mio obiettivo).
Invece l'idea di Gauss e' la seguente:
bisogna ricordare che la matrice di covarianza ha sulla diagonale le varianze dei vari esperimenti . Se un esperimento ha una varianza piccola significa che e' un esperimento molto valido e viceversa.
Quindi detta $V$ la matrice di covarianza, la mia cifra di merito si modifica in:
$ min (y-\hat y)^T*V^(-1)*(y-\hat y)$
Cioe' la formulazione di Gauss da info sull'attendibilita' delle misure.
La mia domanda e' la seguente:
La V e' la matrice di covarianza dei miei esperimenti? Ma se la y e' una variabile aleatoria non ha semplicemente una e una sola varianza? oppure si puo' parlare di "varianza degli esperimenti" come ha fatto il mio prof.?
Spero di essere stato chiaro.
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Pongo meglio la mia domanda. Ho capito che la matrice V e' la matrice di covarianza della incertezza di misura $v$. Cioe' e':
$E[v*v^T]=V$ (questa a rigore sarebbe la matrice di correlazione, ma visto che ho $E[v]=0$ essa e' anche la matrice di covarianza).
Quindi ora vorrei sapere, ma ad ogni esperimento la matrice di covarianza come si comporta? Varia? oppure e' sempre la stessa? Il prof. ha detto che V e' data, ma non ho capito se e' data come un insieme di numeri o un insieme di parametri che cambiano al cambiare degli esperimenti!!!
Grazie per l'aiuto e la pazienza!
$E[v*v^T]=V$ (questa a rigore sarebbe la matrice di correlazione, ma visto che ho $E[v]=0$ essa e' anche la matrice di covarianza).
Quindi ora vorrei sapere, ma ad ogni esperimento la matrice di covarianza come si comporta? Varia? oppure e' sempre la stessa? Il prof. ha detto che V e' data, ma non ho capito se e' data come un insieme di numeri o un insieme di parametri che cambiano al cambiare degli esperimenti!!!
Grazie per l'aiuto e la pazienza!
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