Stabilità del sistema......criterio di Routh
Ciao a tutti, devo studiare la stabilità di un sistema ad anello chiuso (con retroazione algebrica) da $-oo$ a $+oo$ ma non sono sicuro di ciò che faccio....
I dati sono: $G_p (s)= (3(s-2))/((4s+11)(s^2-2s+8))$ , $H=2/9$
Per prima cosa trovo l'equazione caratteristica del sistema ad anello chiuso che dovrebbe essere: $(4s+11)(s^2-2s+8) + 2/9 K_1 3(s-2)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88 $
Ora applico il criterio di Routh al polinomio $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88$ e costruisco la tabella:
3| $4$.............................................$2/3K_1 +10$..........................................$88$
2| $ 3$............................................$-4/3K_1$
1| $(2(11K_1+45))/9$..........................$(2(K_1+5))/3$
0| $(16K_1 (K_1+5)(11K_1+45))/(3(22K_1 +45))$
Qui sorgono già i miei primi dubbi.....è giusta la tabella? A me i numeri sembrano troppo grandi!
Fatemi sapere, grazie!!
I dati sono: $G_p (s)= (3(s-2))/((4s+11)(s^2-2s+8))$ , $H=2/9$
Per prima cosa trovo l'equazione caratteristica del sistema ad anello chiuso che dovrebbe essere: $(4s+11)(s^2-2s+8) + 2/9 K_1 3(s-2)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88 $
Ora applico il criterio di Routh al polinomio $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88$ e costruisco la tabella:
3| $4$.............................................$2/3K_1 +10$..........................................$88$
2| $ 3$............................................$-4/3K_1$
1| $(2(11K_1+45))/9$..........................$(2(K_1+5))/3$
0| $(16K_1 (K_1+5)(11K_1+45))/(3(22K_1 +45))$
Qui sorgono già i miei primi dubbi.....è giusta la tabella? A me i numeri sembrano troppo grandi!
Fatemi sapere, grazie!!
Risposte
Continuo l'esercizio sperando che la tabella sia giusta:
La stabilità asintotica è garantita se tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono positivi:
$(2(11K_1+45))/9 >0$ $rArr$ $K_1>-45/11$
$(16K_1 (K_1+5)(11K_1+45))/(3(22K_1 +45))>0$ $rArr$ $-45/110$
Per $-45/110$ il sistema è asintoticamente stabile.
Vi torna?
Grazie 1000!!!
La stabilità asintotica è garantita se tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono positivi:
$(2(11K_1+45))/9 >0$ $rArr$ $K_1>-45/11$
$(16K_1 (K_1+5)(11K_1+45))/(3(22K_1 +45))>0$ $rArr$ $-45/11
Per $-45/11
Vi torna?
Grazie 1000!!!
Ciao...non ho controllato i calcoli, ma ad occhio c'è un errore nella costruzione della tabella...
Nella prima riga vanno i coefficienti di posto dispari, quindi 88 non ci va, anche perchè il coefficiente di $ s^0 $ è $ -4/3 * K1 + 88 $ che quindi va come secondo elemento della seconda riga...
Ciao!
Nella prima riga vanno i coefficienti di posto dispari, quindi 88 non ci va, anche perchè il coefficiente di $ s^0 $ è $ -4/3 * K1 + 88 $ che quindi va come secondo elemento della seconda riga...
Ciao!
E' vero....ecco perchè mi venivano calcoli lunghi! Correggo immediatamente:
Trovo l'equazione caratteristica del sistema ad anello chiuso che dovrebbe essere: $(4s+11)(s^2-2s+8) + 2/9 K_1 3(s-2)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88 $
Ora applico il criterio di Routh al polinomio $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88$ e costruisco la tabella:
3| $4$.............................................$2/3K_1 +10$
2| $ 3$............................................$-4/3K_1+88$
1| $(2(11K_1+45))/9$..........................$0$
0| $4/3K_1$
La stabilità asintotica è garantita se tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono positivi:
$(2(11K_1+45))/9 >0$ $rArr$ $K_1> -45/11$
$4/3K_1>0$ $rArr$ $K_1>0$
Dunque per $K_1>0$ il sistema è asintoticamente stabile.
Per $K_1<0$ il sistema è instabile.
Per $K_1=0$ cambia il termine noto per cui il polinomio caratteristico diventa $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+ 10s +88$ con radici $s=1-jsqrt(7)$, $s=1+jsqrt(7)$ ed $s=-11/4$
Ora penso che sia corretto...........fatemi sapere
Grazie!!
Trovo l'equazione caratteristica del sistema ad anello chiuso che dovrebbe essere: $(4s+11)(s^2-2s+8) + 2/9 K_1 3(s-2)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88 $
Ora applico il criterio di Routh al polinomio $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88$ e costruisco la tabella:
3| $4$.............................................$2/3K_1 +10$
2| $ 3$............................................$-4/3K_1+88$
1| $(2(11K_1+45))/9$..........................$0$
0| $4/3K_1$
La stabilità asintotica è garantita se tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono positivi:
$(2(11K_1+45))/9 >0$ $rArr$ $K_1> -45/11$
$4/3K_1>0$ $rArr$ $K_1>0$
Dunque per $K_1>0$ il sistema è asintoticamente stabile.
Per $K_1<0$ il sistema è instabile.
Per $K_1=0$ cambia il termine noto per cui il polinomio caratteristico diventa $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+ 10s +88$ con radici $s=1-jsqrt(7)$, $s=1+jsqrt(7)$ ed $s=-11/4$
Ora penso che sia corretto...........fatemi sapere
Grazie!!
Dovrebbe esserci un'altro errore sulla tabella...l'ultimo elemento (riga 0) mi risulta sia $ -4/3K1 + 88 $ controlla un po'...Poi ammesso che siano fatti bene tutti i calcoli devi fare un sistema di disequazioni dove le disequazioni sono i termini della prima colonna, che devono essere tutti >0..
Se ti va dai un'occhiata al mio thread sul luogo delle radici, magari puoi darmi una mano...
Se ti va dai un'occhiata al mio thread sul luogo delle radici, magari puoi darmi una mano...
Hai ragione lo riscrivo:
applico il criterio di Routh al polinomio $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88$ e costruisco la tabella:
3| $4$.............................................$2/3K_1 +10$
2| $ 3$............................................$-4/3K_1+88$
1| $(2(11K_1+45))/9$..........................$0$
0| $-4/3K_1+88$
La stabilità asintotica è garantita se tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono positivi:
$(2(11K_1+45))/9 >0$ $rArr$ $K_1> -45/11$
$-4/3K_1+88>0$ $rArr$ $K_1<66$
Dunque per $-45/11
Grazie Roccop86!
applico il criterio di Routh al polinomio $phi(s,K_1)=4s^3+3s^2+(2/3K_1+10)s -4/3K_1 +88$ e costruisco la tabella:
3| $4$.............................................$2/3K_1 +10$
2| $ 3$............................................$-4/3K_1+88$
1| $(2(11K_1+45))/9$..........................$0$
0| $-4/3K_1+88$
La stabilità asintotica è garantita se tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono positivi:
$(2(11K_1+45))/9 >0$ $rArr$ $K_1> -45/11$
$-4/3K_1+88>0$ $rArr$ $K_1<66$
Dunque per $-45/11
Grazie Roccop86!
eh...purtroppo questi esercizi sono così...basta un banale errore di calcolo e non porta più niente!!
Sono contento di essere già stato utile...mi sono iscritto proprio oggi!
A buon rendere...
Bius88...daresti un'occhiata al mio thread sul luogo delle radici? Così magari mi dai una mano..
Sono contento di essere già stato utile...mi sono iscritto proprio oggi!
A buon rendere...
Bius88...daresti un'occhiata al mio thread sul luogo delle radici? Così magari mi dai una mano..
"Roccop86":
Bius88...daresti un'occhiata al mio thread sul luogo delle radici? Così magari mi dai una mano..
L'ho visto ma non posso esserti utile...come vedi ho avuto difficoltà a risolvere il mio che è molto ma molto più semplice del tuo!
Mi dispiace....comunque in questo forum c'è tantissima gente preparata....non devi far altro che aspettare!
Grazie ancora!
Dato che si parla di Routh ve lo chiedo qui, ma se io ho un polinomio di questo tipo:
$s^2 + (1-k)*s - k = 0$
ottengo che la prima riga presenta i seguenti termini:
$1$
$1-k$
$-k$
ma quindi non posto studiare la stabilità al variare di $k$ perché ho la prima riga con un segno negativo? Quindi è instabile?
$s^2 + (1-k)*s - k = 0$
ottengo che la prima riga presenta i seguenti termini:
$1$
$1-k$
$-k$
ma quindi non posto studiare la stabilità al variare di $k$ perché ho la prima riga con un segno negativo? Quindi è instabile?
no...nella prima riga vanno solo i termini di posto dispari...quindi 1 e -k
Inoltre per poter applicare routh condizione necessaria è che tutti coefficienti siano dello stesso segno, ovvero in questo caso deve essere 1-K>0 e -K>0 quindi K<0 per avere tutte i poli a parte Re[] negativa...
costruisci la tabella...
1............-k
1-k.........0
-k
Tutti gli elementi della prima colonna devono essere dello stesso segno, quindi positivi, si riduce allo stesso sistema di disequazioni di prima ovviamente...quindi viene che il sistema è stabile per K<0...
Inoltre per poter applicare routh condizione necessaria è che tutti coefficienti siano dello stesso segno, ovvero in questo caso deve essere 1-K>0 e -K>0 quindi K<0 per avere tutte i poli a parte Re[] negativa...
costruisci la tabella...
1............-k
1-k.........0
-k
Tutti gli elementi della prima colonna devono essere dello stesso segno, quindi positivi, si riduce allo stesso sistema di disequazioni di prima ovviamente...quindi viene che il sistema è stabile per K<0...
"Roccop86":
no...nella prima riga vanno solo i termini di posto dispari...quindi 1 e -k
Inoltre per poter applicare routh condizione necessaria è che tutti coefficienti siano dello stesso segno, ovvero in questo caso deve essere 1-K>0 e -K>0 quindi K<0 per avere tutte i poli a parte Re[] negativa...
costruisci la tabella...
1............-k
1-k.........0
-k
Tutti gli elementi della prima colonna devono essere dello stesso segno, quindi positivi, si riduce allo stesso sistema di disequazioni di prima ovviamente...quindi viene che il sistema è stabile per K<0...
Scusa se lo chiedo ma sul libro (Marro) sta scritto che se esce un termine negativo sulla prima colonna risulta instabile.
E se non volevo applicare Routh?
"Roccop86":
no...nella prima riga vanno solo i termini di posto dispari...quindi 1 e -k
Inoltre per poter applicare routh condizione necessaria è che tutti coefficienti siano dello stesso segno, ovvero in questo caso deve essere 1-K>0 e -K>0 quindi K<0 per avere tutte i poli a parte Re[] negativa...
costruisci la tabella...
1............-k
1-k.........0
-k
Tutti gli elementi della prima colonna devono essere dello stesso segno, quindi positivi, si riduce allo stesso sistema di disequazioni di prima ovviamente...quindi viene che il sistema è stabile per K<0...
Scusa se lo chiedo ma sul libro (Marro) sta scritto che se esce un termine negativo sulla prima colonna risulta instabile.
E se non volevo applicare Routh?
E' più o meno quello che ho scritto...il teorema di Routh precisamente dice che ad ogni variazione di segno sulla prima colonna corrisponde una radice a parte reale positiva, mentre ad ogni permanenza ne corrisponde una a parte reale negativa...va da se che essendo il primo il elemento positivo (è 1) per avere tutte radici a parte Re < 0 devono essere positivi tutti gli altri termini della prima colonna in modo che il segno permanga sempre...e quindi trovi K che li rende tutti positivi, proprio come ho fatto io...
Routh è metodo più veloce secondo me...soprattutto se hai un polinomio di grado così basso...altrimenti per la stabilità puoi usare nyquist partendo dalla F(S)...altri metodi non li ho ancora studiati...
Un'altra cosa che mi viene in mente è che essendo un'equazione di 2° grado potresti risolverla portandoti dietro la K, poi imponi che le 2 soluzioni abbiano parte reale <0...dovrebbe funzionare...
Routh è metodo più veloce secondo me...soprattutto se hai un polinomio di grado così basso...altrimenti per la stabilità puoi usare nyquist partendo dalla F(S)...altri metodi non li ho ancora studiati...
Un'altra cosa che mi viene in mente è che essendo un'equazione di 2° grado potresti risolverla portandoti dietro la K, poi imponi che le 2 soluzioni abbiano parte reale <0...dovrebbe funzionare...
"Roccop86":
E' più o meno quello che ho scritto...il teorema di Routh precisamente dice che ad ogni variazione di segno sulla prima colonna corrisponde una radice a parte reale positiva, mentre ad ogni permanenza ne corrisponde una a parte reale negativa...va da se che essendo il primo il elemento positivo (è 1) per avere tutte radici a parte Re < 0 devono essere positivi tutti gli altri termini della prima colonna in modo che il segno permanga sempre...e quindi trovi K che li rende tutti positivi, proprio come ho fatto io...
Routh è metodo più veloce secondo me...soprattutto se hai un polinomio di grado così basso...altrimenti per la stabilità puoi usare nyquist partendo dalla F(S)...altri metodi non li ho ancora studiati...
Un'altra cosa che mi viene in mente è che essendo un'equazione di 2° grado potresti risolverla portandoti dietro la K, poi imponi che le 2 soluzioni abbiano parte reale <0...dovrebbe funzionare...
Alla fine per l'esercizio che ti avevo fatto vedere Routh si poteva anche non utilizzare. Questo perché mi ero dimenticato che gli elementi su una matrice diagonale solitamente sono proprio gli autovalori. Comunque ho postato un altro esercizio su Routh
https://www.matematicamente.it/forum/sta ... tml#448975
L'ho risolto ma non mi trovo su una cosa. Ciao
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