[Sistemi]: Esercizio Diagramma di Bode
Ciao a tutti,
ho un problema per quanto riguarda il seguente esercizio, relativo a determinare modulo e fase di una funzione di $G(s)$. Per essere più precisi per quanto riguarda il modulo non ho problemi, anzi.
Tracciare modulo e fase della seguente funzione:
$G(s) = (s - 0.1)/((s^2 + 1.4 s + 1)(s + 10))$
Per poter tracciare i diagrammi di Bode è necessario riscrivere la funzione in forma di Bode ovvero nel modo seguente:
$G(s) = [(-0.1)*(-10 s + 1)]/[10*(s^2 + 1.4 s + 1)(s/10 + 1)]$
posto $s = jomega$ si ha:
$G(jomega) = [(-0.1)*(-10 jomega + 1)]/[10*((jomega)^2 + 1.4 jomega + 1)((jomega)/10 + 1)]$
Il guadagno si ricava così:
$K = -0.1/10 = - 0.01$
da cui
$K_(dB) = 20 dB log |K| = 20 dB log |0.01| = - 40 dB$
Dato che non vi sono né poli né zero in zero non vi saranno pendenze iniziali. Inoltre i poli e gli zeri si ricavano:
$omega _(z0) = 0.1 (rad)/(sec)$
$omega _(p1) = 10 (rad)/(sec)$
$omega _(p2) = 1 (rad)/(sec)$
e quindi costruendo il diagramma del modulo si ha:
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Il problema nasce con il diagramma della fase perché da quanto ho capito se $K < 0$, come nel caso in esame, la fase parte a $- 180 $ gradi. Non capisco perché in questo caso parte a $+ 180$, inoltre non mi trovo con l'andamento, perché a partire da $10^-2$ fino a $10 ^-1$ dovrebbe salire di $45$ gradi.
Ho fatto il grafico anche con Matlab e mi conferma che ho torto, però non capisco dove e perché sbaglio.
Grazie a tutti.
ho un problema per quanto riguarda il seguente esercizio, relativo a determinare modulo e fase di una funzione di $G(s)$. Per essere più precisi per quanto riguarda il modulo non ho problemi, anzi.
Tracciare modulo e fase della seguente funzione:
$G(s) = (s - 0.1)/((s^2 + 1.4 s + 1)(s + 10))$
Per poter tracciare i diagrammi di Bode è necessario riscrivere la funzione in forma di Bode ovvero nel modo seguente:
$G(s) = [(-0.1)*(-10 s + 1)]/[10*(s^2 + 1.4 s + 1)(s/10 + 1)]$
posto $s = jomega$ si ha:
$G(jomega) = [(-0.1)*(-10 jomega + 1)]/[10*((jomega)^2 + 1.4 jomega + 1)((jomega)/10 + 1)]$
Il guadagno si ricava così:
$K = -0.1/10 = - 0.01$
da cui
$K_(dB) = 20 dB log |K| = 20 dB log |0.01| = - 40 dB$
Dato che non vi sono né poli né zero in zero non vi saranno pendenze iniziali. Inoltre i poli e gli zeri si ricavano:
$omega _(z0) = 0.1 (rad)/(sec)$
$omega _(p1) = 10 (rad)/(sec)$
$omega _(p2) = 1 (rad)/(sec)$
e quindi costruendo il diagramma del modulo si ha:
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Il problema nasce con il diagramma della fase perché da quanto ho capito se $K < 0$, come nel caso in esame, la fase parte a $- 180 $ gradi. Non capisco perché in questo caso parte a $+ 180$, inoltre non mi trovo con l'andamento, perché a partire da $10^-2$ fino a $10 ^-1$ dovrebbe salire di $45$ gradi.
Ho fatto il grafico anche con Matlab e mi conferma che ho torto, però non capisco dove e perché sbaglio.
Grazie a tutti.
Risposte
Non cambia nulla tra 180° e -180° (prova a immaginarti perché). Semplicemente Matlab lo fa partire da lì per non usare fasi troppo negative (si andrebbe a finire a -540°).
"elgiovo":
Non cambia nulla tra 180° e -180° (prova a immaginarti perché). Semplicemente Matlab lo fa partire da lì per non usare fasi troppo negative (si andrebbe a finire a -540°).
Grazie, avevo intuito, però il problema rimane sempre l'andamento, a quel punto devo invertire il tutto? Ossia quando ho un polo la mia funzione scende nella decade precedente al polo in esame e sale a quella successiva al polo, viceversa per lo zero. In questo caso devo fare in modo opposto? Il problema è che in entrambi i casi non mi trovo...come si procede allora?
Grazie.
"Ahi":
a quel punto devo invertire il tutto?
No no, niente inversione. Sinceramente non ho mai imparato a fare i diagrammi di Bode per il termine del second'ordine (è pallosissimo), vedi se riesci a capire dove sbagli.
Il comportamento in fase di uno zero a parte reale positiva è l'opposto di uno a parte reale negativa (e puoi facilmente dimostrarlo). Per questo vedi un comportamento sempre decrescente. Mentre, in modulo, l'andamento è sempre il medesimo.
Un polinomio di grado secondo a denominatore in fase si comporta, in maniera approssimata, come un polo doppio. In modulo la stessa cosa, almeno sufficientemente lontano dalla frequenza di risonanza, dove appunto possono esserci delle risonanze. Anche questa cosa si può dimostrare davvero in maniera semplice. Prova a farlo come esercizio.
Un polinomio di grado secondo a denominatore in fase si comporta, in maniera approssimata, come un polo doppio. In modulo la stessa cosa, almeno sufficientemente lontano dalla frequenza di risonanza, dove appunto possono esserci delle risonanze. Anche questa cosa si può dimostrare davvero in maniera semplice. Prova a farlo come esercizio.
"K.Lomax":
Il comportamento in fase di uno zero a parte reale positiva è l'opposto di uno a parte reale negativa (e puoi facilmente dimostrarlo). Per questo vedi un comportamento sempre decrescente. Mentre, in modulo, l'andamento è sempre il medesimo.
Un polinomio di grado secondo a denominatore in fase si comporta, in maniera approssimata, come un polo doppio. In modulo la stessa cosa, almeno sufficientemente lontano dalla frequenza di risonanza, dove appunto possono esserci delle risonanze. Anche questa cosa si può dimostrare davvero in maniera semplice. Prova a farlo come esercizio.
Non ho capito. Facendo ordine, ho i seguenti zeri e poli:
$omega_z = 0.1$ zero
$omega_(p1) = 1$ primo polo (doppio)
$omega_(p2) = 10$ secondo polo
Per quanto riguarda l'andamento della fase, se considero lo zero dovrò salire di $45$ gradi in $10^-2$ (nella decade precedente) e scendere di altrettanti gradi in $10^0$ (decade successiva), per il primo polo scenderò di $45+45 = 90$ gradi in $10^-1$ e salirò di altrettanti $90$gradi in $10^1$ (questo perché il polo è doppio). Per il secondo polo infine si scende di $45 + 45 = 90$ gradi in $10 ^ 0$ e si sale di $45$ gradi in $10 ^2$. Finora ho sempre usato questo metodo e ha sempre funzionato sia per poli che per zeri di ordine superiore. Questo è il primo esercizio in cui non si trova.
"Ahi":
Per quanto riguarda l'andamento della fase, se considero lo zero dovrò salire di 45°.....
E' proprio questo l'errore. Il comportamento in fase di uno zero a parte reale positiva è equivalente a quella di un polo a parte reale negativa. Rimanendo all'esempio, il comportamento dello zero [tex]\omega_z[/tex] è lo stesso del polo [tex]\omega_{p2}[/tex]. Come ti dicevo, questo è facilmente dimostrabile.
"K.Lomax":
[quote="Ahi"]Per quanto riguarda l'andamento della fase, se considero lo zero dovrò salire di 45°.....
E' proprio questo l'errore. Il comportamento in fase di uno zero a parte reale positiva è equivalente a quella di un polo a parte reale negativa.[/quote]
Grazie. Ma questo discorso può vale anche nel caso del polo?
Ma nel caso in cui le radici sono una positiva e una negativa in quel caso che succede?
Per il polo la stessa cosa. Ovvero, se la sua parte reale è positiva, in fase si comporta come uno zero a parte reale negativa.
In che senso se le radici sono una positiva ed una negativa?
In che senso se le radici sono una positiva ed una negativa?
"K.Lomax":
Per il polo la stessa cosa. Ovvero, se la sua parte reale è positiva, in fase si comporta come uno zero a parte reale negativa.
In che senso se le radici sono una positiva ed una negativa?
Scusa, ma per valutare la parte reale non devo trovare le soluzioni del polinomio di secondo grado?
Il mio ragionamento era riferito ai soli poli (zeri) semplici o molteplici ovvero del tipo [tex](s\pm\omega_0)^m[/tex] con m intero ma non a polinomi come quello. Per quello si procede diversamente, facendo ragionamenti limite lontani da [tex]\omega_0[/tex].
Per non incasinare il forum con troppi esercizi sul diagramma di Bode continuo con questo.
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Ho fatto anche questo esercizio e mi trovo l'andamento della fase e anche del modulo. Solo che per il polo in $1/4$ non dovrebbe passare per 0? Cioè si scende di $-20 (dB)/(dec)$ e a $1/4$ arriva a zero. Da li in poi scende di $-40$. Perché Matlab fa in modo diverso?
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Ho fatto anche questo esercizio e mi trovo l'andamento della fase e anche del modulo. Solo che per il polo in $1/4$ non dovrebbe passare per 0? Cioè si scende di $-20 (dB)/(dec)$ e a $1/4$ arriva a zero. Da li in poi scende di $-40$. Perché Matlab fa in modo diverso?
No. Il coefficiente [tex]\frac{1}{s}[/tex] ha modulo in dB
[tex]-20\log(\omega)[/tex]
che è pari a [tex]40[/tex] per [tex]\omega=0.01[/tex] e sarebbe pari a [tex]0[/tex] per [tex]\omega=1[/tex], ma quel polo interviene prima e quindi è tutto ok.
[tex]-20\log(\omega)[/tex]
che è pari a [tex]40[/tex] per [tex]\omega=0.01[/tex] e sarebbe pari a [tex]0[/tex] per [tex]\omega=1[/tex], ma quel polo interviene prima e quindi è tutto ok.
"K.Lomax":
No. Il coefficiente [tex]\frac{1}{s}[/tex] ha modulo in dB
[tex]-20\log(\omega)[/tex]
che è pari a [tex]40[/tex] per [tex]\omega=0.01[/tex] e sarebbe pari a [tex]0[/tex] per [tex]\omega=0[/tex], ma quel polo interviene prima e quindi è tutto ok.
No, non capisco. Il $K = 1$ in questo caso dunque il $K_(dB) = 20 log (1) = 0$
Ma il mio procedimento può andare comunque o è sbagliato? Se è sbagliato come faccio a rendermi conto di come correggere il diagramma?
Grazie-.
Nel precedente post ho sbagliato a scrivere la frequenza di annullamento del modulo che è ovviamente [tex]\omega=1[/tex]. Ho corretto, ma il ragionamento rimane.
Scendendo con -20db per decade avresti che indicato con [tex]P(s)=\frac{1}{s}[/tex]:
[tex]|P(j0.01)|=40dB[/tex]
[tex]|P(j0.1)|=20dB[/tex]
[tex]|P(j1)|=0dB[/tex]
Ma quest'ultimo valore non verrà mai raggiunto (almeno non in corrispondenza di quella frequenza) perchè c'è il polo in [tex]1/4[/tex] che interviene prima facendo aumentare la pendenza. In altri termini
[tex]|P(j0.25)|=20\log(4)\neq0[/tex]
Perchè secondo te dovrebbe annullarsi in corrispondenza di questa frequenza?
Scendendo con -20db per decade avresti che indicato con [tex]P(s)=\frac{1}{s}[/tex]:
[tex]|P(j0.01)|=40dB[/tex]
[tex]|P(j0.1)|=20dB[/tex]
[tex]|P(j1)|=0dB[/tex]
Ma quest'ultimo valore non verrà mai raggiunto (almeno non in corrispondenza di quella frequenza) perchè c'è il polo in [tex]1/4[/tex] che interviene prima facendo aumentare la pendenza. In altri termini
[tex]|P(j0.25)|=20\log(4)\neq0[/tex]
Perchè secondo te dovrebbe annullarsi in corrispondenza di questa frequenza?
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