[Sistemi di controllo] Stabilità in ciclo chiuso.

[Jonhson91]

Salve. Ho un dubbio che non riesco a chiarirmi, e le dispense del mio prof sono poco chiare. Praticamente, la condizione di stabilità in ciclo chiuso con retroazione unitaria di un sistema con funzione di trasferimento in ciclo aperto pari ad $ L(s) $ , è che $ |L(jw_180)|<0dB $ (dove per $ |L(jw_180)| $ intendo il modulo di $ L(jw) $ calcolato per la frequenza critica, cioè quella per cui la fase è pari a -180°). Questa condizione si verifica facilmente dal diagramma di Bode della $ L(jw) $, e deriva dal luogo di Nyquist.

Ora, questa vale solo se $ L(s) $ è stabile. In caso contrario, come diventa la condizione di stabilità del sistema in ciclo chiuso? E se si hanno più attraversamenti della fase critica, e quindi si ha stabilità magari solo per un intervallo, qual è la condizione per determinare questo intervallo?

Grazie

[Mos1]

ciao,
affinchè un sistema asintoticamente stabile in catena aperta sia asintoticamente stabile in catena chiusa è necessario e sufficiente che il luogo di Nyquist non circondi il punto $ -1 $. Questo è quello che hai chiaro perchè lo verifichi dai diagrammi di Bode come hai detto tu. Questo però in effetti è il criterio di stabilità di Nyquist semplificato.

Invece il criterio di Nyquist ci dà la seguente formula:
$ N=Z_(ch)-Z_(ap) $

dove:
$ N $ è il numero di circondamenti in senso orario del punto critico $ -1 $ del luogo completo di Nyquist
$ Z_(ch) $ è il numero di poli instabili in catena chiusa
$ Z_(ap) $ è il numero di poli instabili in catena aperta

una volta determinato $ Z_(ap) $ e $ N $ allora hai anche i poli instabili in catena chiusa, se questi sono nulli allora il tuo sistema in retroazione è asintoticamente stabile.

[Jonhson91]

Ti ringrazio. Anche io avrei risolto tramite Nyquist, il fatto è che un esercizio in particolare mi richiedeva di calcolare l'intervallo di valori del guadagno che mi garantivano la stabilità in ciclo chiuso di una $ L(s) $ instabile e con doppio attraversamento della fase critica, solo tramite il diagramma di Bode. Però credo sia impossibile, cioè al massimo da Bode si può vedere di quanto devono essere gli estremi di guadagno leggendo il modulo agli attraversamenti della fase critica, ma cmq non c'è modo di capire quale intervallo garantisce la stabilità.

[Mos1]

infatti solo con il diagramma di Bode non l'ho mai visto fare