Sistema retroazionato, controllore

[bibus12]

[fcd="Schema a blocchi "][FIDOCAD]
FJC C 1.25
FJC A 0.35
FJC B 0.5
RV 60 35 75 45 0
RV 85 35 100 45 0
TY 108 23 4 3 0 1 0 FreeMono d
MC 110 30 1 0 ihram.bd-b01
MC 40 40 0 0 ihram.bd-b02
MC 80 40 0 0 074
LI 80 40 75 40 0
LI 110 50 50 50 0
LI 115 40 125 40 0
TY 30 37 4 3 0 1 0 FreeMono r
TY 127 37 4 3 0 1 0 FreeMono v
LI 40 40 35 40 0
TY 62 37 4 3 0 1 0 FreeMono C(s)
TY 87 37 4 3 0 1 0 FreeMono P(s)
LI 55 35 55 35 0[/fcd]

Avendo questo schema a blocchi devo progettare il controllore C(s). Ho che $ P(s) = \frac{10}{s+5} $ , $ d(t)= 3,5sen(2t) $ , e poli in $ -10 + 2i $ e $ -10 - 2i $.

Per la risoluzione ho impostato il numeratore di C(s) come $ C(s) = \frac{a_2s^{2} + a_1s + a_0}{s^{2} + 4} . Ora facendo C(s)P(s)=k otterrei a_0 e riuscirei a risolvere l'esercizio senza problemi, qui però il problema e' che il k non mi viene dato e non ho la più pallida idea di come fare :/ potreste darmi una mano, solo riguardo al ragionamento sul k , il resto poi riesco a farlo da sola. Grazie mille

[D4lF4zZI0]

Il problema è che mancano le specifiche con cui progettare il controllore. Magari posta bene la traccia

[bibus12]

[D4lF4zZI0]

Ok così è più facile aiutarti. Allora, per prima cosa occupiamoci della reiezione infinita al disturbo.
Reiettare un disturbo vuol dire che, a regime, l'uscita del sistema dovuta al disturbo $Y_D(s)=0$. Dunque, supponendo che:
$ C(s)=k/(s^h+a) $
l'uscita relativa al disturbo $ D(s)=3,5 2/(s^2+4) $ vale:
$ Y_D(s)=W_D(s)D(s)=-1/(1+CP)D(s)=-1/(1+k/(s^h+a) 10/(s+5))3,5 2/(s^2+4)=-7 1/(s^2+4) ((s^h+a)(s+5))/((s^h+a) (s+5)+10k) $
Quindi per reiettare il disturbo deve accadere che:
$ lim_(t -> oo)y_D(t)=0 hArr lim_(s -> 0)sY_D(s)=0 rArr lim_(s -> 0)-s7 1/(s^2+4) ((s^h+a)(s+5))/((s^h+a) (s+5)+10k)=0$
Ora se non ho sbagliato il limite ( magari ricontrollalo pure tu ) questo limite è verificato anche per $h=0$ e dunque la forma del controllore diventa:
$ C(s)=k $
In questo modo, però, se calcoli la fdt a ciclo chiuso, viene fuori una fdt del primo ordine, in disaccordo col fatto che la seconda specifica vuole che il sistema abbia i poli complessi e coniugati e, dunque, deve essere un sistema del secondo ordine. Per questo motivo, si sceglie:
$ C(s)=k/(s+a) $
A questo punto puoi continuare tu: devi scegliere $k$ e $a$ tali che il sistema a ciclo chiuso abbia i poli desiderati