Singolarità di una funzione complessa
Ciao a tutti.....Sto studiando la funzione $z/(e^z-1)$
In $z=0$ c'è una singolarità eliminabile mentre in $z=2kpij$ il libro dice che è un polo semplice...ma non ho capito come ci è arrivato anche dopo aver verificato (senza riuscirci) con la definizione di polo(cioè a é un polo di ordine n se il limite per z che tende ad a di $f(z) (z-a)^n$ è finito e diverso da zero...potete aiutarmi?
Grazie mille
In $z=0$ c'è una singolarità eliminabile mentre in $z=2kpij$ il libro dice che è un polo semplice...ma non ho capito come ci è arrivato anche dopo aver verificato (senza riuscirci) con la definizione di polo(cioè a é un polo di ordine n se il limite per z che tende ad a di $f(z) (z-a)^n$ è finito e diverso da zero...potete aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
Sei sulla strada giusta!
Il limite da risolvere è:
$lim_{z->j2\pik} z/(e^z-1)(z-j2\pik)
prova facendo una sostituzione $w=(z-j2\pik)$ cosa salta fuori
Il limite da risolvere è:
$lim_{z->j2\pik} z/(e^z-1)(z-j2\pik)
prova facendo una sostituzione $w=(z-j2\pik)$ cosa salta fuori
Non riesco a farlo questo limite...mi potresti dare una mano??
Grazie mille
Grazie mille
allora se tu fai la sostituzione detta, il limite diventa:
$lim_{w->0} (w+j2\pik)*w/(e^w-1)=j2\pik*1=j2\pik$
torna?
$lim_{w->0} (w+j2\pik)*w/(e^w-1)=j2\pik*1=j2\pik$
torna?
sisi....tutto torna....Grazie mille...
di nulla, figurati!
Ma si poteva procedere anche così.
Il numeratore ha un unico zero d'ordine uno in [tex]$0$[/tex], mentre il denominatore si annulla in tutti i punti del tipo [tex]$2k\pi \jmath$[/tex], con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex], che sono zeri d'ordine uno (difatti [tex]$(e^z-1)^\prime \big|_{z=2k\pi \jmath} = e^z\big|_{z=2k\pi\jmath} =1\neq 0$[/tex]); conseguentemente la funzione assegnata presenta una singolarità eliminabile in [tex]$0$[/tex] (perchè l'ordine di [tex]$0$[/tex] come zero del denominatore è totalmente compensato dall'ordine di [tex]$0$[/tex] come zero del numeratore) e poli semplici nei punti [tex]$2k\pi \jmath$[/tex] con [tex]$k\neq 0$[/tex] (perchè il loro ordine come zeri del denominatore non è compensato da alcunché, visto che tali punti non annullano il numeratore).
Il numeratore ha un unico zero d'ordine uno in [tex]$0$[/tex], mentre il denominatore si annulla in tutti i punti del tipo [tex]$2k\pi \jmath$[/tex], con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex], che sono zeri d'ordine uno (difatti [tex]$(e^z-1)^\prime \big|_{z=2k\pi \jmath} = e^z\big|_{z=2k\pi\jmath} =1\neq 0$[/tex]); conseguentemente la funzione assegnata presenta una singolarità eliminabile in [tex]$0$[/tex] (perchè l'ordine di [tex]$0$[/tex] come zero del denominatore è totalmente compensato dall'ordine di [tex]$0$[/tex] come zero del numeratore) e poli semplici nei punti [tex]$2k\pi \jmath$[/tex] con [tex]$k\neq 0$[/tex] (perchè il loro ordine come zeri del denominatore non è compensato da alcunché, visto che tali punti non annullano il numeratore).
"gugo82":
Ma si poteva procedere anche così.
... che sono zeri d'ordine uno (difatti [tex]$(e^z-1)^\prime \big|_{z=2k\pi \jmath} = e^z\big|_{z=2k\pi\jmath} =1\neq 0$[/tex]);
giusto!! E' un trucchetto che non mi ricordavo più! Ha ragione gugu82! Metodo molto più sbrigativo!
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