Semplice curiosità
mi chiedevo da un pò di tempo: perchè per studiare la trasformata di Fourier bisogna sapere l'integrale secondo Lebesgue? (in ambito ingegneristico ovviamente). Io personalmente nel corso di teoria dei segnali, almeno fino ad ora, non ne ho trovato utilizzo, anche se ho studiato l'integrale di Lebesgue ad analisi 2.
Risposte
Dipende da quanta teoria vuoi fare...
Ad esempio, già per dimostrare che [tex]$\mathcal{F}[x]$[/tex] è in [tex]$C_0(\mathbb{R})$[/tex] (il cosiddetto lemma di Riemann-Lebesgue) già serve usare le proprietà fondamentali dell'integrale di Lebesgue (infatti quella del lemma è una tipica dimostrazione che si fa per approssimazione).
Ma poi, per trattare decentemente la trasformata di Fourier delle funzioni periodiche, addirittura serve un'infarinatura (quantomeno!) della Teoria delle Distribuzioni, che è comunque fondata sull'integrale di Lebesgue.
Per introdurre l'integrale di Lebesgue, volendo, si può anche fare a meno di introdurre "preventivamente" tutte le machinery di teoria della misura: in proposito consiglio il sintetico ma ottimo articolo di P. Lax, Rethinking the Lebesgue integral, apparso sul "the American Mathematical Monthly" del dicembre 2009.
Ad esempio, già per dimostrare che [tex]$\mathcal{F}[x]$[/tex] è in [tex]$C_0(\mathbb{R})$[/tex] (il cosiddetto lemma di Riemann-Lebesgue) già serve usare le proprietà fondamentali dell'integrale di Lebesgue (infatti quella del lemma è una tipica dimostrazione che si fa per approssimazione).
Ma poi, per trattare decentemente la trasformata di Fourier delle funzioni periodiche, addirittura serve un'infarinatura (quantomeno!) della Teoria delle Distribuzioni, che è comunque fondata sull'integrale di Lebesgue.
Per introdurre l'integrale di Lebesgue, volendo, si può anche fare a meno di introdurre "preventivamente" tutte le machinery di teoria della misura: in proposito consiglio il sintetico ma ottimo articolo di P. Lax, Rethinking the Lebesgue integral, apparso sul "the American Mathematical Monthly" del dicembre 2009.
[OT] Ma è lo stesso Lax del teorema di Lax-Milgram?
grazie mille per la risposta 
in effetti il prof un pò di distribuzioni ce le ha accennate, senza però dirci che il tutto si fonda sull'integrale di Lebesgue (almeno fino ad ora) classico da ingegneri 
in effetti il prof un pò di distribuzioni ce le ha accennate, senza però dirci che il tutto si fonda sull'integrale di Lebesgue (almeno fino ad ora) classico da ingegneri
[OT]
@dissonance:
Sì.
E non è l'unico articolo che Lax ha pubblicato sul Monthly (vedi, ad esempio, la nota breve sul problema isoperimetrico che ho segnalato nel mio articolo sul nostro magazine; ma ce ne sono almeno un altro paio, se non erro...).
E questo la dice lunga su come la rivista dell'associazione degli insegnanti di Matematica americani sia tenuta in altissima considerazione anche dai "grandi tecnici".
Invece qui in Italia le riviste "equipollenti" al Monthly (domanda provocatoria: Ma ce ne sono???) non sono considerate in maniera analoga.
[/OT]
@dissonance:
"dissonance":
[OT] Ma è lo stesso Lax del teorema di Lax-Milgram?
Sì.
E non è l'unico articolo che Lax ha pubblicato sul Monthly (vedi, ad esempio, la nota breve sul problema isoperimetrico che ho segnalato nel mio articolo sul nostro magazine; ma ce ne sono almeno un altro paio, se non erro...).
E questo la dice lunga su come la rivista dell'associazione degli insegnanti di Matematica americani sia tenuta in altissima considerazione anche dai "grandi tecnici".
Invece qui in Italia le riviste "equipollenti" al Monthly (domanda provocatoria: Ma ce ne sono???) non sono considerate in maniera analoga.
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