Segnali passabasso
In un corso di teoria dei segnali mi fu detto che i segnali passabasso variano lentamente nel tempo, senza una spiegazione precisa (immagino valga anche l'opposto: passaalto => variazione veloce). Ora pensandoci mi chiedo: la variazione di un segnale nel tempo dipende dalla sua derivata prima (o no?), mentre le frequenze (in questo caso basse frequenze) dipendono dalla sua trasformata di Fourier... che nesso c'è tra le due cose? Come si può spiegare in maniera rigorosa e puramente matematica questo fatto?
Risposte
Per dare una risposta esaudiente è necessario per prima cosa definire in maniera esatta che cosa si intende per 'funzione passa-basso'. Indicando con $A(omega)$ una generica funzione di trasferimento [complessa], essa si può definire 'ideale' se è...
$A(omega) = 1$ per $omega<=omega_0$ , $=0$ per $omega>omega_0$ (1)
Va da sè che una funzione del genere è 'trasparente' per tutte le frequenze fino a $omega_0$ e 'opaca' per tutte le frequenze sopra $omega_0$. In altre parole tutte le componenti di segnale non superiori a $omega_0$ transitano inalterate e questo vale anche per le derivate del segnale stesso...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$A(omega) = 1$ per $omega<=omega_0$ , $=0$ per $omega>omega_0$ (1)
Va da sè che una funzione del genere è 'trasparente' per tutte le frequenze fino a $omega_0$ e 'opaca' per tutte le frequenze sopra $omega_0$. In altre parole tutte le componenti di segnale non superiori a $omega_0$ transitano inalterate e questo vale anche per le derivate del segnale stesso...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Nel corso di teoria dei segnali non ci hanno mai parlato di "funzione di trasferimento". Per caso con tale termine intendi la trasformata di Fourier della risposta del sistema all'impulso (a noi l'hanno battezzata col nome di "risposta in frequenza")?
Sì, esatto la funzione di trasferimento di un sistema è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva del sistema stesso.
Il modulo della funzione di trasferimento è il rapporto tra le ampiezze del segnale in uscita e quello in entrata.
L'argomento della funzione di trasferimento rappresenta invece la differenza di fase tra segnale in uscita e in entrata.
Il modulo della funzione di trasferimento è il rapporto tra le ampiezze del segnale in uscita e quello in entrata.
L'argomento della funzione di trasferimento rappresenta invece la differenza di fase tra segnale in uscita e in entrata.
Un segnale che varia "lentamente" nel tempo, ad es una sinusoide a bassa frequenza, ha evidentemente uno spettro centrato nell'origine, infatti prevalgono nel segnale le componenti p.b.
Viceversa, un segnale che varia "velocemente" nel tempo, ad es titoli azionari, hanno prevalentemente componenti ad alta frequenza, si vede subito da quei picchi del segnale (-->derivata grande in modulo --> trasformata della derivata di un segnale...)
Viceversa, un segnale che varia "velocemente" nel tempo, ad es titoli azionari, hanno prevalentemente componenti ad alta frequenza, si vede subito da quei picchi del segnale (-->derivata grande in modulo --> trasformata della derivata di un segnale...)
Ringrazio tutti coloro che hanno risposto. Anche se, ad essere sincero, la cosa non mi è chiara. La mia domanda è sostanzialmente questa: perché una funzione che varia lentamente nel tempo ha frequenze basse e una che varia velocemente ha frequenze alte? La cosa è ovvia per segnali sinusoidali, ma in generale per segnali qualsiasi (magari anche segnali ideali come certe distribuzioni) non la trovo affatto ovvia. Insomma come può la variazione di una funzione influenzare il supporto della trasformata di Fourier della funzione stessa?
Più un segnale è ripido, nel senso che varia rapidamente nel tempo, più il suo spettro di frequenza sarà ricco di armoniche e quindi il sistema di trasmissione dovrà essere a banda larga perchè il segnale possa "passare" senza distorsioni .
Pensa a due casi estremi :
* una sinusoide il cui spettro è formato da una sola frequenza e quindi il sistema può essere a banda strettissima : basta che lasci passare quella singola frequenza
* un impulso rettangolare ( il massimo della "ripidità ) : il suo spettro è ricchissimo di armoniche , anzi sono infinite.
Il suo spettro è del tipo $ sinx/x $ dove in ascisse hai le frequenze e in ordinate le ampiezze delle singole componenti in frequenza e si estende appunto fino all' $oo$ ; per fortuna le ampiezze sono via via decrescenti per cui è possibile ( nella pratica ) far passare questo segnale attraverso sistemi di trasmissione con distorsione accettabile purchè abbiano una banda passante opportunamente larga .
Il segnale impulso rettangolare "ideale" ha bisogno di un sistema con larghezza di banda infinita per passare senza distorsione.
Se devi trasmettere un segnale a 56kbit/s avrai bisogna di una certa banda nei sistemi di trasmissione ; ma se trasmetti un sistema a 2Mbit/s avrai bisogno di una banda ben più larga ( la cosidetta banda larga appunto) .
Pensa a due casi estremi :
* una sinusoide il cui spettro è formato da una sola frequenza e quindi il sistema può essere a banda strettissima : basta che lasci passare quella singola frequenza
* un impulso rettangolare ( il massimo della "ripidità ) : il suo spettro è ricchissimo di armoniche , anzi sono infinite.
Il suo spettro è del tipo $ sinx/x $ dove in ascisse hai le frequenze e in ordinate le ampiezze delle singole componenti in frequenza e si estende appunto fino all' $oo$ ; per fortuna le ampiezze sono via via decrescenti per cui è possibile ( nella pratica ) far passare questo segnale attraverso sistemi di trasmissione con distorsione accettabile purchè abbiano una banda passante opportunamente larga .
Il segnale impulso rettangolare "ideale" ha bisogno di un sistema con larghezza di banda infinita per passare senza distorsione.
Se devi trasmettere un segnale a 56kbit/s avrai bisogna di una certa banda nei sistemi di trasmissione ; ma se trasmetti un sistema a 2Mbit/s avrai bisogno di una banda ben più larga ( la cosidetta banda larga appunto) .
"Camillo":
Più un segnale è ripido, nel senso che varia rapidamente nel tempo, più il suo spettro di frequenza sarà ricco di armoniche
Perché? Puoi fornirmi la dimostrazione matematica per favore?
Più che una dimostrazione ti porto una giustificazione: prendi un segnale a bassa frequenza, ad es un tono sinusoidale $x(t)=sint$; ora cerchiamo di renderlo più "ripido", ovvero trasliamo il suo spettro a frequenza più alta tramite modulazione:
$y(t)=x(t)*sin(1000t)$. Quest'ultimo segnale, se provi a tracciarlo è molto più ripido del primo, tant'è che il primo è l'inviluppo di $y(t)$; il segnale ora compie 1001 cicli al secondo al posto di 1 ciclo, e poichè la scala temporale non è cambiata, $y(t)$ è per forza di cose più ripido di $x(t)$.
Lo stesso discorso si può estendere a qualsiasi segnale sviluppabile in serie trigonometrica o comunque trasformabile.
$y(t)=x(t)*sin(1000t)$. Quest'ultimo segnale, se provi a tracciarlo è molto più ripido del primo, tant'è che il primo è l'inviluppo di $y(t)$; il segnale ora compie 1001 cicli al secondo al posto di 1 ciclo, e poichè la scala temporale non è cambiata, $y(t)$ è per forza di cose più ripido di $x(t)$.
Lo stesso discorso si può estendere a qualsiasi segnale sviluppabile in serie trigonometrica o comunque trasformabile.
Considera un impulso triangolare, un segnale funzione del tempo descritto analiticamente così :
$s(t) = A(1-t/(delta/2)) $; per $ 0<=t
$=A(1+t/(delta/2)) $ per $ -delta/2 < t <= 0 $
$ =0 $ altrove
E' un impulso triangolare centrato sull'origine , simmetrico , che inizia a $ -delta/2 $ e termina a $delta/2 $ di valore massimo = A; l'area dell'impulso è : $ Q = A*delta/2$
La sua trasformata di Fouirier , cioè il suo spettro di frequenza è dato da :$ S(f) = [sin(pi*f*delta/2)/(pi*f*delta/2)]^2 $.
Ora se riduco il valore di $ delta $ rendo l'impulso triangolare più stretto e quindi più ripido .
Non è difficile vedere ( graficamente ) l'effetto sullo spettro che si alza e si allarga il che vuol dire che lo spettro si estende in frequenza e le singole armoniche assumono valori maggiori .
Uno studio di funzione applicato alla funzione trasformata ti darà conferma di quanto detto.
Non dubito che ci possano essere altri metodi per dimostrare quanto da te richiesto, ma questo è quello che mi è venuto in mente più facilmente.
Per avere una visione fisica oltre che matematica dell'argomento ti consiglio di andare a vedere qui :
http://www.ciram.unibo.it/~barozzi/MI2/ ... pl.3.1.pdf
$s(t) = A(1-t/(delta/2)) $; per $ 0<=t
$=A(1+t/(delta/2)) $ per $ -delta/2 < t <= 0 $
$ =0 $ altrove
E' un impulso triangolare centrato sull'origine , simmetrico , che inizia a $ -delta/2 $ e termina a $delta/2 $ di valore massimo = A; l'area dell'impulso è : $ Q = A*delta/2$
La sua trasformata di Fouirier , cioè il suo spettro di frequenza è dato da :$ S(f) = [sin(pi*f*delta/2)/(pi*f*delta/2)]^2 $.
Ora se riduco il valore di $ delta $ rendo l'impulso triangolare più stretto e quindi più ripido .
Non è difficile vedere ( graficamente ) l'effetto sullo spettro che si alza e si allarga il che vuol dire che lo spettro si estende in frequenza e le singole armoniche assumono valori maggiori .
Uno studio di funzione applicato alla funzione trasformata ti darà conferma di quanto detto.
Non dubito che ci possano essere altri metodi per dimostrare quanto da te richiesto, ma questo è quello che mi è venuto in mente più facilmente.
Per avere una visione fisica oltre che matematica dell'argomento ti consiglio di andare a vedere qui :
http://www.ciram.unibo.it/~barozzi/MI2/ ... pl.3.1.pdf
Vedo ora il post di Luca : ottimo e molto intuitivo purchè ti sia chiaro che cosa vuol dire modulare un segnale e come si ottiene lo spettro del segnale modulato.
Sì, un'idea della modulazione la tengo, poiché l'ultima lezione del corso che sto seguendo ora verteva proprio su di essa. Un'idea fisica della questione a dire il vero già ce l'avevo, l'esame di teoria dei segnali l'ho già dato l'anno scorso... adesso ne sto studiando uno che rappresenta per così dire il seguito. Ricordo bene la tabella delle trasformate notevoli: la trasformata della rect (quella che Camillo chiama impulso rettangolare) è una sinc ($sint/t$). Ciò che mi manca è la dimostrazione matematica rigorosa... Vabbè pazienza, grazie lo stesso a tutti. Qualora qualcuno la riuscisse a trovare in futuro, gradirei se me la mostrasse 
Una domanda per Luca.barletta: come fai a dire che $sint$ è l'inviluppo di $sint * sin1000t$? Senza tracciare il grafico ovviamente
Voglio dire, in generale quando ha senso parlare di inviluppo di un segnale e come si trova tale inviluppo?
Una domanda per Luca.barletta: come fai a dire che $sint$ è l'inviluppo di $sint * sin1000t$? Senza tracciare il grafico ovviamente
Voglio dire, in generale quando ha senso parlare di inviluppo di un segnale e come si trova tale inviluppo?
"Kroldar":
Una domanda per Luca.barletta: come fai a dire che $sint$ è l'inviluppo di $sint * sin1000t$? Senza tracciare il grafico ovviamente
Voglio dire, in generale quando ha senso parlare di inviluppo di un segnale e come si trova tale inviluppo?
Quando un segnale $x(t)$ viene modulato in ampiezza tramite una portante sinusoidale $y(t)$, ovvero $z(t)=x(t)*y(t)$, ebbene $x(t)$ è sempre l'inviluppo di $z(t)$; infatti lo spettro $Z(f)$ non è altro che $X(f)$ a meno di una traslazione in frequenza.
In generale, parlando di segnali in campo complesso, l'inviluppo complesso $x(t)$ di un segnale $z(t)$, detto anche equivalente passa-basso, si ottiene dalla seguente:
$z(t)=Re[x(t)*e^(j2pift)]$
Il passaggio inverso lo lascio a te visto che hai studiato teoria dei segnali
l'inviluppo complesso è detto anche equivalente passabasso?
come passaggio inverso intendi questo: $x(t)=z(t)e^(-j2pift)$?
in ogni caso a teoria dei segnali non abbiamo trattato inviluppo, modulazione e significato di alte e basse frequenze... ci siamo concentrati molto sui sistemi LTI e sulla probabilità
come passaggio inverso intendi questo: $x(t)=z(t)e^(-j2pift)$?
in ogni caso a teoria dei segnali non abbiamo trattato inviluppo, modulazione e significato di alte e basse frequenze... ci siamo concentrati molto sui sistemi LTI e sulla probabilità
Esatto, ma ci vorrebbe anche un filtraggio passa basso; equivalente passa basso e inviluppo complesso sono sinonimi nella teoria dei segnali.
Ok luca.barletta, grazie dei chiarimenti e grazie anche a camillo e lupo grigio. Abbiamo creato su matematicamente il dipartimento di telecomuncazioni 
bhè, mi sembra un dipartimento ben nutrito 
Complimenti a tutti per lo straordinario spirito di semplicità dimostrato in questi topic. Gli ingegneri vadano sempre fieri di tale spirito: è una loro esclusiva, che li rendono uomini di cultura vasta e profonda, semplice e diretta, chiara ed inequivocabile.
Vi propongo una risposta ancora più veloce:
frequenza e tempo sono inversamente proporzionali, quindi segnale più veloce implica meno tempo, dunque più frequenza.
Ora provo a formalizzare matematicamente quanto detto da Kroldar.
Dai vostri discorsi emerge che intendete per ripidità del segnale il massimo valore assoluto della derivata.
Il valore assoluto dell'integrale non supera l'integrale del valore assoluto, quindi, ricordando che F(dx/dt)=j2*pi*f*X(f), calcolo la derivata come antitrasformata del suo spettro e ne calcolo il valore assoluto:
abs(dx/dt)=abs(int(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)*df)<=int(abs(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft))*df)=2*pi*int(abs(f*X(f))*df)
quindi abs(dx/dt)<=2*pi*int(abs(f*X(f))*df) intendendo gli integrali calcolati su tutto l'asse dei tempi.
Introduco la funzione I(W)=2*pi*int(-W,W)(abs(f*X(f))*df).
Allora ottengo:
abs(dx/dt)<=I(W) (1)
se X(f)=0 per abs(f)>=W, ossia se la banda del segnale x(t) è W.
La funzione I(W) è crescente perché la funzione integranda è non negativa.
Dunque, la (1) ci dice che diminuendo la banda, la massima rapidità che il segnale PUO' assumere (non è detto che la assuma!) diminuisce.
Interpretazione elettronica, lo slew rate: per evitare distorsioni, la variazione del segnale in ingresso non deve essere più veloce della scarica dei condensatori. Non a caso la costante tempo di un circuito RC è il reciproco della pulsazione di taglio.
Vi propongo una risposta ancora più veloce:
frequenza e tempo sono inversamente proporzionali, quindi segnale più veloce implica meno tempo, dunque più frequenza.
Ora provo a formalizzare matematicamente quanto detto da Kroldar.
Dai vostri discorsi emerge che intendete per ripidità del segnale il massimo valore assoluto della derivata.
Il valore assoluto dell'integrale non supera l'integrale del valore assoluto, quindi, ricordando che F(dx/dt)=j2*pi*f*X(f), calcolo la derivata come antitrasformata del suo spettro e ne calcolo il valore assoluto:
abs(dx/dt)=abs(int(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)*df)<=int(abs(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft))*df)=2*pi*int(abs(f*X(f))*df)
quindi abs(dx/dt)<=2*pi*int(abs(f*X(f))*df) intendendo gli integrali calcolati su tutto l'asse dei tempi.
Introduco la funzione I(W)=2*pi*int(-W,W)(abs(f*X(f))*df).
Allora ottengo:
abs(dx/dt)<=I(W) (1)
se X(f)=0 per abs(f)>=W, ossia se la banda del segnale x(t) è W.
La funzione I(W) è crescente perché la funzione integranda è non negativa.
Dunque, la (1) ci dice che diminuendo la banda, la massima rapidità che il segnale PUO' assumere (non è detto che la assuma!) diminuisce.
Interpretazione elettronica, lo slew rate: per evitare distorsioni, la variazione del segnale in ingresso non deve essere più veloce della scarica dei condensatori. Non a caso la costante tempo di un circuito RC è il reciproco della pulsazione di taglio.
Mysterium ti ringrazio per la spiegazione, la trovo molto chiara e precisa.
Grazie a te, kroldar, per l'apprezzamento; ti preciso che quanto detto vale, ovviamente, solo per segnali reali (come sai benissimo, in tal caso, lo spettro di ampiezza è pari, quello di fase è dispari, dunque posso limitarmi a considerare solo le frequenze positive).
Nota che la relazione
abs(dx/dt)<=2*pi*int(abs(f*X(f))*df)
ci dice, grazie al prodotto f*X(f), che le armoniche ad alta frequenza hanno un peso maggiore nel contributo all'integrale che determina la massima pendenza, in valore assoluto, del segnale.
Intuitivamente, avremmo dovuto aspettarci che la MASSIMA velocità del segnale fosse determinata prevalentemente dalle alte frequenze, cioè quelle a MASSIMA velocità.
Più precisamente, ricordiamo da Analisi I che l'integrale improprio suesposto converge se e solo se il modulo della funzione integranda è un infinitesimo, per f che va a infinito, di ordine superiore a 1/f, cioè se lim f^2*X(f)=0 per f che va ad inf, cioè se lo spettro è infinitesimo di ordine superiore a 1/f^2, ordine molto molto alto.
Nota che la relazione
abs(dx/dt)<=2*pi*int(abs(f*X(f))*df)
ci dice, grazie al prodotto f*X(f), che le armoniche ad alta frequenza hanno un peso maggiore nel contributo all'integrale che determina la massima pendenza, in valore assoluto, del segnale.
Intuitivamente, avremmo dovuto aspettarci che la MASSIMA velocità del segnale fosse determinata prevalentemente dalle alte frequenze, cioè quelle a MASSIMA velocità.
Più precisamente, ricordiamo da Analisi I che l'integrale improprio suesposto converge se e solo se il modulo della funzione integranda è un infinitesimo, per f che va a infinito, di ordine superiore a 1/f, cioè se lim f^2*X(f)=0 per f che va ad inf, cioè se lo spettro è infinitesimo di ordine superiore a 1/f^2, ordine molto molto alto.
Dimenticavo un esempio notevole: l'impulso rettangolare, a velocità di commutazione infinita, ha come spettro un sinc, che va a zero a frequenze infinite, ma non abbastanza velocemente da rendere inutile il "privilegio" delle alte frequenze.
Conseguenze ingegneristiche: qualsiasi commutazione in tempo nullo, così desiderabile per implementare i segnali digitali, in particolare i clock, è fisicamente irrealizzabile.
Una soluzione semplice ed immedata sarebbe quella di minimizzare le capacità dei condensatori all'interno del generatore di impulsi, purtroppo indispensabili per disaccoppiare le componenti continue date dalle alimentazioni e/o bypassare le resistenze di polarizzazione, in modo da ottenere costanti tempo più basse possibili, dunque velocità di commutazione molto elevate. Infatti il reciproco della costante tempo di un circuito RC ci dà la pulsazione di taglio: se essa è molto alta, la risposta impulsiva contiene armoniche a frequenza molto alta, che, come abbiamo appena osservato, contribuisono in primis ad alzare la velocità di commutazione, rendendola abbastanza elevata da soddisfare le nostre specifiche progettuali.
Potremmo anche modulare una sinusoide in modo da spostarne lo spettro alle alte frequenze, come ci suggerisce luca.barletta, ma per controllare la durata del clock occorre considerare come fronti di salita o discesa solo quelli relativi a picchi del segnale di ampiezze opportunamente prefissate (ci vorrebbe un bel disegnino...).
Scegliere tali fronti, però, ha evidentemente un costo computazionale o circuitale notevolmente elevato, che allungherebbe i tempi di elaborazione molto di più del buon vecchio trigger di Schmitt.
Telecomunicazionista anche tu? Raccolgo il tuo fantastico invito: sto per aprire il DIPARTIMENTO DI TELECOMUNICAZIONI in un topic nella sezione "Università"... accorrete numerosi!!!
C I A O
Conseguenze ingegneristiche: qualsiasi commutazione in tempo nullo, così desiderabile per implementare i segnali digitali, in particolare i clock, è fisicamente irrealizzabile.
Una soluzione semplice ed immedata sarebbe quella di minimizzare le capacità dei condensatori all'interno del generatore di impulsi, purtroppo indispensabili per disaccoppiare le componenti continue date dalle alimentazioni e/o bypassare le resistenze di polarizzazione, in modo da ottenere costanti tempo più basse possibili, dunque velocità di commutazione molto elevate. Infatti il reciproco della costante tempo di un circuito RC ci dà la pulsazione di taglio: se essa è molto alta, la risposta impulsiva contiene armoniche a frequenza molto alta, che, come abbiamo appena osservato, contribuisono in primis ad alzare la velocità di commutazione, rendendola abbastanza elevata da soddisfare le nostre specifiche progettuali.
Potremmo anche modulare una sinusoide in modo da spostarne lo spettro alle alte frequenze, come ci suggerisce luca.barletta, ma per controllare la durata del clock occorre considerare come fronti di salita o discesa solo quelli relativi a picchi del segnale di ampiezze opportunamente prefissate (ci vorrebbe un bel disegnino...).
Scegliere tali fronti, però, ha evidentemente un costo computazionale o circuitale notevolmente elevato, che allungherebbe i tempi di elaborazione molto di più del buon vecchio trigger di Schmitt.
Telecomunicazionista anche tu? Raccolgo il tuo fantastico invito: sto per aprire il DIPARTIMENTO DI TELECOMUNICAZIONI in un topic nella sezione "Università"... accorrete numerosi!!!
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