Segnali passabasso
In un corso di teoria dei segnali mi fu detto che i segnali passabasso variano lentamente nel tempo, senza una spiegazione precisa (immagino valga anche l'opposto: passaalto => variazione veloce). Ora pensandoci mi chiedo: la variazione di un segnale nel tempo dipende dalla sua derivata prima (o no?), mentre le frequenze (in questo caso basse frequenze) dipendono dalla sua trasformata di Fourier... che nesso c'è tra le due cose? Come si può spiegare in maniera rigorosa e puramente matematica questo fatto?
Risposte
"mysterium":
Più precisamente, ricordiamo da Analisi I che l'integrale improprio suesposto converge se e solo se il modulo della funzione integranda è un infinitesimo, per f che va a infinito, di ordine superiore a 1/f, cioè se lim f^2*X(f)=0 per f che va ad inf, cioè se lo spettro è infinitesimo di ordine superiore a 1/f^2, ordine molto molto alto.
Già, quindi o si prende un segnale a banda rigorosamente limitata oppure un segnale la cui banda è infinitesima all'infinito di ordine superiore a $2$... se non erro la finestra triangolare dovrebbe essere infinitesima di ordine $2$ e difatti la funzione $((sinf)^2)/f$ non è sommabile!
Sull'ultimo post dico onestamente che ci ho capito molto poco... quasi niente. In ogni caso non sono telecomunicazionista, ma studio nel ramo dell'ingegneria informatica (che è sì una stretta parente di ingegneria delle telecomunicazioni) però il primo esame del gruppo di telecomunicazioni che ho fatto, ovvero teoria dei segnali, mi è molto piaciuto e credo che farò di buon grado anche i successivi.
Non esitono in natura segnali a tempo di commutazione nullo, dunque tutti gli spettri di ampiezza possibili in natura sono infinitesimi di ordine superiore a 1/f^2, ordine piuttosto alto.
Dunque negli spettri di ampiezza "naturali" il passaggio dalla banda passante a quella oscura è molto brusco, data la rapidissima convergenza a zero.
Mentre in tempo sarebbe ideale una drastica discesa de segnale, che purtroppo non si può ottenere, in frequenza sarebbe fantastica una lentissima, dolcissima planata verso lo zero, anche questa impossibile per comuni mortali...
L'ingegnere ha piedi inchiodati per terra, e può permettersi di continuare a sognare, mentre Platone ci dice di non aver mai conosciuto un matematico che sapesse ragionare, come ci ricorda un nostro amico del forum, e non può permettersi di sognare.
... ora vi lascio sul serio... 'notte...
Dunque negli spettri di ampiezza "naturali" il passaggio dalla banda passante a quella oscura è molto brusco, data la rapidissima convergenza a zero.
Mentre in tempo sarebbe ideale una drastica discesa de segnale, che purtroppo non si può ottenere, in frequenza sarebbe fantastica una lentissima, dolcissima planata verso lo zero, anche questa impossibile per comuni mortali...
L'ingegnere ha piedi inchiodati per terra, e può permettersi di continuare a sognare, mentre Platone ci dice di non aver mai conosciuto un matematico che sapesse ragionare, come ci ricorda un nostro amico del forum, e non può permettersi di sognare.
... ora vi lascio sul serio... 'notte...
okkio, kroldar! 
i vertici del triangolo sono punti di non derivabilità, non a derivata infinita!
cmq possiamo intendere tali punti come "salti" di pendenza, dalla derivata sinistra alla derivata destra e, comunque, nessun punto ha derivata infinita, neanche solo destra o sinistra, come puoi osservare facilmente osservare dal grafico.
Dirai: ma l'integrale di f^2*sinc^2(f)=sin^2(f) diverge!
Certo, ma la disuguaglianza che ti ho proposto ti dà un qualsiasi MAGGIORANTE delle pendenze, non è detto che sia un MASSIMO, cioè il segno di uguaglianza potrebbe non essere verificato, come in questo caso.
In altri termini, la divergenza dell'integrale è condizione NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE perchè il segnale ammetta punti a pendenza infinita.
A questo punto, ci sorge spontaneo chiederci, fissato un istante t, sotto quali condizioni il segno di uguaglianza è verificato.
Ricordiamo che il modulo dell'integrale è uguale all'integrale del modulo se e solo se la funzione integranda è reale non negativa:
abs(dx/dt)=abs(int(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)*df)=int(abs(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft))*df)=int(abs(2*pi*f*X(f))*df)
se e solo se (j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)) è reale non negativa per ogni f, cioè se la fasedi tale quantità è identicamente nulla o multipla intera di 2pi; ricordando che la fase del prodotto è la somma delle fasi:
pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f positiva
-pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f negativa
arbitraria per f nulla
e con k intero qualunque, cioè se lo spettro di fase del segnale è, a meno di multipli interi di 2pi:
arg(X(f))=-2pi*ft-pi/2 per f positivo, -2pi*ft +pi/2 per f positivo, arbitrario per f nulla.
E'evidente che la maggiorazione ci dà la massima pendenza RAGGIUNTA dal segnale se e solo se lo spettro di fase è del tipo suesposto; tale pendenza è raggiunta proprio all'istante t che rappresenta la pendenza dello spettro, composto da due semirette.
i vertici del triangolo sono punti di non derivabilità, non a derivata infinita!
cmq possiamo intendere tali punti come "salti" di pendenza, dalla derivata sinistra alla derivata destra e, comunque, nessun punto ha derivata infinita, neanche solo destra o sinistra, come puoi osservare facilmente osservare dal grafico.
Dirai: ma l'integrale di f^2*sinc^2(f)=sin^2(f) diverge!
Certo, ma la disuguaglianza che ti ho proposto ti dà un qualsiasi MAGGIORANTE delle pendenze, non è detto che sia un MASSIMO, cioè il segno di uguaglianza potrebbe non essere verificato, come in questo caso.
In altri termini, la divergenza dell'integrale è condizione NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE perchè il segnale ammetta punti a pendenza infinita.
A questo punto, ci sorge spontaneo chiederci, fissato un istante t, sotto quali condizioni il segno di uguaglianza è verificato.
Ricordiamo che il modulo dell'integrale è uguale all'integrale del modulo se e solo se la funzione integranda è reale non negativa:
abs(dx/dt)=abs(int(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)*df)=int(abs(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft))*df)=int(abs(2*pi*f*X(f))*df)
se e solo se (j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)) è reale non negativa per ogni f, cioè se la fasedi tale quantità è identicamente nulla o multipla intera di 2pi; ricordando che la fase del prodotto è la somma delle fasi:
pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f positiva
-pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f negativa
arbitraria per f nulla
e con k intero qualunque, cioè se lo spettro di fase del segnale è, a meno di multipli interi di 2pi:
arg(X(f))=-2pi*ft-pi/2 per f positivo, -2pi*ft +pi/2 per f positivo, arbitrario per f nulla.
E'evidente che la maggiorazione ci dà la massima pendenza RAGGIUNTA dal segnale se e solo se lo spettro di fase è del tipo suesposto; tale pendenza è raggiunta proprio all'istante t che rappresenta la pendenza dello spettro, composto da due semirette.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo