[segnali] BIBO stabilità

[enr87]

non capisco perchè per vedere se un segnale in uscita y(t) sia stabile si ricorra alla convergenza dell'integrale del modulo della risposta impulsiva del sistema, ossia deve risultare $ \int |h(t)| dt < \infty $ (il che deriva da una forma generalizzata della classica disuguaglianza triangolare)

il fatto è che la convergenza di tale integrale implica la convergenza di |y(t)|, ma l'implicazione contraria non vale, dunque non dovrebbe essere un criterio per decretare la NON stabilità di un sistema, cosa che invece si è soliti fare (o almeno così mi sembra).
cosa sbaglio?

[K.Lomax]

Dal momento che essa è una condizione necessaria (e, tra l'altro, anche sufficiente), può essere utilizzata anche per stabilire la non stabilità del sistema.

[enr87]

che sia una condizione sufficiente l'ho capito (implicazione dimostrata con la disuguaglianza triangolare). perchè sia necessaria (implicazione contraria), no..
è noto dai criteri di convergenza degli integrali che $ \int |h(t)| dt < \infty => | \int h(t) dt | < \infty $, basta pensare ad esempio alla funzione seno.. vorrei capire se l'implicazione contraria vale per i segnali che si studiano in genere nel corso e quindi di utilità in campo ingegneristico, oppure se c'è qualche altro modo per chiarire la questione

[K.Lomax]

Per dimostrare che quella è anche una condizione necessaria, possiamo dimostrare che se

$\int|h(t)|dt->\infty$

esiste un segnale di ingresso $x(t)$ limitato tale da rendere l'uscita $y(t)$ illimitata. Considera, quindi, il seguente segnale:

$x(t)= (h*(-t))/|h(-t)|$ per $h(t)!=0$

$0$ diversamente (con $h*$ indico la risposta coniugata). Il segnale di ingresso dunque è sempre limitato (in particolare inferiore a 1). Calcoliamo $y(0)$:

$y(0)=\intx(-t)h(t)dt=\int|h(t)|^2/|h(t)|dt=\int|h(t)|dt->\infty$

Quindi, in presenza di un ingresso limitato, se non vale la suddetta condizione sulla risposta impulsiva, il sistema non è stabile. Questo vale per qualsiasi segnale di ingresso (purchè limitato).

[enr87]

sì, avevo visto questo esempio sul mio libro (in realtà il caso era discreto e h non era coniugato, ma sostanzialmente non cambia). ma questo è solo un caso specifico che non mi pare sufficiente a dimostrare il fatto che sia necessaria, tant'è che potrei trovare almeno un caso in cui faccio vedere che non lo è: se prendi come risposta impulsiva sin(t), allora l'integrale del suo modulo va a infinito, ma il modulo dell'integrale è limitato. in questo modo ho fatto vedere che nonostante $\int |h(t)|$ sia infinito, $| \int h(t) | $ è finito, quindi ad un ingresso limitato corrisponde un'uscita limitata.
non so se il mio esempio calzi perfettamente, nel senso che l'integrale non sarebbe definito ma sicuramente è limitato.
il problema di fondo è che non capisco se sbaglio a pensare che la dimostrazione debba essere relativa al caso generale o si possa restringere a trovare un controesempio, perchè dall'analisi sappiamo che se $ \int |h(t)| = \infty $, nulla possiamo dire riguardo a $ |\int h(t) | $ (di certo sappiamo solo che se il primo converge, il secondo ha il medesimo carattere), ovvero per studiare la convergenza di quest'ultimo dovremmo ricorrere ad altri metodi.
ti ringrazio per le risposte che mi hai dato finora ma vorrei risolvere questo problema, quindi scusa per l'insistenza

edit
provo a riformulare la domanda in maniera più semplice:
quello che non mi torna è il fatto che la condizione sia necessaria (perchè di fatto non lo è sempre, ma solo in alcuni casi). pertanto come risultato finale dovrei avere:
1) $ \int |h(t)| < \infty => | \int h(t) | $
2) $ | \int h(t) | < \infty => \int |h(t)| $

ma la 2) può essere smentita facilmente. si prenda ad esempio la funzione h(t) = 1 se t > 0, -1 altrimenti..

[K.Lomax]

Innanzitutto ti ricordo che $\int_(-\infty)^(\infty)sintdt$ non esiste, in quanto non esiste il limite della funzione integranda per $t->\+-\infty$. I
Sono d'accordo con te sul fatto che

$|\inth(t)|dt<\infty$ non implica $\int|h(t)|dt<\infty$

Per dimostrare la condizione sufficiente, credo che tu abbia un procedimento del tipo:

$|y(0)|=|\intx(-t)h(t)dt|<=\int|x(-t)||h(t)|dt<=M\int|h(t)|dt$

dove il primo passaggio deriva dalla diseguaglianza triangolare mentre il secondo passaggio si ha nelle ipotesi di ingresso limitato $x(t)

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[enr87]

non capisco.. la condizione necessaria non è vera sempre: giustamente sen(t) non è integrabile a infinito (come avevo scritto), ma il suo integrale è comunque limitato (nel senso che non diverge... che poi non possiamo determinarlo è un altro discorso). anche escludendo tale caso, in seguito alla modifica avevo riportato un altro esempio di h(t), in cui smentivo il punto 2).

per condizione necessaria e sufficiente io intendo la doppia implicazione $ \int |h(t)| < \infty <=> | \int h(t)| < \infty $, quindi se sei d'accordo con me significa pure che per la stabilità BIBO non è necessario avere l'integrale del modulo di h(t) limitato. oppure sbaglio a intendere la condizione necessaria..?

[K.Lomax]

Ma quella condizione è necessaria e sufficiente per la stabilità ovvero

$|y(t)|<\infty<=>\int|h(t)|dt<\infty$ (a)

non centra nulla $|\inth(t)dt|$.
Tento di riassumere. Puoi avere un sistema la cui risposta impulsiva rispetti questa condizione $\int|h(t)|dt<\infty$ (quindi vale già la (a), ovvero il sistema è stabile) ed inoltre sei sicuro anche che $|\inth(t)dt|<\infty$ perchè $|\inth(t)dt|<\int|h(t)|dt$. Potresti avere una risposta impulsiva che, invece, rispetta la seguente condizione $|\inth(t)dt|<\infty$; dato che però la condizione di stabilità è $\int|h(t)|dt<\infty$ (quella che deve essere valida per poter definire questo sistema stabile) ma $|\inth(t)dt|<\infty$ non implica $\int|h(t)|dt<\infty$ non puoi asserire che questo sistema è stabile. Quindi, devi sempre considerare la condizione $\int|h(t)|dt<\infty$

[enr87]

scusa ma allora la prendi come definizione.. ma perchè è definito stabile se e solo se $ \int|h(t)| $ è limitato? ..la dimostrazione per cui questa condizione è sufficiente c'è (e l'hai circa esposta tu prima). ma se devo accettare per definizione che sia pure necessaria, la cosa non mi torna.

ti dimostro che (a) è in generale falsa (mi è sufficiente trovare un controesempio):

la stabilità BIBO mi dice per definizione che a un ingresso limitato corrisponde un'uscita limitata.

prendi h(t) = 1 se t > 0, -1 altrimenti.

allora $ |y(t)| = | \int x(t- \tau) h( \tau) | $ e ponendo $ x(t) = k $ (costante positiva) ottengo $ |y(t)| = k| \int h( \tau)| $ che va ovviamente a 0.
se dovessi guardare la condizione che hai scritto tu per la stabilità, ovvero la (a), dovrei dedurre che il sistema non è stabile perchè $ \int |h(t)|$ va a infinito, quando in realtà il sistema è stabile

[K.Lomax]

Il problema del tuo ragionamento è sbagliato in partenza in quanto la funzione $h(t)=sgn(t)$ non è integrabile. Infatti, è possibile dimostrare che:

$\int_(1)^(+\infty)1/t^(\alpha)dt=1/(\alpha-1)$ se $\alpha>1$
$=\+infty$ se $\alpha<=1$

Nel nostro caso $\alpha=1$ e dato che $\int_(0)^(+\infty)1dt>\int_(1)^(+\infty)1dt$ (essendo l'integrando positivo), l'integrale diverge.
Analogamente, si può dimostrare per $t<0$.

[enr87]

non seguo il tuo ragionamento..
la funzione sgn ha integrale
$ \int_{0}^{+\infty} 1 dt - \int_{-\infty}^{0} 1dt $

il modulo del primo addendo, per t che va a infinito, è t. il modulo del secondo è sempre t. i due addendi differiscono solo per il segno, pertanto l'integrale totale va a 0. per cui $ |\int h(t) | = 0 $, mentre $ \int |h(t)|$ va a infinito.
ho visto che non hai messo la parte da -inf a 0, ma non ho mai detto che il sistema sia causale, sebbene il caso reale sia quello

quindi riassumendo non trovo errori nel mio esempio, ma anche se ce ne fossero io vorrei una dimostrazione rigorosa della doppia implicazione

[K.Lomax]

Per capire perchè diverge ti consiglio di vedere meglio i teoremi sugli integrali impropri. Ho trovato questa interessante dispensa http://www.smfn.unisi.it/smfn_lauree/matdid/1256.pdf

Mi è venuto un modo veloce per verificarlo. Dalla definizione di trasformata di Fourier

$X(f)=\int_(-\infty)^(\infty)x(t)e^(-j2\pift)dt$

si ha

$X(0)=\int_(-\infty)^(\infty)x(t)dt$

Quindi, la trasformata per $f=0$ corrisponde all'area sottesa dalla curva nell'altro dominio (l'integrale che a noi interessa calcolare). Dalle trasformate notevoli, si ha:

$F{sgn(t)}(f)=1/(j\pif)$

Di conseguenza

$F{sgn(t)}(0)=lim_(f->0)1/(j\pif)=\infty$

L'integrale è dunque indefinito. Se hai problemi nel capire perchè quella particolare funzione ti dimostra la condizione necessaria di stabilità, prova a cercare, su altri testi o magari in internet, una dimostrazione alternativa. A parte queste disserzioni matematiche, le rispuste impulsive da te proposte sono tutte NON lineari

[enr87]

1)
$ \int_{0}^{+\infty} 1 dt - \int_{-\infty}^{0} 1dt =
$ \lim_{w \to + \infty} \( \int_{0}^{+w} 1 dt - \int_{-w}^{0} 1dt \) =
$ \lim_{w \to + \infty} (w - 0) - (0-(-w)) = 0

quindi l'integrale converge a 0. quindi anche il modulo dell'integrale converge a 0 (a differenza dell'integrale del modulo, che invece diverge).

2)
sul mio libro (e non solo) sono riportati innumerevoli esempi di sistemi LTI che hanno come risposta impulsiva degli esponenziali del tipo e^(-t)u(t). ora, che io sappia, nemmeno queste sono funzioni lineari, quindi non vedo dove sia il problema

3)
ho capito l'esempio che mi hai riportato prima, ma ho cercato di spiegarti che non mi sembra sufficiente a garantire che quella condizione sia necessaria. voglio dire, è sufficiente lo studio di un caso singolo specifico per far vedere che è una condizione necessaria? è questo che non mi convince: se vale sempre, allora ci dovrà pur essere un modo per dimostrarlo in generale, come per la condizione sufficiente.
ho provato a cercare altrove e le conclusioni che tiro sono le stesse, motivo per cui ho interpellato questo forum.
grazie per la pazienza

[K.Lomax]

Il motivo per il quale sul tuo libro vengono posti esempi di risposte non lineari, immagino sia dovuto al fatto che per alcune proprietà non è richiesta la linearità. La dimostrazione vista è valida solo per sistemi lineari.
La condizione necessaria è stata dimostrata prendendo come ingresso uno specifico segnale(limitato), ma per qualsiasi risposta impulsiva(lineare). Questo implica che uma qualsiasi condizione differente da $\int|h(t)|dt<\infty$ non renderebbe l'uscita limitata (nonostante l'ingresso sia limitato). Questo è il motivo per cui ti basta questo esempio pee definirla condizione necessaria.

[enr87]

non ci sono.. senti, proverò a chiedere anche al mio insegnante per colmare le lacune perchè mi rendo conto che forse sto forzando la tua disponibilità.
da quello che ho capito io, perchè un sistema sia LTI non è la risposta impulsiva a dover essere una funzione lineare (e tempo invariante), ma l'applicazione L tale che L[d(t)] = h(t), dove d=delta di dirac: h(t) è semplicemente l'immagine della delta. questo significa che, ad esempio, se volessi trovare L[a*d(t)] (*=prodotto), questa sarebbe a*h(t), appunto per la linearità di L.
sempre da quello che ho capito, se un sistema è LTI possiamo calcolare le uscite con la convoluzione, ma tale convoluzione si calcola indipendentemente dal tipo di risposta impulsiva.
altrimenti non si giustificherebbe come mai, tra gli esempi di sistemi lineari e tempo invarianti, riportano sistemi (lineari-tempo invarianti) caratterizzati da risposta impulsiva in forma esponenziale. tra l'altro sullo stesso libro è riportata la stessa dimostrazione che hai fatto tu.
per ora mi fermerei qui, se ho altri problemi ti saprò dire in seguito. ciao grazie

[K.Lomax]

Si, hai ragione sulla risposta impulsiva, purtroppo faccio anche altro e quindi rispondendo "a volo" a volte capita di cannare . Proverò a ripetere il ragionamento (in risposta al tema iniziale del tuo post) in maniera differente, sperando che possa esserti di chiarimento (diversamente, prova a consultare il tuo prof.).
Vuoi dimostrare quale sia la condizione necessaria di stabilità di un sistema LTI. La condizione

$\int|h(t)|dt<\infty$ (1)

posso definirla necessaria se per qualunque segnale di ingresso limitato, solo se vale tale condizione l'uscita è limitata. Spero tu sia d'accordo con questa affermazione.
Questo implica che basta trovare almeno un ingresso limitato per cui solo valendo questa condizione l'uscita è limitata, per rendere la condizione necessaria. Cioè posso inventarmi tutti i segnali possibili e immaginabili (limitati), per cui, ad esempio valendo questa condizione $|\inth(t)dt|<\infty$ si ha la stabilità. Ma se ne trovo soltanto uno ( e l'abbiamo trovato, è quello che ho riportato io e il tuo libro) per cui la stabilità si ha per una condizione più restrittiva (la (1)) deve valere quest'ultima. Spero di esserti stato d'aiuto.

Ciao

[enr87]

credo di essere arrivato al cuore del problema (una leggerezza nell'interpretazione della definizione di BIBO stabilità), mi serve solo una conferma: per la stabilità BIBO, |y(t)| deve essere limitato per QUALUNQUE scelta di x(t) limitato, esatto? dunque se scelgo quella particolare x(t) vedo che il sistema è BIBO stabile solo se $\int |h(t)| < \infty $, per cui la condizione diventa necessaria..

[K.Lomax]

Esattamente! Mi sembra che adesso ci siamo

[enr87]

perfetto, grazie per l'aiuto!

[K.Lomax]

Di nulla, ciao:-)