Segnale che genera un processo aleatorio
Dato il segnale
$x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n p(t-nT-t_d)$
essendo $a_n$ una variabile casuale discreta che varia tra 0, 1 e 2 in maniera equiprobabile e $t_d$ un'altra variabile casuale uniforme in $[0,T]$ che (sic.) rende il processo stazionario. Le ampiezze $a_n$ sono statisticamente indipendenti. La funzione $p(t)$ è il rettangolo alto 1 in $t\in [0,T]$ e zero altrove.
In poche parole: il segnale è una serie di impulsi rettangolari che hanno ampiezza (0,1,2) e che ogni tanto (da quello che ho capito) si accavallano e quindi possono raggiungere un ampiezza massima di 2+2=4 siccome quello precedente può sovrapporsi a quello successivo spostandosi di una distanza casuale in avanti (fino a un massimo pari alla durata dell'impulso) . Ora, il problema è che secondo le mie dispense il valore medio si calcola in un solo passaggio di una semplicità disarmante:
$E[x(t)] = E[a_n] = 1$
Perché? Perché $E[x(t)] = E[a_n]$???? C'entra qualcosa quel "rende il processo stazionario"? Oppure ha sbagliato il mio professore? Oppure ho capito proprio male io?
$x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n p(t-nT-t_d)$
essendo $a_n$ una variabile casuale discreta che varia tra 0, 1 e 2 in maniera equiprobabile e $t_d$ un'altra variabile casuale uniforme in $[0,T]$ che (sic.) rende il processo stazionario. Le ampiezze $a_n$ sono statisticamente indipendenti. La funzione $p(t)$ è il rettangolo alto 1 in $t\in [0,T]$ e zero altrove.
In poche parole: il segnale è una serie di impulsi rettangolari che hanno ampiezza (0,1,2) e che ogni tanto (da quello che ho capito) si accavallano e quindi possono raggiungere un ampiezza massima di 2+2=4 siccome quello precedente può sovrapporsi a quello successivo spostandosi di una distanza casuale in avanti (fino a un massimo pari alla durata dell'impulso) . Ora, il problema è che secondo le mie dispense il valore medio si calcola in un solo passaggio di una semplicità disarmante:
$E[x(t)] = E[a_n] = 1$
Perché? Perché $E[x(t)] = E[a_n]$???? C'entra qualcosa quel "rende il processo stazionario"? Oppure ha sbagliato il mio professore? Oppure ho capito proprio male io?
Risposte
Quello che si vuole calcolare è:
$E[x(t)]=E[sum_(n=-oo)^(+oo) a_np(t-nT-t_d)]$
per la linearità del valore atteso lo possiamo portare all'interno della sommatoria, ottenendo:
$sum_(n=-oo)^(+oo) E[a_np(t-nT-t_d)]$
Essendo $a_n$ e $t_d$ due v.a. indipendenti tra loro, possiamo spezzare il prodotto:
$sum_(n=-oo)^(+oo) E[a_np(t-nT-t_d)]=sum_(n=-oo)^(+oo) E[a_n]E[p(t-nT-t_d)]=sum_(n=-oo)^(+oo)E[p(t-nT-t_d)]$.
essendo $E[a_n]=1$.
Soffermiamoci ora sull'ultimo termine.
Applicando la definizione di valore atteso si ottiene:
$sum_(n=-oo)^(+oo)E[p(t-nT-t_d)]=sum_(n=-oo)^(+oo)1/T*int_0^Tp(t-nT-alpha) dalpha$.
Se provi a disegnare la figura $p(-alpha -(nT-t))$ ti accorgi che nell'integrale partecipano le funzioni con $n=0,-1,-2$ e al variare di "t" l'integrale darà sempre T.
Il che porta alla conclusione voluta.
$E[x(t)]=E[sum_(n=-oo)^(+oo) a_np(t-nT-t_d)]$
per la linearità del valore atteso lo possiamo portare all'interno della sommatoria, ottenendo:
$sum_(n=-oo)^(+oo) E[a_np(t-nT-t_d)]$
Essendo $a_n$ e $t_d$ due v.a. indipendenti tra loro, possiamo spezzare il prodotto:
$sum_(n=-oo)^(+oo) E[a_np(t-nT-t_d)]=sum_(n=-oo)^(+oo) E[a_n]E[p(t-nT-t_d)]=sum_(n=-oo)^(+oo)E[p(t-nT-t_d)]$.
essendo $E[a_n]=1$.
Soffermiamoci ora sull'ultimo termine.
Applicando la definizione di valore atteso si ottiene:
$sum_(n=-oo)^(+oo)E[p(t-nT-t_d)]=sum_(n=-oo)^(+oo)1/T*int_0^Tp(t-nT-alpha) dalpha$.
Se provi a disegnare la figura $p(-alpha -(nT-t))$ ti accorgi che nell'integrale partecipano le funzioni con $n=0,-1,-2$ e al variare di "t" l'integrale darà sempre T.
Il che porta alla conclusione voluta.
Grazie credo di aver capito. 
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