[Scienza delle Costruzioni] Teorema di Clapeyron esercizio
Ciao a tutti, dopo aver dimostrato il teorema di Clapeyron il mio libro fa un esempio:
data una trave elastica lineare su cui agisce una forza $F$ che passa gradualmente da zero al valore finale $F_0$ si ha:
quindi contemporaneamente la trave si inflette e si inflette gradualmente man mano che cresce F. Quindi in un grafico $F,\eta$ abbiamo una crescita graduale proporzionale in elasticità lineare tra $F$ e $\eta$ (poiché in elasticità lineare si ha una crescita lineare tra tensioni e deformazioni)
Per il teorema di Clapeyron possiamo scrivere che l'energia data per deformare la trave è pari a :
$L_{DEF} = \frac{1}{2} F_0 \eta_0 $
e mi è chiaro !!!
ma non capisco perché la formula generale, se il processo di carico fosse generico sarebbe:
$L_{DEF}=\int_{0}^{\eta_0} F(\eta) d \eta$
cioè non capisco perché $F$ dipende da $\eta$ (ovviamente la restante parte dell'integrale cioè il lavoro dato da forza per spostamento mi è chiaro), non è la forza che causa lo spostamento ? e quindi non dovrebbe essere lo spostamento in funzione della forza ??
Vi ringrazio in anticipo
data una trave elastica lineare su cui agisce una forza $F$ che passa gradualmente da zero al valore finale $F_0$ si ha:
quindi contemporaneamente la trave si inflette e si inflette gradualmente man mano che cresce F. Quindi in un grafico $F,\eta$ abbiamo una crescita graduale proporzionale in elasticità lineare tra $F$ e $\eta$ (poiché in elasticità lineare si ha una crescita lineare tra tensioni e deformazioni)
Per il teorema di Clapeyron possiamo scrivere che l'energia data per deformare la trave è pari a :
$L_{DEF} = \frac{1}{2} F_0 \eta_0 $
e mi è chiaro !!!
ma non capisco perché la formula generale, se il processo di carico fosse generico sarebbe:
$L_{DEF}=\int_{0}^{\eta_0} F(\eta) d \eta$
cioè non capisco perché $F$ dipende da $\eta$ (ovviamente la restante parte dell'integrale cioè il lavoro dato da forza per spostamento mi è chiaro), non è la forza che causa lo spostamento ? e quindi non dovrebbe essere lo spostamento in funzione della forza ??
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
No, gli spostamenti non dipendono solo dalle forze, ma soprattutto dai vincoli...quella è la formula classica del lavoro di una forza che dipende dalla posizione...in genere le forze possono dipende dal tempo, posizione e velocità (anche dall'accelerazione e derivate superiori ma non sono casi comuni), e in genere quindi l'integrale del lavoro non è risolubile perché richiede di conoscere velocità e posizione del corpo in ogni istante, cosa che si fa risolvendo le equazioni di moto del sistema.
Quindi vediamo se ho capito bene,
l'intensità di una generica forza F, agente su un punto P della trave dipende: da come varia la posizione del punto P (ad esempio all'inflettersi della trave aumenta l'intensità della forza) e tale variazione di posizione del punto P dipende soprattutto da come è vincolato il corpo.
Lo spostamento di questo punto P, fa si che la forza F compia un certo lavoro; facendo quindi l'integrale, ossia la somma di tutti questi lavori infinitesimi che compie F nel punto P otteniamo il lavoro di deformazione. E' giusto ?
Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando.
l'intensità di una generica forza F, agente su un punto P della trave dipende: da come varia la posizione del punto P (ad esempio all'inflettersi della trave aumenta l'intensità della forza) e tale variazione di posizione del punto P dipende soprattutto da come è vincolato il corpo.
Lo spostamento di questo punto P, fa si che la forza F compia un certo lavoro; facendo quindi l'integrale, ossia la somma di tutti questi lavori infinitesimi che compie F nel punto P otteniamo il lavoro di deformazione. E' giusto ?
Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando.
Si, come il tensore degli sforzi, $sigma=sigma(epsilon)$ dipende in generale dalla deformazione, similmente la forza dipende dalla deformazione $F=F(eta)$, se la forza la applichi nel punto in cui è incernierata la trave, quel punto, essendo vincolato, non si sposta, pertanto la forza non fa lavoro.
$sigma=sigma(epsilon)$ vale per i cosiddetti "materiali semplici elastici", ossia quelli in cui lo sforzo appunto dipende solo da quanto è deformato il corpo, nei materiali viscosi per esempio è $sigma=sigma(epsilon, dotepsilon)$, ossia lo sforzo nel corpo dipenda dalla sua deformazione e dalla velocità di deformazione...
$sigma=sigma(epsilon)$ vale per i cosiddetti "materiali semplici elastici", ossia quelli in cui lo sforzo appunto dipende solo da quanto è deformato il corpo, nei materiali viscosi per esempio è $sigma=sigma(epsilon, dotepsilon)$, ossia lo sforzo nel corpo dipenda dalla sua deformazione e dalla velocità di deformazione...
Grazie mille, veramente molto chiaro !!!
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