[Scienza delle Costruzioni] Risolvere struttura isostatica
Ciao a tutti,
sto facendo alcuni esercizi al fine di trovare le reazioni vincolari di semplici strutture isostatiche chiuse. Ho questa struttura:
ditemi se è corretto... come prima cosa "aprirei" in B e in E e avrò questa "sottostruttura":
a questo punto troverei le incognite VB, HB, MB, ME, HE tramite le 3 equazioni cardinali della statica + 2 equazioni ausiliarie.
(1) ΣH =0 ... +HB + HE = 0
(2) ΣV =0 ... +VB + 2F = 0 --> VB= -2F
(3) ΣMB=0 ... +MB + 2F*b + HE*b + ME = 0
(4) ΣMF(BGF)=0 ... +MB - VB*2b - 2F*b = 0 --> MB= -2Fb
a questo punto ho trovato VB e MB. Mi sono bloccato, non riesco a trovare altre equazioni ausiliarie per poter trovare HB (e HE di conseguenza) e ME. Non posso fare il momento rispetto a F dell'asta FE perché non ho elementi, e se la faccio di tutta la sottostruttura entrano sempre in gioco almeno 2 incognite e non posso risolverla.
Come potrei fare?
grazie a tutti.
sto facendo alcuni esercizi al fine di trovare le reazioni vincolari di semplici strutture isostatiche chiuse. Ho questa struttura:
ditemi se è corretto... come prima cosa "aprirei" in B e in E e avrò questa "sottostruttura":
a questo punto troverei le incognite VB, HB, MB, ME, HE tramite le 3 equazioni cardinali della statica + 2 equazioni ausiliarie.
(1) ΣH =0 ... +HB + HE = 0
(2) ΣV =0 ... +VB + 2F = 0 --> VB= -2F
(3) ΣMB=0 ... +MB + 2F*b + HE*b + ME = 0
(4) ΣMF(BGF)=0 ... +MB - VB*2b - 2F*b = 0 --> MB= -2Fb
a questo punto ho trovato VB e MB. Mi sono bloccato, non riesco a trovare altre equazioni ausiliarie per poter trovare HB (e HE di conseguenza) e ME. Non posso fare il momento rispetto a F dell'asta FE perché non ho elementi, e se la faccio di tutta la sottostruttura entrano sempre in gioco almeno 2 incognite e non posso risolverla.
Come potrei fare?
grazie a tutti.
Risposte
Ok... ci sto provando:
Riprendo la tua immagine di qualche post. L'ho ruotata perché mi trovo meglio e ho aggiunto le forze reali.
CONVENZIONI:
TAGLIO:
+T + 1/2qb - 2q (x - b) = 0
+T è l'incognita che ho disegnato io verso il basso (schema sotto con le frecce N,T,M), + 1/2qb è positiva perché è concorde con la convenzione e va verso il basso (ma fa girare in senso antiorario rispetto al polo), -2q è negativa perché va verso l'alto (ma fa girare in senso orario rispetto al polo).
quindi:
T= - 1/2qb + 2q (x - b)
Per x = b
T= -1/2 qb (ed è corretto, ho controllato la soluzione)
Per x = 2b
T= +3/2 qb (ed è corretto)
Perché per x=0 non mi torna come dovrebbe essere, e cioè sempre -1/2 qb?
MOMENTO:
+ M + 1/2 qbx - 2q (x-b) x =0
+M è l'incognita che ho disegnato io in senso antiorario, +1/2qb è positiva perché è concorde con la convenzione e fa girare in senso antiorario rispetto al polo, mentre 2q è negativa perché mi fa girare in senso orario rispetto al polo.
Per x = 0
M= 0 (ed è corretto)
Per x = b
T= -1/2 qb² (ed è corretto)
Per x= 2b dovrebbe pure essere 0 perché c'è una cerniera ma non mi torna...
grazie ancora, a presto!
Riprendo la tua immagine di qualche post. L'ho ruotata perché mi trovo meglio e ho aggiunto le forze reali.
CONVENZIONI:
TAGLIO:
+T + 1/2qb - 2q (x - b) = 0
+T è l'incognita che ho disegnato io verso il basso (schema sotto con le frecce N,T,M), + 1/2qb è positiva perché è concorde con la convenzione e va verso il basso (ma fa girare in senso antiorario rispetto al polo), -2q è negativa perché va verso l'alto (ma fa girare in senso orario rispetto al polo).
quindi:
T= - 1/2qb + 2q (x - b)
Per x = b
T= -1/2 qb (ed è corretto, ho controllato la soluzione)
Per x = 2b
T= +3/2 qb (ed è corretto)
Perché per x=0 non mi torna come dovrebbe essere, e cioè sempre -1/2 qb?
MOMENTO:
+ M + 1/2 qbx - 2q (x-b) x =0
+M è l'incognita che ho disegnato io in senso antiorario, +1/2qb è positiva perché è concorde con la convenzione e fa girare in senso antiorario rispetto al polo, mentre 2q è negativa perché mi fa girare in senso orario rispetto al polo.
Per x = 0
M= 0 (ed è corretto)
Per x = b
T= -1/2 qb² (ed è corretto)
Per x= 2b dovrebbe pure essere 0 perché c'è una cerniera ma non mi torna...
grazie ancora, a presto!
"ingyoung":
Perché per x=0 non mi torna come dovrebbe essere, e cioè sempre -1/2 qb?
Credo che dipenda dal fatto che forse hai considerato il tratto $GE$ unico, come ti avevo detto precedentemente. Se così è, ti devo dire che ho sbagliato. Per questo ti chiedo scusa; infatti il tratto deve considerarsi separato in $GF$ e $FE$, perchè il carico, non essendo applicato su l'intera asta, provoca una discontinuità.
Quindi avrai:
TRATTO $GF$, per $0
$T(x) = -1/2qb$ $=>$ Si osserva che il taglio, per questo tratto, è costante in quanto non dipende da $x$.
TRATTO $FE$, per $b
$T(x) = -1/2qb + 2q(x-b)$ $=>$ $ { ( x=b, T(b) = -1/2qb ),( x=2b, T(2b)=-1/2qb + 2qb = 3/2qb ):} $
"ingyoung":
+M è l'incognita che ho disegnato io in senso antiorario, +1/2qb è positiva perché è concorde con la convenzione e fa girare in senso antiorario rispetto al polo, mentre 2q è negativa perché mi fa girare in senso orario rispetto al polo.
Aspetta. La forza $1/2qb$ è negativa (infatti nel taglio l'hai messa col segno giusto), perchè rivolta verso il basso; inoltre dà un momento antiorario, quindi negativo.
La forza $2q(x-b)$ è, per la convenzione adottata, positiva, in quanto rivolta verso l'alto; inoltre dà un momento orario, quindi positivo.
Quando calcoli il momento in realtà non ti interessa tanto sapere se le forze che danno momento sono positive o negative, ma ti interessa se queste forze generano momenti orari (negativi a destra e positivi a sinistra) o antiorari (positivi a destra e negativi a sinistra).
Per la legge del Momento quindi avrai:
TRATTO $GF$, per $0
$M(x) = -1/2qb*x$ $=>$ $ { ( x=0, M(0) = 0 ),( x=b, M(b)=-1/2qb^2 ):} $
TRATTO $FE$, per $b
$M(x) = -1/2qb*x + 2q(x-b)*(x-b)/2$ $=>$ $ { ( x=b, M(b) = -1/2qb^2 ),( x=2b, M(2b)=-qb^2 + 2q*b^2/2 = 0 ):} $
Questi quindi i valori delle sollecitazioni se non ho commesso errori.
Comunque l'origine della X in questi casi va presa sempre come se l'asta fosse unica, cioè in G verso destra, altrimenti se spezzo in 2 tratti (GF e FE) non torna... perché considerando il tratto FE, se prendo l'origine della X in F verso destra con X=0 risulterebbe un momento nullo invece qui il momento flettente c'è...
Inoltre credo di non aver capito benissimo la convenzione dei segni sul taglio e sul momento... cioè, non capisco se i segni (+ o -) devo considerarli quando vado a scrivere le equazioni in questo modo: T + 1/2qb - 2q (x - b) = 0 oppure in quest'altro: T = - 1/2qb + 2q (x - b), che sono identiche tra loro... inoltre sul momento flettente non capisco se bisogna considerare il senso di rotazione (+ antiorario) oppure la parte dove si tendono le fibre (+ fibre tese sotto).
Ti scrivo quello che ho capito sulle convenzioni, se ho scritto cavolate correggimi tu:
Prendiamo questo pezzo di struttura come esempio, rompendo in una sezione a caso:
Convenzione:
Quindi, visto che considero la parte destra, sarà così:
Considero tutti i contributi a sinistra della sezione.
Da quello che ho capito ci sono 2 modi che dovrebbero essere entrambi validi, il primo fa l'equazione di equilibrio (=0) mentre il secondo considera i "contributi".
Primo modo, equazione di equilibrio (=0)
TAGLIO: convenzione + verso il basso
+T + 1/2qb = 0 (+T perché è l'incognita che ho messo io, +1/2qb perché è rivolta verso il basso)
T= -1/2qb
MOMENTO: convenzione + antiorario rispetto al polo
+ M + 1/2qbx = 0 (+M perché è l'incognita che ho messo io, +1/2qbx perché fa girare in antiorario rispetto al polo)
M = -1/2qbx
oppure così:
Secondo modo, considero i contributi
TAGLIO: convenzione + orario rispetto al polo
T = - 1/2qb (negativo perché considero + orario rispetto al polo)
MOMENTO: convenzione + fibre tese sotto, compresse sopra rispetto al polo
M = - 1/2qbx (negativo perché considero + le fibre tese sotto, invece 1/2qb fa tendere quelle sopra)
è tutto corretto?
grazie!
Inoltre credo di non aver capito benissimo la convenzione dei segni sul taglio e sul momento... cioè, non capisco se i segni (+ o -) devo considerarli quando vado a scrivere le equazioni in questo modo: T + 1/2qb - 2q (x - b) = 0 oppure in quest'altro: T = - 1/2qb + 2q (x - b), che sono identiche tra loro... inoltre sul momento flettente non capisco se bisogna considerare il senso di rotazione (+ antiorario) oppure la parte dove si tendono le fibre (+ fibre tese sotto).
Ti scrivo quello che ho capito sulle convenzioni, se ho scritto cavolate correggimi tu:
Prendiamo questo pezzo di struttura come esempio, rompendo in una sezione a caso:
Convenzione:
Quindi, visto che considero la parte destra, sarà così:
Considero tutti i contributi a sinistra della sezione.
Da quello che ho capito ci sono 2 modi che dovrebbero essere entrambi validi, il primo fa l'equazione di equilibrio (=0) mentre il secondo considera i "contributi".
Primo modo, equazione di equilibrio (=0)
TAGLIO: convenzione + verso il basso
+T + 1/2qb = 0 (+T perché è l'incognita che ho messo io, +1/2qb perché è rivolta verso il basso)
T= -1/2qb
MOMENTO: convenzione + antiorario rispetto al polo
+ M + 1/2qbx = 0 (+M perché è l'incognita che ho messo io, +1/2qbx perché fa girare in antiorario rispetto al polo)
M = -1/2qbx
oppure così:
Secondo modo, considero i contributi
TAGLIO: convenzione + orario rispetto al polo
T = - 1/2qb (negativo perché considero + orario rispetto al polo
)MOMENTO: convenzione + fibre tese sotto, compresse sopra rispetto al polo
M = - 1/2qbx (negativo perché considero + le fibre tese sotto, invece 1/2qb fa tendere quelle sopra
)è tutto corretto?
grazie!
"ingyoung":
Comunque l'origine della X in questi casi va presa sempre come se l'asta fosse unica, cioè in G verso destra, altrimenti se spezzo in 2 tratti (GF e FE) non torna... perché considerando il tratto FE, se prendo l'origine della X in F verso destra con X=0 risulterebbe un momento nullo invece qui il momento flettente c'è...
No, l'origine la puoi mettere dove vuoi. In generale puoi considerare un unico sistema di riferimento o più d'uno. In questo caso puoi decidere se adottare un unico sistema per i due tratti ($GF$ ed $FE$) come hai fatto, oppure adottare un sistema di riferimento per il primo tratto (posto in $G$ ad esempio) ed uno per il secondo tratto (posto in $F$ ad esempio). Le leggi delle caratteristiche di sollecitazioni saranno analiticamente diverse, ma porteranno agli stessi risultati.
Se ad esempio vuoi usare due sistemi di riferimento, messi come ho scritto prima e guardando sempre a sinistra della sezione fatta, ottieni:
TRATTO $GF$, per $0
$T(x) = -1/2qb$
TRATTO $FE$, per $0
$T(x) = -1/2qb + 2q*x$ $=>$ $ { ( x=0, T(0) = -1/2qb ),( x=b, T(b)=-1/2qb + 2qb = 3/2qb ):} $
Per la legge del Momento invece avrai:
TRATTO $GF$, per $0
$M(x) = -1/2qb*x$ $=>$ $ { ( x=0, M(0) = 0 ),( x=b, M(b)=-1/2qb^2 ):} $
TRATTO $FE$, per $0
$M(x) = -1/2qb*(b+x)$* $+ 2q*x^2/2$ $=>$ $ { ( x=0, M(0) = -1/2qb^2 ),( x=b, M(b)=-qb^2 + qb^2 = 0 ):} $
Cme vedi i risultati sono analoghi e d'altra parte non potrebbe essere altrimenti; infatti sforzo normale, taglio e momento sono sforzi reali che la struttura subisce a seguito dell'applicazione dei carichi e dipendono solo:
- dai carichi appunto,
- dai vincoli
- dalle caratteristiche intrinseche della struttura (legame costitutivo).
Ecco quindi che le sollecitazioni non possono dipendere dal sistema di riferimento scelto per la descrizione analitica delle loro leggi di variazione. Questa è solo una questione puramente analitica.
Ciao.
EDIT. Nel prossimo post ti rispondo sulla questione delle convenzioni.
_____________________
* Bisogna fare però attenzione quando si sposta il sistema di riferimento, soprattutto nella valutazione dei bracci dei momenti. In questo caso infatti, il braccio della reazione in $G$ è $(b+x)$, anche se, rispetto al riferimento in $F$, la distanza $b$ potrebbe sembrare negativa. Tuttavia la distanza è una quantità definita sempre positiva, quindi nella valutazione del braccio si avrà $(b+x)$ e non $(-b+x)$.
Sì, scusa ho fatto delle modifiche al mio post sopra... controlla prima di rispondermi sulle convenzioni, grazie.
Credo di aver capito perchè ti confondi. L'inghippo sta nel seguente passaggio:
Cerco di chiarire la questione e se non ci riesco non esitare e chiedere nuovamente.
Fatta la sezione*, decidi di guardare a sinistra o a destra. La convenzione del concio fissa i valori positivi delle sollecitazioni a sinistra e destra del concio stesso. Se hai deciso di guardare a Sinistra, i tuoi valori positivi sono quelli riportati a sinistra del concio, quindi:
Se invece hai decisto di guardare a destra, i tuoi valori positivi sono i seguenti:
Quindi per capire il segno da attribuire basta fare riferimento a questo che ho detto. Poi volevo dirti che, secondo me, il fatto di esplicitare le componenti della sollecitazione in questo modo:
Ti fa solo confondere e tra la l'altro non evidenzia bene il fatto che quando calcoli Sforzo Normale, Taglio e Momento flettente devi scrivere le loro funzioni, al variare della $x$. Ti sconsiglierei quindi di scrivere così:
Ti consiglierei invece di scrivere sempre una cosa del tipo:
$N(x)= ...."segni attribuiti in base alla convenzione del concio a destra o sinistra".....$
$T(x)= ...."segni attribuiti in base alla convenzione del concio a destra o sinistra".....$
$M(x)= ...."segni attribuiti in base alla convenzione del concio a destra o sinistra".....$
Un modo semplice poi ti ricordare le convenzioni è il seguente:
"Le sollecitazioni a destra sono positive se concordi con gli assi del sistema di riferimento, mentre a sinistra sono positive se discordi con tali assi"
Infatti, se ci fai caso, affiancando il sistema di riferimento al concio noti che:
cioè i versi del sistema di riferimento (positivi) sono uguali ai versi delle sollecitazioni a destra, e opposti a sinistra.
Riassumendo, per regolarti con i segni, puoi fare così:
1. Ti disegni il concio e, una volta deciso di guardare a destra o sinistra, attribuisci il segno;
2. Ti ricordi che a destra le sollecitazioni sono positive se concordi con gli assi, mentre a sinistra sono positive se sono discordi.
Spero con tutte queste cose che ho scritto di non averti confuso ancora di più le idee. Se ci sono ancora dubbi chiedi pure.
Ciao.
EDIT. Avevo dimenticado di aggiungere una cosa. In tutto questo discorso, le convenzioni sui segni che fanno riferimento alla rotazione del concio (Taglio) e alle fibre tese (Momento flettente) restano sempre valide, ma forse meno immediate ai fini degli esercizi. Ti ripeto comunque che, quando dovrai tracciare il diagramma del momento, ti sarà utile sapere che il momento, quando è positivo, tende le fibre inferiori.
________________
* In realtà, nel momento in cui fai una sezione, non dividi semplicemente in due la trave, ma individui un concio elementare di lunghezza infinitesima, che presenta per l'appunto una faccia destra e sinistra. Questa comunque è una sottigliezza che non serve ai fini applicativi, ma che forse avrai visto nello studio delle equazioni differenziali indefinite di equilibrio che legano i carichi alle caratteristiche della sollecitazione.
"ingyoung":
Convenzione:
Quindi, visto che considero la parte destra, sarà così:
Cerco di chiarire la questione e se non ci riesco non esitare e chiedere nuovamente.
Fatta la sezione*, decidi di guardare a sinistra o a destra. La convenzione del concio fissa i valori positivi delle sollecitazioni a sinistra e destra del concio stesso. Se hai deciso di guardare a Sinistra, i tuoi valori positivi sono quelli riportati a sinistra del concio, quindi:
Se invece hai decisto di guardare a destra, i tuoi valori positivi sono i seguenti:
Quindi per capire il segno da attribuire basta fare riferimento a questo che ho detto. Poi volevo dirti che, secondo me, il fatto di esplicitare le componenti della sollecitazione in questo modo:
"ingyoung":
Ti fa solo confondere e tra la l'altro non evidenzia bene il fatto che quando calcoli Sforzo Normale, Taglio e Momento flettente devi scrivere le loro funzioni, al variare della $x$. Ti sconsiglierei quindi di scrivere così:
"ingyoung":
+T + 1/2qb = 0 (+T perché è l'incognita che ho messo io, +1/2qb perché è rivolta verso il basso)
Ti consiglierei invece di scrivere sempre una cosa del tipo:
$N(x)= ...."segni attribuiti in base alla convenzione del concio a destra o sinistra".....$
$T(x)= ...."segni attribuiti in base alla convenzione del concio a destra o sinistra".....$
$M(x)= ...."segni attribuiti in base alla convenzione del concio a destra o sinistra".....$
Un modo semplice poi ti ricordare le convenzioni è il seguente:
"Le sollecitazioni a destra sono positive se concordi con gli assi del sistema di riferimento, mentre a sinistra sono positive se discordi con tali assi"
Infatti, se ci fai caso, affiancando il sistema di riferimento al concio noti che:
cioè i versi del sistema di riferimento (positivi) sono uguali ai versi delle sollecitazioni a destra, e opposti a sinistra.
Riassumendo, per regolarti con i segni, puoi fare così:
1. Ti disegni il concio e, una volta deciso di guardare a destra o sinistra, attribuisci il segno;
2. Ti ricordi che a destra le sollecitazioni sono positive se concordi con gli assi, mentre a sinistra sono positive se sono discordi.
Spero con tutte queste cose che ho scritto di non averti confuso ancora di più le idee. Se ci sono ancora dubbi chiedi pure.
Ciao.
EDIT. Avevo dimenticado di aggiungere una cosa. In tutto questo discorso, le convenzioni sui segni che fanno riferimento alla rotazione del concio (Taglio) e alle fibre tese (Momento flettente) restano sempre valide, ma forse meno immediate ai fini degli esercizi. Ti ripeto comunque che, quando dovrai tracciare il diagramma del momento, ti sarà utile sapere che il momento, quando è positivo, tende le fibre inferiori.
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* In realtà, nel momento in cui fai una sezione, non dividi semplicemente in due la trave, ma individui un concio elementare di lunghezza infinitesima, che presenta per l'appunto una faccia destra e sinistra. Questa comunque è una sottigliezza che non serve ai fini applicativi, ma che forse avrai visto nello studio delle equazioni differenziali indefinite di equilibrio che legano i carichi alle caratteristiche della sollecitazione.
Mi sono confuso ancora di più le idee 
Fai conto che per abitudine ormai uso sempre questi criteri:
1) Questa, che è usata da tutti praticamente
2) Questa, per X, Y, momenti (in pratica la uso quando calcolo le reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica) positivo a destra, verso l'alto e momento antiorario.
3) Quando "spezzo" un asta prendo sempre i contributi a sinistra e la x la faccio partire da sinistra.
Quindi in questo caso:
come ti dicevo spezzo, considero i contributi a sinistra (solo 1/2qb in questo caso) e la x parte da sinistra.
Se riesci a spiegarmi come funziona in questo semplicissimi caso specifico, magari con un disegnino forse riesco a capire al volo.
grazie ancora per il preziosissimo aiuto che mi stai dando.
Fai conto che per abitudine ormai uso sempre questi criteri:
1) Questa, che è usata da tutti praticamente
2) Questa, per X, Y, momenti (in pratica la uso quando calcolo le reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica) positivo a destra, verso l'alto e momento antiorario.
3) Quando "spezzo" un asta prendo sempre i contributi a sinistra e la x la faccio partire da sinistra.
Quindi in questo caso:
come ti dicevo spezzo, considero i contributi a sinistra (solo 1/2qb in questo caso) e la x parte da sinistra.
Se riesci a spiegarmi come funziona in questo semplicissimi caso specifico, magari con un disegnino forse riesco a capire al volo.
grazie ancora per il preziosissimo aiuto che mi stai dando.
La confusione deriva forse dal fatto che io ho dato per scontato che la convenzione "globale" per le forze e i momenti (quella che usi con le equazioni cardinali) fosse uguale a quella che uso io. Quindi tu consideri positive le forze rivolte verso l'alto, quelle rivolte verso destra, e i momenti antiorari. Quindi non va bene questa immagine che ti avevo messo:
perchè il sistema che adotto io (quello rosso) è diverso dal tuo. Tra l'altro credo di aver capito che abbiamo due modi di procedere un pò diversi. Cerco di interpretare il tuo e corregimi se sbaglio.
Da quanto vedo, nei tratti di struttura (ad esempio $GF$), segni solo il verso della $x$ e non metti un sistema di riferimento $x-y$ vero e proprio.
Quando spezzi il tratto, e guardi a sinistra, i versi positivi delle sollecitazioni, in base alla convenzione del concio, dovrebbero essere quelli cerchiati in rosso:
Quindi, nel caso del tratto $GF$, avrai:
$N(x) = 0$
$T(x) = -1/2 qb$ $=>$ Viene negativa perchè la convenzione del concio (vedi immagine a destra) ti dice che le forze di taglio sono positive se rivolte verso l'alto. Puoi anche dire che, siccome la forza verticale fa ruotare il concio in senso antiorario, allora essa produce taglio negativo.
$M(x) = -1/2qb * x$ $=>$ Viene negativo perchè la convenzione del concio (vedi immagine a destra) ti dice che i momenti sono positivi se orari, invece il momento dato da $1/2qb$ è antiorario. Puoi anche dire che, siccome la forza verticale tende le fibre superiori, allora essa produce un momento negativo.
Calcolando poi il momento per i gli estremi del tratto, ottieni
$M(x=0) = 0$
$M(x=b) = -1/2qb^2$
Così è più chiaro?
"JoJo_90":
perchè il sistema che adotto io (quello rosso) è diverso dal tuo. Tra l'altro credo di aver capito che abbiamo due modi di procedere un pò diversi. Cerco di interpretare il tuo e corregimi se sbaglio.
Da quanto vedo, nei tratti di struttura (ad esempio $GF$), segni solo il verso della $x$ e non metti un sistema di riferimento $x-y$ vero e proprio.
Quando spezzi il tratto, e guardi a sinistra, i versi positivi delle sollecitazioni, in base alla convenzione del concio, dovrebbero essere quelli cerchiati in rosso:
Quindi, nel caso del tratto $GF$, avrai:
$N(x) = 0$
$T(x) = -1/2 qb$ $=>$ Viene negativa perchè la convenzione del concio (vedi immagine a destra) ti dice che le forze di taglio sono positive se rivolte verso l'alto. Puoi anche dire che, siccome la forza verticale fa ruotare il concio in senso antiorario, allora essa produce taglio negativo.
$M(x) = -1/2qb * x$ $=>$ Viene negativo perchè la convenzione del concio (vedi immagine a destra) ti dice che i momenti sono positivi se orari, invece il momento dato da $1/2qb$ è antiorario. Puoi anche dire che, siccome la forza verticale tende le fibre superiori, allora essa produce un momento negativo.
Calcolando poi il momento per i gli estremi del tratto, ottieni
$M(x=0) = 0$
$M(x=b) = -1/2qb^2$
Così è più chiaro?
Ora sì... comincia a tornarmi tutto... devo ricordarmi comunque che non posso spezzare un'asta, per esempio nel caso precedente in F, ma devo considerarla intera.
Credo di aver capito un bel po' di cose e alcuni esercizi iniziano a tornarmi. Sto cercando di isolare le difficoltà e i dubbi che mi sono rimasti così da risolverli ed essere pronto un po' a tutto
.
Ora ne stavo guardando un'altra, comunque simile.
Qui, per prima cosa ho risolto con le equazioni cardinali della statica e un'equazione ausiliaria del momento rispetto a F l'arco a 3 cerniere (evidenziato in verde). Trovate le 4 incognite (HB, VB, HD, VD) le ho inserite opposte nella struttura originaria (in nero) e mi sono trovato le 4 reazioni vincolari (HA, VA, VH, MH).
Stavo iniziando ora dalle azioni interne cominciando dalla parte di struttura che avevo "staccato" in precedenza (l'arco a 3 cerniere in verde), e la sto trattando come una struttura indipendente (non so se sia corretto).
Ho cominciato dal tratto BC, ora stavo passando a CF.
Ecco, il primo dubbio inizia con questo tratto CF, che di fatto è un'asta unica BCF quindi non posso mettere l'origine della x in C e percorrere il tratto CF altrimenti verrebbe in C un momento pari a 0 che non è giusto.
Non ci sono ancora arrivato, ma so già che il secondo dubbio, che è simile al primo, sarà sull'asta ABDG della struttura principale, soprattutto il tratto inclinato BD, ma quello al massimo lo possiamo vedere dopo...
non so come ringraziarti...
Credo di aver capito un bel po' di cose e alcuni esercizi iniziano a tornarmi. Sto cercando di isolare le difficoltà e i dubbi che mi sono rimasti così da risolverli ed essere pronto un po' a tutto
.Ora ne stavo guardando un'altra, comunque simile.
Qui, per prima cosa ho risolto con le equazioni cardinali della statica e un'equazione ausiliaria del momento rispetto a F l'arco a 3 cerniere (evidenziato in verde). Trovate le 4 incognite (HB, VB, HD, VD) le ho inserite opposte nella struttura originaria (in nero) e mi sono trovato le 4 reazioni vincolari (HA, VA, VH, MH).
Stavo iniziando ora dalle azioni interne cominciando dalla parte di struttura che avevo "staccato" in precedenza (l'arco a 3 cerniere in verde), e la sto trattando come una struttura indipendente (non so se sia corretto).
Ho cominciato dal tratto BC, ora stavo passando a CF.
Ecco, il primo dubbio inizia con questo tratto CF, che di fatto è un'asta unica BCF quindi non posso mettere l'origine della x in C e percorrere il tratto CF altrimenti verrebbe in C un momento pari a 0 che non è giusto.
Non ci sono ancora arrivato, ma so già che il secondo dubbio, che è simile al primo, sarà sull'asta ABDG della struttura principale, soprattutto il tratto inclinato BD, ma quello al massimo lo possiamo vedere dopo...
non so come ringraziarti...
Mi fa piacere che le cose ti sono un pò più chiare 
.
Comincio da una precisazione:
L'asta originaria era $GE$, composta dai tratti $GF$ ed $FE$. In realtà, l'intera asta, la puoi considerare scomposta nei due tratti, anzi nel tuo caso, la devi considerare scomposta, perchè c'è un carico distribuito che non è applicato tutto sull'asta, ma solo sulla porzione $FE$. Di questo comunque ne avevo parlato in qualche post fa (qui).
Nelle aste in cui sono presenti discontinuità di carico, devi sempre scomporle in "sotto-tratti". Le discontinuità che puoi incontrare sono le seguenti:
- carico concentrato (forza o coppia);
- carico distribuito non applicato interamente sull'asta (è il caso dell'asta $GE$);
Se non ricordo male dovrebbero essere solo queste.
In questo esercizio ad esempio, dovrai calcolare le sollecitazioni per il tratto $FE$ ed $ED$ separatamente (ponendo l'origine dove ti piace di più: in $F$, in $E$, in $D$ o in qualunque altro punto dell'asta.)
Andiamo avanti.
Si la puoi considerare indipendente, anche se non porta alcun vantaggio. Per il calcolo delle sollecitazioni infatti ragioni tratto per tratto, quindi non è indispensabile considerare un sottosistema indipendente.
Si che puoi mettere l'origine in $C$ ed anzi mi sembra la cosa più corretta e semplice da fare. Come ho detto prima, per il calcolo delle sollecitazioni, ragioni tratto per tratto, presi singolarmente (ogni tratto è individuato dalle lettere che devono essere però messe bene).
Comunque non credo in $C$ il momento verrà zero, ma in caso lo vediamo dopo questo.
.Comincio da una precisazione:
"ingyoung":
devo ricordarmi comunque che non posso spezzare un'asta, per esempio nel caso precedente in F, ma devo considerarla intera.
L'asta originaria era $GE$, composta dai tratti $GF$ ed $FE$. In realtà, l'intera asta, la puoi considerare scomposta nei due tratti, anzi nel tuo caso, la devi considerare scomposta, perchè c'è un carico distribuito che non è applicato tutto sull'asta, ma solo sulla porzione $FE$. Di questo comunque ne avevo parlato in qualche post fa (qui).
Nelle aste in cui sono presenti discontinuità di carico, devi sempre scomporle in "sotto-tratti". Le discontinuità che puoi incontrare sono le seguenti:
- carico concentrato (forza o coppia);
- carico distribuito non applicato interamente sull'asta (è il caso dell'asta $GE$);
Se non ricordo male dovrebbero essere solo queste.
In questo esercizio ad esempio, dovrai calcolare le sollecitazioni per il tratto $FE$ ed $ED$ separatamente (ponendo l'origine dove ti piace di più: in $F$, in $E$, in $D$ o in qualunque altro punto dell'asta.)
Andiamo avanti.
"ingyoung":
Stavo iniziando ora dalle azioni interne cominciando dalla parte di struttura che avevo "staccato" in precedenza (l'arco a 3 cerniere in verde), e la sto trattando come una struttura indipendente (non so se sia corretto).
Si la puoi considerare indipendente, anche se non porta alcun vantaggio. Per il calcolo delle sollecitazioni infatti ragioni tratto per tratto, quindi non è indispensabile considerare un sottosistema indipendente.
"ingyoung":
Ecco, il primo dubbio inizia con questo tratto CF, che di fatto è un'asta unica BCF quindi non posso mettere l'origine della x in C e percorrere il tratto CF altrimenti verrebbe in C un momento pari a 0 che non è giusto.
Si che puoi mettere l'origine in $C$ ed anzi mi sembra la cosa più corretta e semplice da fare. Come ho detto prima, per il calcolo delle sollecitazioni, ragioni tratto per tratto, presi singolarmente (ogni tratto è individuato dalle lettere che devono essere però messe bene).
Comunque non credo in $C$ il momento verrà zero, ma in caso lo vediamo dopo questo.
Quindi, se non ho capito male, nel caso in cui avessi un'asta con un carico concentrato (o una coppia) nel mezzo per esempio, devo fare una sezione prima e una dopo il carico giusto?
Ok credo sia tutto chiaro... l'unico problema ora è dove ci sono queste aste uniche a 90°, esempio BCF nell'ultima struttura.
Ok credo sia tutto chiaro... l'unico problema ora è dove ci sono queste aste uniche a 90°, esempio BCF nell'ultima struttura.
Si. Ad esempio, come in questo caso:
Andiamo all'asta $BCF$. La suddivido nei tratti $BC$ e $CF$.
TRATTO $BC$ per $0
Comincio con il tratto $BC$. Fisso l'origine delle $x$ nel punto $B$ ed effettuo una sezione S. Mi ritrovo con la situazione seguente (ho ruotato la struttura per comodità):
Decido di guardare a sinistra (sx) della sezione e, tenendo conto della convenzione del concio, ho:
$N(x) = - V_B$. E' negativo perchè la convenzione mi dice che dal lato sinistro della sezione (o del concio), lo sforzo normale è positivo se diretto verso sinistra (inceve $V_B$ è diretta verso destra).
$T(x) = H_B$
$M(x) = H_B * x$
$M(0)= 0$
$M(b)= H_B * b$
Una cosa ti volevo aggiungere, per completezza.
TRATTO $CF$ per $0
Passo all'altro tratto. Come prima, fisso l'origine delle $x$ nel punto $C$ ed effettuo una sezione S. Mi ritrovo con la situazione seguente (figura ruotata per comodità):
Decido di guardare nuovamente a sinistra (sx) della sezione e, tenendo conto della convenzione del concio, ho:
$N(x) = - H_B$
$T(x) = -V_B$
$M(x) = H_B * b - V_B * x$
$M(0)= H_B * b$
$M(b)= H_B * b - V_B * b$
Anche qui, aggiungo che:
Ti saluto nella speranza di non aver commesso errori e di essere stato chiaro.
Ciao.
P.S. Quando quello fatto fin qui ti risulta chiaro, passiamo al caso dell'asta inclinata.
P.S.S. Non sapendo nè i valori nè i versi delle reazioni vincolari, li ho messi un pò a casaccio, quindi non fare affidamento sulle reazioni vincolari che ho segnato.
Andiamo all'asta $BCF$. La suddivido nei tratti $BC$ e $CF$.
TRATTO $BC$ per $0
Comincio con il tratto $BC$. Fisso l'origine delle $x$ nel punto $B$ ed effettuo una sezione S. Mi ritrovo con la situazione seguente (ho ruotato la struttura per comodità):
Decido di guardare a sinistra (sx) della sezione e, tenendo conto della convenzione del concio, ho:
$N(x) = - V_B$. E' negativo perchè la convenzione mi dice che dal lato sinistro della sezione (o del concio), lo sforzo normale è positivo se diretto verso sinistra (inceve $V_B$ è diretta verso destra).
$T(x) = H_B$
$M(x) = H_B * x$
$M(0)= 0$
$M(b)= H_B * b$
Una cosa ti volevo aggiungere, per completezza.
TRATTO $CF$ per $0
Passo all'altro tratto. Come prima, fisso l'origine delle $x$ nel punto $C$ ed effettuo una sezione S. Mi ritrovo con la situazione seguente (figura ruotata per comodità):
Decido di guardare nuovamente a sinistra (sx) della sezione e, tenendo conto della convenzione del concio, ho:
$N(x) = - H_B$
$T(x) = -V_B$
$M(x) = H_B * b - V_B * x$
$M(0)= H_B * b$
$M(b)= H_B * b - V_B * b$
Anche qui, aggiungo che:
Ti saluto nella speranza di non aver commesso errori e di essere stato chiaro.
Ciao.
P.S. Quando quello fatto fin qui ti risulta chiaro, passiamo al caso dell'asta inclinata.
P.S.S. Non sapendo nè i valori nè i versi delle reazioni vincolari, li ho messi un pò a casaccio, quindi non fare affidamento sulle reazioni vincolari che ho segnato.
Chiarissimo e completo come sempre... non sapevo proprio il modo di operare su un tipo di asta come quello, in pratica devo studiarla pezzo per pezzo (BC e poi CF) però considerando che sia un'asta unica.
Nel caso specifico con le HB e VB calcolate e con le convenzioni indicate:
Considerando che guardo sempre a sinistra della sezione e considerando dove hai messo tu le sezioni:
tratto BC:
N= +3qb
T= -3qb
M= -3qbx
per x=0 --> M=0
per x=b --> M= -3qb²
tratto CF:
N= +3qb
T= +3qb
M= -3qbb + 3qbx
per x=0 --> M= -3qb²
per x=b --> M= 0
Mi sembra che torni tutto...
Penso e spero di aver capito, se vuoi possiamo passare all'asta inclinata.
Grazie infinite.
Nel caso specifico con le HB e VB calcolate e con le convenzioni indicate:
Considerando che guardo sempre a sinistra della sezione e considerando dove hai messo tu le sezioni:
tratto BC:
N= +3qb
T= -3qb
M= -3qbx
per x=0 --> M=0
per x=b --> M= -3qb²
tratto CF:
N= +3qb
T= +3qb
M= -3qbb + 3qbx
per x=0 --> M= -3qb²
per x=b --> M= 0
Mi sembra che torni tutto...
Penso e spero di aver capito, se vuoi possiamo passare all'asta inclinata.
Grazie infinite.
Perfetto, tutto giusto .
Praticamente si.
Passiamo allora all'asta inclinata $BD$. Non devi fare niente di diverso rispetto a quello che hai fatto fin ora. L'unica cosa che bisogna fare è decidere l'orientamento dell'ascissa $x$, ovvero decidere se:
- mantenere la $x$ orizzontale (o verticale);
- orientarlo lungo la stessa direzione dell'asta;
Solitamente si prefisce di orientare la $x$ come l'asta, in quanto viene più comodo per la valutazione delle sollecitazioni.
A questo punto procedi come sai: fai la sezione, guardi a sinistra o destra e, secondo le convenzioni, calcoli sforzo normale, taglio e momento.
."ingyoung":
in pratica devo studiarla pezzo per pezzo (BC e poi CF) però considerando che sia un'asta unica.
Praticamente si.
Passiamo allora all'asta inclinata $BD$. Non devi fare niente di diverso rispetto a quello che hai fatto fin ora. L'unica cosa che bisogna fare è decidere l'orientamento dell'ascissa $x$, ovvero decidere se:
- mantenere la $x$ orizzontale (o verticale);
- orientarlo lungo la stessa direzione dell'asta;
Solitamente si prefisce di orientare la $x$ come l'asta, in quanto viene più comodo per la valutazione delle sollecitazioni.
A questo punto procedi come sai: fai la sezione, guardi a sinistra o destra e, secondo le convenzioni, calcoli sforzo normale, taglio e momento.
Ok... ma orientando la x come l'asta, poi devo considerare le forze perpendicolari (quelle di taglio) e parallele (quelle assiali) all'asta, invece io le ho perpendicolari e parallele al sistema di riferimento...
Nello specifico, nell'ultima struttura che abbiamo visto:
Risolvendo l'arco a 3 cerniere, tramite le equazioni cardinali della statica ed equilibrio rispetto a F mi trovavo in questa situazione:
Risolto questo, vado a inserire le forze opposte nella struttura di origine:
A questo punto se non sbaglio dovrei percorrere l'asta (che di fatto è unica da A fino a G) partendo da AB, poi BD, poi DG e infine l'altra asta GH.
Il problema è su BD, perché io ho questa situazione:
l'asta penso sia inclinata a 45° (?) ma le forze non sono inclinate e quindi parallele (o perpendicolari) alla x... non so se sono riuscito a spiegarmi...
Nello specifico, nell'ultima struttura che abbiamo visto:
Risolvendo l'arco a 3 cerniere, tramite le equazioni cardinali della statica ed equilibrio rispetto a F mi trovavo in questa situazione:
Risolto questo, vado a inserire le forze opposte nella struttura di origine:
A questo punto se non sbaglio dovrei percorrere l'asta (che di fatto è unica da A fino a G) partendo da AB, poi BD, poi DG e infine l'altra asta GH.
Il problema è su BD, perché io ho questa situazione:
l'asta penso sia inclinata a 45° (?) ma le forze non sono inclinate e quindi parallele (o perpendicolari) alla x... non so se sono riuscito a spiegarmi...
Si, ti sei spiegato.
In questo caso in effetti non so quale sia la scelta più conveniente. Orientare l'asse $x$ come l'asta è conveniente quando l'asta è un tratto "isolato" cioè vincolato alle estremità, inclinato di $45°$ e le reazioni hanno uguale componente orizzontale e verticale.
Nel tuo caso però credo che conviene lasciare la $x$ orizzontale, altrimenti viene un pò confusionario individuare i bracci dei momenti, senza considerare poi quello che hai detto tu, e cioè che le forze non sono inclinate. Direi quindi che forse è meglio lasciare orizzontale la $x$ e, per il calcolo delle sollecitazioni, guardare a sinistra delle sezione fatta in $BD$, in quanto è più conveniente (guardando a destra infatti dovresti considerare anche il carico distribuito sul tratto $DG$).
Se incontri difficoltà ovviamente chiedi.
Ciao.
P.S. Si, l'asta è inclinata di $45°$ dal momento che risulta l'ipotenusa di un triangolo di cateti di lunghezza uguale $b$.
In questo caso in effetti non so quale sia la scelta più conveniente. Orientare l'asse $x$ come l'asta è conveniente quando l'asta è un tratto "isolato" cioè vincolato alle estremità, inclinato di $45°$ e le reazioni hanno uguale componente orizzontale e verticale.
Nel tuo caso però credo che conviene lasciare la $x$ orizzontale, altrimenti viene un pò confusionario individuare i bracci dei momenti, senza considerare poi quello che hai detto tu, e cioè che le forze non sono inclinate. Direi quindi che forse è meglio lasciare orizzontale la $x$ e, per il calcolo delle sollecitazioni, guardare a sinistra delle sezione fatta in $BD$, in quanto è più conveniente (guardando a destra infatti dovresti considerare anche il carico distribuito sul tratto $DG$).
Se incontri difficoltà ovviamente chiedi.
Ciao.
P.S. Si, l'asta è inclinata di $45°$ dal momento che risulta l'ipotenusa di un triangolo di cateti di lunghezza uguale $b$.
Ok... ma con la x orizzontale ho questa situazione:
Prendo una generica sezione e guardo a sinistra (come al solito).
Non capisco se devo considerare per esempio come assiale le 2 forze 3qb/sin45° oppure devo trovare la risultante delle 2?
Grazie mille!
Prendo una generica sezione e guardo a sinistra (come al solito).
Non capisco se devo considerare per esempio come assiale le 2 forze 3qb/sin45° oppure devo trovare la risultante delle 2?
Grazie mille!
"ingyoung":
Non capisco se devo considerare per esempio come assiale le 2 forze 3qb/sin45° oppure devo trovare la risultante delle 2?
Puoi considerare la risultante, oppure considerare le forze $3qb * \sin 45$. Se comunque consideri la risultante, ti accorgi che questa ti viene ortogonale al tratto, quindi non dà contributo allo sforzo assiale, ma solo al taglio.
Poi ti volevo dire che, riflettendo con più calma, non cambia molto se consideri l'asse $x$ inclinato o orizzontale, perchè in effetti, per valutare sforzo normale e taglio nell'asta $BD$, è necessario scomporre tutte le forze (a destra o a sinistra della sezione che effettui) lungo due direzioni: una parallela all'asse del tratto (per valutare lo sforzo normale) e una ortogonale all'asse del tratto (per valutare il taglio e il momento). E questo bisogna farlo indipendentemente dall'inclinazione della $x$.
Ciò che cambia invece, fra la $x$ inclinata e non inclinata, sono i bracci per i momenti, ma questo lo vediamo dopo.
Quello che bisogna fare quindi è scomporre tutte le forze lungo le due direzioni che ti ho detto. Se decidi di guardare a sinistra, le forze da scomporre sono:
- la reazione verticale $V_B$
- la reazione orizzontale $H_B$;
- la reazione verticale $V_A$;
- la reazione orizzontale $H_A$;
In alternativa puoi sommare le reazioni della cerniera $V_B$ e $H_B$, ottenendo il risultante $R_B$ e della cerniera $V_A$ e $H_A$, ottenendo il risultante $R_A$; in questo modo, sempre a sinistra, dovrai scomporre solo:
- $R_B$
- $R_A$
quindi in totale avrai solo due forze, a differenza delle quattro di prima. In questo caso però potrebbe risultare scomoda la successiva scomposizione della risultante $R_A$, perchè non sai che angolo forma rispetto alle direzioni lungo cui devi scomporre*; la $R_B$ invece non dà problemi, perchè a inizio post hai visto che viene ortogonale al tratto.
Questo problema di angolo comunque nel primo caso non c'è, perchè l'angolo che le reazioni formano vale sempre $45°$.
Per farti capire meglio quello che bisogna fare ti faccio un esempio sulle reazioni della cerniera:
Quindi si sono ottenute:
- La $H_B^((p))$ e la $V_B^((p))$, cioè la quota parte della reazioni $H_B$ e $V_B$ che contribuiscono allo sforzo normale per il tratto $BD$ (essendo dirette lungo l'asse del tratto);
- La $H_B^((o))$ e la $V_B^((o))$, cioè la quota parte della reazioni $H_B$ e $V_B$ che contribuiscono al taglio per il tratto $BD$ (essendo dirette ortogonalmebte al tratto);
Queste forze valgono:
$H_B^((p)) = - 3qb * sqrt(2)/2 = - (3 sqrt(2))/2 qb$
$H_B^((o)) = - 3qb * sqrt(2)/2 = - (3 sqrt(2))/2 qb$
$V_B^((p)) = 3qb * sqrt(2)/2 = (3 sqrt(2))/2 qb$
$V_B^((o)) = - 3qb * sqrt(2)/2 = - (3 sqrt(2))/2 qb$
Ovviamente sono tutte uguali perchè sono uguali $H_B$ e $V_B$ e perchè stiamo scomponendo lungo direzioni di $45°$ (infatti $\sin45 = cos 45 = sqrt (2)/2$). I segni invece dipendono dalla convenzione del concio.
Per semplificare un pò la situazione, sommo le forze dirette lungo la stessa direzione:
$H_B^((p)) + V_B^((p)) = - (3 sqrt(2))/2 qb + (3 sqrt(2))/2 qb = 0$
$H_B^((o)) + V_B^((o)) = - (3 sqrt(2))/2 qb + - (3 sqrt(2))/2 qb = - 3 sqrt(2) qb$
Questi stessi ragionamenti si ripetono per le reazioni dell'incastro: $H_A$ e $V_A$.
Una volta scomposte tutte le forze (e sommate quelle che hanno la stessa direzione) si procede al calcolo delle sollecitazioni, facendo attenzione soprattutto ai bracci dei momenti.
Se fino a questo punto ci sono problemi dimmelo pure. Una volta che questo è chiaro passiamo alle sollecitazioni.
Ciao.
________________
*Se comunque la reazione $H_A$ e uguale alla $V_A$, allora anche per la risultante non ci sono problemi, perchè l'angolo che forma con la direzione del tratto $BD$ lo possiamo sapere.
Capito benissimo in B... quindi la risultante sarà una forza tagliante, ed è semplicissimo perché le forze essendo identiche, la loro risultante è a 45°, giusto?
Il problema è nel nostro caso perché in A ho le 2 reazioni vincolari che valgono rispettivamente 4qb verso destra e qb verso l'alto, quindi sono diverse tra loro e la loro risultante non forma un angolo di 45°.
Comunque nel caso del tratto BD, poi per i momenti, considero la x inclinata e utilizzo solo la risultante?
grazie ancora...
Il problema è nel nostro caso perché in A ho le 2 reazioni vincolari che valgono rispettivamente 4qb verso destra e qb verso l'alto, quindi sono diverse tra loro e la loro risultante non forma un angolo di 45°.
Comunque nel caso del tratto BD, poi per i momenti, considero la x inclinata e utilizzo solo la risultante?
grazie ancora...
"ingyoung":
Capito benissimo in B... quindi la risultante sarà una forza tagliante, ed è semplicissimo perché le forze essendo identiche, la loro risultante è a 45°, giusto?
Esattamente.
"ingyoung":
Il problema è nel nostro caso perché in A ho le 2 reazioni vincolari che valgono rispettivamente 4qb verso destra e qb verso l'alto, quindi sono diverse tra loro e la loro risultante non forma un angolo di 45°.
Era proprio questo quello di cui avevo "paura". Vabbè, si tratterà di fare qualche conto.
"ingyoung":
Comunque nel caso del tratto BD, poi per i momenti, considero la x inclinata e utilizzo solo la risultante?
Si, conviene considerare la $x$ inclinata, sennò si complica leggermente il braccio.
Si, puoi utilizzare direttamente la risultante in $B$, anzi credo che conviene. In $A$ credo che non conviene invece considerare la risulante, perchè dovresti comporre $4qb$ e $qb$ per poi scomporre la risultante ottenuta lungo le due direzioni che ci interessano (scomposizione che non sarà immediata perchè l'angolo che formerà la risultante rispetto alle direzioni sicuramente non sarà $45°$). A questo punto secondo me conviene invece non trovare la risultante, e scomporre le due reazioni.
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