[Scienza delle Costruzioni] Risoluzione struttura iperstatica
Ciao, dovrei risolvere la seguente struttura iperstatica con il metodo delle forze
https://s24.postimg.org/4r20wflat/image.png
Dall'analisi cinematica essa risulta essere una volta iperstatica. Scelgo poi come isostatica di riferimento quella che si ottiene declassando l'incastro a cerniera. Quindi se ho ben capito come funziona il metodo delle forze, l'incognita iperstatica può essere ricavata (sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti) dalla seguente equazione:
$ varphi_D=varphi _D^0=varphi_D (M_D)+varphi_D (mu )+varphi_D (q) $
Il problema sta nel calcolare le tre rotazioni la cui somma deve uguagliare il cedimento angolare anelastico. Per calcolare abbassamenti e rotazioni di travi ad asse rettilineo di solito sfrutto l'equazione della linea elastica, ma non credo vada bene in questo caso. Sbaglio? E in ogni caso quale metodo mi suggerite per calcolare le tre rotazioni?
https://s24.postimg.org/4r20wflat/image.png
Dall'analisi cinematica essa risulta essere una volta iperstatica. Scelgo poi come isostatica di riferimento quella che si ottiene declassando l'incastro a cerniera. Quindi se ho ben capito come funziona il metodo delle forze, l'incognita iperstatica può essere ricavata (sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti) dalla seguente equazione:
$ varphi_D=varphi _D^0=varphi_D (M_D)+varphi_D (mu )+varphi_D (q) $
Il problema sta nel calcolare le tre rotazioni la cui somma deve uguagliare il cedimento angolare anelastico. Per calcolare abbassamenti e rotazioni di travi ad asse rettilineo di solito sfrutto l'equazione della linea elastica, ma non credo vada bene in questo caso. Sbaglio? E in ogni caso quale metodo mi suggerite per calcolare le tre rotazioni?
Risposte
"Super Squirrel":
. Scelgo poi come isostatica di riferimento quella che si ottiene declassando l'incastro a cerniera.
dove lo vedi l'incastro?
la tua struttura è iperstatica perchè è una volta labile.. $l=i$ è consentita la traslazione orizzontale $l=1$ implica $i=1$
inoltre ammette soluzione per la particolare condizione di carico, non hai forze orizzontali che innescano movimenti
quindi puoi trovare tra le infinite soluzioni equilibrate l'unica congruente
quindi puoi trovare tra le infinite soluzioni equilibrate l'unica congruente
dove lo vedi l'incastro?
Uhm... non so se ho utilizzato una convenzione grafica errata, ma quello in "D" è un incastro cedevole anelasticamente.
Da cui
i = l + 1 = 1
infatti, poichè non esiste il centro relativo, i due corpi possono essere visti come un unico corpo ed essendo incastrato a terra sarà l = 0.
in $D$ cosa c'è un incastro o un doppio bipendolo?
ok perfetto è un incastro lo declassi a cerniera e prendi come reazione iperstatica il momento in $D$
Mi sembra di capire di aver impostato correttamente il problema, è già un inizio.
In ogni caso il problema è nel metodo da utilizzare per trovare le tre rotazioni in "D" dovute alle due coppie e al carico distribuito. Da quanto ho capito linea elastica e corollari di mohr si possono usare solo per travi ad asse rettilineo.
In ogni caso il problema è nel metodo da utilizzare per trovare le tre rotazioni in "D" dovute alle due coppie e al carico distribuito. Da quanto ho capito linea elastica e corollari di mohr si possono usare solo per travi ad asse rettilineo.
si meglio il metodo delle forze
io, però, più che prendere il momento in $D$ come incognita iperstatica prenderei la reazione del pendolo $EB$ che avrà sicuramente un azione puramente assiale.
perché nell'impostare l'equazione derivante dal metodo delle forze (io uso di solito il principio di Muller Breslau https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCll ... _principle) il lavoro prodotto dalla distorsione angolare mi campare al secondo termine dell'equazione come lavoro esterno cioè :
$\eta_(10) + x * \eta_(11) = \phi_(0)$
dai un occhio a questa pagina ultimo esempio
http://www.strutture.unipg.it/scienza/r ... o8/8_2.htm
io, però, più che prendere il momento in $D$ come incognita iperstatica prenderei la reazione del pendolo $EB$ che avrà sicuramente un azione puramente assiale.
perché nell'impostare l'equazione derivante dal metodo delle forze (io uso di solito il principio di Muller Breslau https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCll ... _principle) il lavoro prodotto dalla distorsione angolare mi campare al secondo termine dell'equazione come lavoro esterno cioè :
$\eta_(10) + x * \eta_(11) = \phi_(0)$
dai un occhio a questa pagina ultimo esempio
http://www.strutture.unipg.it/scienza/r ... o8/8_2.htm
Prima di prendere iniziative personali ho contattato il prof per chiedergli se per il calcolo di $ varphi_D $ dovessi usare un metodo in particolare. Mi ha detto che devo usare il PLV ed inoltre ha aggiunto un dato al problema, ossia per il pendolo $ BE $ deve essere $ EA!= oo $ .
Ecco la struttura:
Cercando in giro ho trovato la seguente formulazione del plv nel caso di sistema monodimensionale piano (in assenza di distorsioni):
$ F^f*eta ^r +sum_(j=1)^(m)R_j^f*(Delta _j^r-varepsilon_j*R_j^r)=int_(S)(N^f*N^r)/(EA)ds+int_(S)(T^f*T^r*chi )/(GA)ds+int_(S)(M^f*M^r)/(EI)ds $
Il problema è che non è spiegato il significato di tutti i termini, in particolare:
- il termine $ (Delta _j^r-varepsilon_j*R_j^r) $ cosa rappresenta? Visto che dimensionalmente dovrebbe essere una lunghezza credo sia legato al cedimento dello $ j-esimo $ vincolo del sistema reale. In particolare $ varepsilon*R $ dovrebbe essere l'aliquota elastica del cedimento (con $ varepsilon $ cedibilità elastica); invece $ Delta $ cos'è?
- il termine $ I $ è il momento d'inerzia della sezione rispetto a quale asse?
- il termine $ chi $ cosa rappresenta?
Ho inoltre altri due dubbi:
- come faccio a capire quando $ N $ e $ T $ sono trascurabili respetto a $ M $?
- come dovrei sfruttare il dato $ EA!= oo $ ? Credo c'entri con la rigidezza assiale e il cedimento elastico del pendolo.
Ecco la struttura:
Cercando in giro ho trovato la seguente formulazione del plv nel caso di sistema monodimensionale piano (in assenza di distorsioni):
$ F^f*eta ^r +sum_(j=1)^(m)R_j^f*(Delta _j^r-varepsilon_j*R_j^r)=int_(S)(N^f*N^r)/(EA)ds+int_(S)(T^f*T^r*chi )/(GA)ds+int_(S)(M^f*M^r)/(EI)ds $
Il problema è che non è spiegato il significato di tutti i termini, in particolare:
- il termine $ (Delta _j^r-varepsilon_j*R_j^r) $ cosa rappresenta? Visto che dimensionalmente dovrebbe essere una lunghezza credo sia legato al cedimento dello $ j-esimo $ vincolo del sistema reale. In particolare $ varepsilon*R $ dovrebbe essere l'aliquota elastica del cedimento (con $ varepsilon $ cedibilità elastica); invece $ Delta $ cos'è?
- il termine $ I $ è il momento d'inerzia della sezione rispetto a quale asse?
- il termine $ chi $ cosa rappresenta?
Ho inoltre altri due dubbi:
- come faccio a capire quando $ N $ e $ T $ sono trascurabili respetto a $ M $?
- come dovrei sfruttare il dato $ EA!= oo $ ? Credo c'entri con la rigidezza assiale e il cedimento elastico del pendolo.
Alla fine ho impostato il problema nel seguente modo:
dove:
- $ X'=1 $ è la coppia unitaria antioraria applicata nel punto $ D $ del sistema fittizio;
- l'apice $ ' $ si riferisce al pendolo $ BE $ che immagino possa in generale essere costituito da un materiale diverso rispetto al resto della struttura e avere un sezione diversa.
Avrei alcuni dubbi:
- il problema è stato impostato correttamente? i segni relativi ai due termini del lavoro esterno sono corretti?
- tralasciando il fatto che il professore non mi abbia dato nessuna informazione circa il materiale di cui è costituita la struttura, è giusta la distinzione fatta tra la struttura e il pendolo? nel senso che il pendolo non deve essere fatto necessariamente dello stesso materiale della struttura o avere la stessa sezione, giusto?
- con $ I $ si intende il momento d'inerzia della sezione rispetto a quale asse?
- $ varphi^0 $ mi è stata fornita in gradi, nella formula in che unità di misura dovrei inserirla? radianti?
edit: aggiornata la terza immagine, mancava una parte.
dove:
- $ X'=1 $ è la coppia unitaria antioraria applicata nel punto $ D $ del sistema fittizio;
- l'apice $ ' $ si riferisce al pendolo $ BE $ che immagino possa in generale essere costituito da un materiale diverso rispetto al resto della struttura e avere un sezione diversa.
Avrei alcuni dubbi:
- il problema è stato impostato correttamente? i segni relativi ai due termini del lavoro esterno sono corretti?
- tralasciando il fatto che il professore non mi abbia dato nessuna informazione circa il materiale di cui è costituita la struttura, è giusta la distinzione fatta tra la struttura e il pendolo? nel senso che il pendolo non deve essere fatto necessariamente dello stesso materiale della struttura o avere la stessa sezione, giusto?
- con $ I $ si intende il momento d'inerzia della sezione rispetto a quale asse?
- $ varphi^0 $ mi è stata fornita in gradi, nella formula in che unità di misura dovrei inserirla? radianti?
edit: aggiornata la terza immagine, mancava una parte.
Lasciando perdere i precedenti post (in quanto alcuni dubbi sono riusciti a risolverli), pongo la mia domanda da capo.
Dovrei risolvere la seguente struttura una volta iperstatica con il metodo delle forze:
Ho scelto come isostatica principale la struttura che si ottiene declassando l'incastro in a cerniera e aggiungendo alle forze esterne una coppia antioraria $ X $ in $ D $. Per scrivere l'equazione di congruenza che mi permetta di trovare l'incognita iperstatica $ X $ utilizzo il PLV.
Il lavoro interno lo ottengo semplicemente come
dove con l'apice $ r $ mi riferisco alla struttura reale (ossia l'isostatica principale) e con $ f $ a quella fittizia (ossia l'isostatica principale su cui agisce come forza esterna la sola coppia antioraria unitaria in $ D $). $ S $ invece costituisce l'intera linea d'asse della struttura.
Il problema invece sorge per il calcolo del lavoro esterno. Esso dovrebbe essere pari alla somma delle forze che agiscono sulla struttura fittizia per lo spostamento dei rispettivi punti di applicazione nella struttura reale.
Quindi un primo addendo sarà dato dal prodotto della coppia unitaria per il cedimento anelastico angolare in $ D $; tale termine andrà preso col segno meno in quanto forza e spostamento hanno verso opposto. Ossia:
$ -1*varphi ^0 $
Per quanto riguarda il secondo addendo invece non sono sicuro, ma penso sia dato dal prodotto della reazione del pendolo $ BE $ della struttura fittizia per la variazione di lunghezza del pendolo $ BE $ nella struttura reale, giusto? La reazione fittizia del pendolo $ BE $ risulta nota sia in modulo che in verso, come trovo invece la variazione di lunghezza del pendolo? Io avrei pensato (sempre in riferimento alla variazione di lunghezza del pendolo) ad una cosa del genere:
dove $ (EA)/l $ è la rigidezza assiale del pendolo, $ R_(BE)^r $ è la reazione vincolare del pendolo nella struttura reale (quindi è funzione di $X$), il $2$ l'ho messo per tenere in considerazione sia lo spostamento del punto $B$ che del punto $E$ (essendo il pendolo $BE$ un vincolo interno), e infine il meno poichè il cedimento vincolare ha sempre la direzione opposta alla reazione vincolare che lo genera.
E' corretto il ragionamento?
Se svolgo i calcoli inoltre mi trovo che $X$ è negativa, ossia ha verso opposto a quello antiorario assegnato. Quindi la coppia in $D$ finirebbe per avere lo stesso verso del cedimento angolare anelastico $varphi ^0$ e non credo sia corretto in quanto, come detto prima, il cedimento vincolare ha sempre la direzione opposta alla reazione vincolare che lo genera.
Dovrei risolvere la seguente struttura una volta iperstatica con il metodo delle forze:
Ho scelto come isostatica principale la struttura che si ottiene declassando l'incastro in a cerniera e aggiungendo alle forze esterne una coppia antioraria $ X $ in $ D $. Per scrivere l'equazione di congruenza che mi permetta di trovare l'incognita iperstatica $ X $ utilizzo il PLV.
Il lavoro interno lo ottengo semplicemente come
dove con l'apice $ r $ mi riferisco alla struttura reale (ossia l'isostatica principale) e con $ f $ a quella fittizia (ossia l'isostatica principale su cui agisce come forza esterna la sola coppia antioraria unitaria in $ D $). $ S $ invece costituisce l'intera linea d'asse della struttura.
Il problema invece sorge per il calcolo del lavoro esterno. Esso dovrebbe essere pari alla somma delle forze che agiscono sulla struttura fittizia per lo spostamento dei rispettivi punti di applicazione nella struttura reale.
Quindi un primo addendo sarà dato dal prodotto della coppia unitaria per il cedimento anelastico angolare in $ D $; tale termine andrà preso col segno meno in quanto forza e spostamento hanno verso opposto. Ossia:
$ -1*varphi ^0 $
Per quanto riguarda il secondo addendo invece non sono sicuro, ma penso sia dato dal prodotto della reazione del pendolo $ BE $ della struttura fittizia per la variazione di lunghezza del pendolo $ BE $ nella struttura reale, giusto? La reazione fittizia del pendolo $ BE $ risulta nota sia in modulo che in verso, come trovo invece la variazione di lunghezza del pendolo? Io avrei pensato (sempre in riferimento alla variazione di lunghezza del pendolo) ad una cosa del genere:
dove $ (EA)/l $ è la rigidezza assiale del pendolo, $ R_(BE)^r $ è la reazione vincolare del pendolo nella struttura reale (quindi è funzione di $X$), il $2$ l'ho messo per tenere in considerazione sia lo spostamento del punto $B$ che del punto $E$ (essendo il pendolo $BE$ un vincolo interno), e infine il meno poichè il cedimento vincolare ha sempre la direzione opposta alla reazione vincolare che lo genera.
E' corretto il ragionamento?
Se svolgo i calcoli inoltre mi trovo che $X$ è negativa, ossia ha verso opposto a quello antiorario assegnato. Quindi la coppia in $D$ finirebbe per avere lo stesso verso del cedimento angolare anelastico $varphi ^0$ e non credo sia corretto in quanto, come detto prima, il cedimento vincolare ha sempre la direzione opposta alla reazione vincolare che lo genera.
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