[Scienza delle Costruzioni] Problema elastico lineare
Salve a tutti,
all'inizio del problema elastico sul libro passa da un modello 3D del solido a quello 1D ipotizzando quindi che una dimensione sia molto maggiore rispetto alle altre due, a questo punto dice:
L'unico passaggio che non riesco a capire è perché passiamo dal vettore delle tensioni, al vettore Q; mi spiego meglio dato che le componenti del tensore di tensione sono forze per unità di superficie e integrandole opportunamente otterremo il Taglio, il Momento o lo Sforzo Normale, ossia:
$N=int \sigma_z dA$
$T_x= int \tau_{xz} dA$
$T_y= int \tau_{yz} dA$
$M_x= int(\sigma_z *y) dA$
$M_y= int\(sigma_z *x) dA$
$M_z= int (\tau_{yz} *x - \tau_{xz}*y) dA$
....come fa a dire che il corrispettivo di una forma differenziale in 3D è una forma integrale in 1D ? il corrispettivo in 1D non dovrebbe essere una forma differenziale ?
P.S. dato che i tensori $\epsilon$ e $\sigma$ sono simmetrici li scrive come vettori
Spero di essere stato almeno un minimo chiaro. Ringrazio a priori chiunque mi dia una mano
all'inizio del problema elastico sul libro passa da un modello 3D del solido a quello 1D ipotizzando quindi che una dimensione sia molto maggiore rispetto alle altre due, a questo punto dice:
L'unico passaggio che non riesco a capire è perché passiamo dal vettore delle tensioni, al vettore Q; mi spiego meglio dato che le componenti del tensore di tensione sono forze per unità di superficie e integrandole opportunamente otterremo il Taglio, il Momento o lo Sforzo Normale, ossia:
$N=int \sigma_z dA$
$T_x= int \tau_{xz} dA$
$T_y= int \tau_{yz} dA$
$M_x= int(\sigma_z *y) dA$
$M_y= int\(sigma_z *x) dA$
$M_z= int (\tau_{yz} *x - \tau_{xz}*y) dA$
....come fa a dire che il corrispettivo di una forma differenziale in 3D è una forma integrale in 1D ? il corrispettivo in 1D non dovrebbe essere una forma differenziale ?
P.S. dato che i tensori $\epsilon$ e $\sigma$ sono simmetrici li scrive come vettori
Spero di essere stato almeno un minimo chiaro. Ringrazio a priori chiunque mi dia una mano
Risposte
Non c'è nessun corrispettivo, e nessun passaggio, sono due cose totalmente diverse, uno è il modello di continuo di cauchy, l'altro è un modello di continuo unidimensioanale...ce ne sono tanti, nel tuo caso non hanno neanche specificato che modello è (in generale il modello per travi è la trave di Timoshenko, che si può allungare, distorcere e flettere...se invece si può solo flettere, si parla di trave di Eulero-Bernouli)
In un modello di trave unidimensionale ci interessa sapere le caratteristiche di sollecitazione N, T, M su ogni sezione, come queste determinino le tensioni $sigma$ sulla trave è compito della teoria di dsv
In un modello di trave unidimensionale ci interessa sapere le caratteristiche di sollecitazione N, T, M su ogni sezione, come queste determinino le tensioni $sigma$ sulla trave è compito della teoria di dsv
Perché non possiamo considerare il caso di trave unidimensionale come un sottocaso del modello tridimensionale di Cauchy ?
Perché sono due cose molto diverse. Nel continuo di cauchy un corpo è costituito da una infinità non numerabile di punti materiali che possono scambiarsi solo forze e non momenti (vedi ipotesi di cauchy), nei modelli di trave in genere la trave è un continuo costituito da una infinità di sezioni rigide che possono scambiarsi forze e momenti.
I modelli di travi sono sottocasi dei "continui di Cosserat" per essere piú precisi, ossia continui i cui elementi materiali non sono punti materiali ma veri e propri corpetti rigidi capaci di rotazioni relative tra loro
Vero nel continuo di Cauchy si postula l'assenza di micro-coppie ! Nella teoria di Cosserat invece ci sono !
Non avevo dato molta importanza a questa cosa, che invece è fondamentale !
Quindi nel modello di trave di Cosserat le sezioni si scambiano N,M e T (che sono legate alle tensioni mediante la teoria del DSV)
Mentre nel continuo di Cauchy le sezioni si scambiano delle tensioni
Giusto ?
Non avevo dato molta importanza a questa cosa, che invece è fondamentale !
Quindi nel modello di trave di Cosserat le sezioni si scambiano N,M e T (che sono legate alle tensioni mediante la teoria del DSV)
Mentre nel continuo di Cauchy le sezioni si scambiano delle tensioni
Giusto ?
No, nel modello di cauchy non ci sono sezioni, ma punti materiali, in quello di cosserat ci sono dei "corpetti rigidi"...nel caso delle travi questi corpetti sono le sezioni, che si comportano durante la deformazione come dei corpi rigidi, questo perché nelle travi quello che ci interessa studiare sono le sezioni, è inutile fare uno schema alla cauchy.
Quindi in pratica nel modello di Cauchy le tensioni e le deformazioni dipendono da ogni punto, cioè a variare del punto cambiano (dipendono dal punto e dalla superficie di separazione t(P,n))
mentre per Cosserat le tensioni e le deformazioni dipendono da ogni sezione ( e poi mediante DSV abbiamo il collegamento tra tensioni e le caratteristiche della sollecitazione)
Scusa se insisto ma vorrei capire bene questa cosa !!
mentre per Cosserat le tensioni e le deformazioni dipendono da ogni sezione ( e poi mediante DSV abbiamo il collegamento tra tensioni e le caratteristiche della sollecitazione)
Scusa se insisto ma vorrei capire bene questa cosa !!
Si, quando non ci interessa sapere cosa succede nei punti della sezione ma solo il comportamento globale della sezione, la trattiamo come una sezione rigida e troviamo N, T, M, una volta trovati prendiamo la sezione e la consideriamo come un continuo di cauchy su cui agiscono le azioni N, T e M e tramite dsv si trovano le tensioni in ogni punto. Facciamo uso di diversi modelli perché nella realtà nessuno di essi rispecchia il corpo vero, quindi a seconda dei casi si usa quello più conveniente.
Ok grazie mille per la spiegazione !!
Tutte queste cose più in dettaglio che sono molto interessanti, si trovano nel libro (fondamenti di meccanica) che mi hai consigliato ? perché appena dato l'esame vorrei comprarlo !
Tutte queste cose più in dettaglio che sono molto interessanti, si trovano nel libro (fondamenti di meccanica) che mi hai consigliato ? perché appena dato l'esame vorrei comprarlo !
C'è la parte sui modelli di trave sviluppata in modo rigorso, ma quelle menate sul fatto che nessun modello rispecchia la realtà etc no 
, ce ne ha parlato a lezione (il mio prof. era l'autore di quel libro, anzi è, perché adesso sto seguendo un corso di meccanica teorica, in cui si analizzano i cosiddetti "corpi complessi", ossia corpi in cui il modello di cauchy è insufficiente per descriverli, per esempio corpi ferromagnetici, dielettrici, quasicristalli, cristalli liquidi, compositi...dello stesso prof)
, ce ne ha parlato a lezione (il mio prof. era l'autore di quel libro, anzi è, perché adesso sto seguendo un corso di meccanica teorica, in cui si analizzano i cosiddetti "corpi complessi", ossia corpi in cui il modello di cauchy è insufficiente per descriverli, per esempio corpi ferromagnetici, dielettrici, quasicristalli, cristalli liquidi, compositi...dello stesso prof)
Ah ok !
Andando avanti con la lezione ho visto una cosa strana
dove parla del campo di spostamenti del punto P, da quello che sapevo le fibre dell'asse baricentrico non variano di lunghezza cioè non dovrebbero subire spostamento in direzione z
eppure lui scrive che G si sposta verso il basso di $v_G$ e questo è chiaro ! ma anche verso destra di $w_G$ come è possibile ?
Andando avanti con la lezione ho visto una cosa strana
dove parla del campo di spostamenti del punto P, da quello che sapevo le fibre dell'asse baricentrico non variano di lunghezza cioè non dovrebbero subire spostamento in direzione z
eppure lui scrive che G si sposta verso il basso di $v_G$ e questo è chiaro ! ma anche verso destra di $w_G$ come è possibile ?
E chi l'ha detto che le fibre dell'asse baricentrico non variano di lunghezza?
Non variano solo lungo y ? Cioè la fibra centrale non si abbassa solo di una certa quantità ?
Quello che intendevo e penso di averlo scritto male, era che le fibre sopra e sotto rispetto alla centrale sono tese o compresse; invece quella centrale dovrebbero solo abbassarsi di una certa quantità (descrivendo una sorta di arco)
Quello che intendevo e penso di averlo scritto male, era che le fibre sopra e sotto rispetto alla centrale sono tese o compresse; invece quella centrale dovrebbero solo abbassarsi di una certa quantità (descrivendo una sorta di arco)
Se te prendi una trave dritta di lunghezza $l$, ci applichi unno sforzo normale di trazione N, la trave di allunga di una quantità $(Nl)/(EA)$...tutta la trave, pure la fibra baricentrale, perché mai quella non dovrebbe allungarsi
Quindi non è applicato solo un momento flettente,questo intendi ?
E perché mai solo momento flettente, questa è la cinematica di una trave che si puó allungare o acccorciare (a causa di N), distorcere (a causa di T) e flettersi (a causa di M), è la trave di Timoshenko (queste sono ke relazioni che usi/userai nella risoluzione delle iperstatiche oer il calcolo del lavoro virtuale interno). Se invece consideri una trave che puó solo flettersi a flessione, ottieni la trave di Eulero (che permette di determinare la deformata della trave, ossia la forma che assume la trave esposta a certi carichi).
Ok sei stato chiarissimo ! Grazie mille !
le eq che otteniamo dalla meccanica del continuo come ad esempio l'eq indefinite di equilibrio:
$[\del]^T {\sigma} +{F} ={0}$
nel caso 1D vengono chiamate lo stesso equazioni indefinite di equilibrio però la forma è completamente diversa;
$[ ( d/dz , 0 , 0 ),( 0 , d/dz , 0 ),( -1 , 0 , d/dz ) ] [ ( T ),( N ),(M) ] + [ ( q ),( p ),(m) ] = [ ( 0 ),( 0),(0) ] $
la domanda che volevo farti è
si chiamano entrambe equazioni indefinite di equilibro solo perché riguardano l'equilibrio statico giusto ?
cioè ad esempio l'eq di equilibrio in 1D le ricava facendo l'equilibrio del concio
l'eq costitutive in 1D le ricava usando il solido di DSV
l'eq cinematiche in 1D le ricava usando le equazioni di congruenza in 3D andando a sostituire alcuni valori uguali a zero (ossia le derivate rispetto ad x e gli spostamenti lungo x)
cioè è come se ognuna viene presa da una parte diversa
_____________________________________________________________-
Penso di aver capito, le equazioni ricavate dalla meccanica del continuo come hai detto prima sono eq puntuali, adesso stiamo usando eq a livello della sezione e non a livello del punto
$[\del]^T {\sigma} +{F} ={0}$
nel caso 1D vengono chiamate lo stesso equazioni indefinite di equilibrio però la forma è completamente diversa;
$[ ( d/dz , 0 , 0 ),( 0 , d/dz , 0 ),( -1 , 0 , d/dz ) ] [ ( T ),( N ),(M) ] + [ ( q ),( p ),(m) ] = [ ( 0 ),( 0),(0) ] $
la domanda che volevo farti è
si chiamano entrambe equazioni indefinite di equilibro solo perché riguardano l'equilibrio statico giusto ?
cioè ad esempio l'eq di equilibrio in 1D le ricava facendo l'equilibrio del concio
l'eq costitutive in 1D le ricava usando il solido di DSV
l'eq cinematiche in 1D le ricava usando le equazioni di congruenza in 3D andando a sostituire alcuni valori uguali a zero (ossia le derivate rispetto ad x e gli spostamenti lungo x)
cioè è come se ognuna viene presa da una parte diversa
_____________________________________________________________-
Penso di aver capito, le equazioni ricavate dalla meccanica del continuo come hai detto prima sono eq puntuali, adesso stiamo usando eq a livello della sezione e non a livello del punto
Non ha nessuna importanza che forma assumino le equazioni di bilancio (equazioni indefinite di equilibrio è un termine antiquato, meglio parlare di bilancio), il loro sigificato è quello appunto di fare un bilancio di una certa quantità. Nel caso dei continui di cauchy 3d quell'equazione che hai scritto è l'equazione di bilancio delle forze punto per punto, mentre l'altra è l'equazione di bilancio delle forze e momenti su ogni sezione...non c'è nessuna differenza...il principio è lo stesso, la somma delle forze totali (incluse quelle d'inerzia nel caso dinamico) deve essere pari a zeri, stessa cosa per i momenti (questo si chiama bilancio)...puoi fare questa cosa per qualsiasi modello di corpo che utilizzi, basta che specifichi in che modo il corpo interagisce con se stesso e l'ambiente.
Ok grazie !!
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