[Scienza delle Costruzioni] Principio dei lavori virtuali per strutture isostatiche
Salve a tutti,
ho un problema riguardo al principio dei lavori virtuali quando vi è presente un momento...mentre se ci sono solo forze concentrate non ho problemi in particolare guardando questo esercizio:
Non riesco a capire solo il termine:
$M \phi$
Come lo ricava? e perché scrive cosi ?
Mentre prima ha fatto la forza per la tangente dell'angolo,il quale poiché è piccolo si ha che la tangente coincide con l'angolo quindi seguendo questo ragionamento ho ottenuto
$V_b *2L \phi$
E
$F*3L \phi$
Quindi se seguo lo stesso ragionamento per il momento farei
$M*L \phi$
Invece non fa così poiché non è una forza concentrata ma un momento e quindi non so proprio come fare...
ho un problema riguardo al principio dei lavori virtuali quando vi è presente un momento...mentre se ci sono solo forze concentrate non ho problemi in particolare guardando questo esercizio:
Non riesco a capire solo il termine:
$M \phi$
Come lo ricava? e perché scrive cosi ?
Mentre prima ha fatto la forza per la tangente dell'angolo,il quale poiché è piccolo si ha che la tangente coincide con l'angolo quindi seguendo questo ragionamento ho ottenuto
$V_b *2L \phi$
E
$F*3L \phi$
Quindi se seguo lo stesso ragionamento per il momento farei
$M*L \phi$
Invece non fa così poiché non è una forza concentrata ma un momento e quindi non so proprio come fare...
Risposte
Le forze fanno lavoro con lo spostamento, i momento fanno lavoro per la rotazione...un modo per vederlo meglio è non considerare i lavori ma le potenze virtuali...ossia immagina di assegnare al punto c una velocuità $v_c$ diretta in basso, l'asta ruoterà con velocità angolare $omega=v_c/l$, ricordando la potenza delle forze e dei momenti agenti su un corpo rigido:
$P=F*v+M*omega$, si trova quella formula data dal libro, in cui appunto non sono date le velocità, ma gli spostamenti in un tempo infinitesimo $dt$ (ossia spostamenti linearizzati) ossia: $eta_c=v_cdt$ ; $phi=omegadt$, la cosa è del tutto equivalente.
$P=F*v+M*omega$, si trova quella formula data dal libro, in cui appunto non sono date le velocità, ma gli spostamenti in un tempo infinitesimo $dt$ (ossia spostamenti linearizzati) ossia: $eta_c=v_cdt$ ; $phi=omegadt$, la cosa è del tutto equivalente.
Innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto!
Questa cosa della potenza non mi è molto chiara purtroppo....io in attesa di un aiuto ho provato a vederla così dimmi se sbaglio:
Dato che il lavoro di una forza è :
$\int dL=\int \vec F \cdot d\vec r=$
Allora posso andare a sostituire (e qui in parte mi trovo con te) sfruttando:
$d\vec r$=essendo la derivata dello spostamento ossia la velocità tangenziale
cioè:
$d\vec r=d\vec \theta \wedge \vec r$
(Da adesso evito di riportare il simbolo di vettore per non impiegare ere nello scrivere tutto xD)
Quindi ho:
$=\int F \cdot (d\theta \wedge r)=$
$=\int (r \wedgeF) \cdot d\theta=$
$=\int M\cdot d\theta$
Se adesso vado a integrare otterrei (essendo M costante lo porto fuori):
$L=M (\theta_{f} - \theta_{i})$
adesso quello che mi chiedo è lecito considerare $L$ e non più $dl$ per il PLV ? Non credo xD
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Un altro modo in cui ho pensato di vederla è così:
Dato che un vincolo semplice ad esempio il carrello esplica una reazione perpendicolare al piano su cui poggia e quindi impone spostamento nullo lungo quella direzione (supponiamo sia n la direzione) cioè il lavoro è nullo lungo quella direzione:
$dL=R \cdot dn = 0 $
(dove con dn ho indicato lo spostamento lungo la direzione $n$)
Allo stesso modo un doppio doppio pendolo impedisce la rotazione e quindi impone un momento tale per cui l'angolo descritto (supponiamo sia $\phi$) sia pari a zero quindi seguendo la formula di sopra scriverò:
$dL= M \cdot \phi = 0$
Ora dimmi se sbaglio e dove sbaglio in entrambi i modi...... perché non riesco a darmi una spiegazione
Questa cosa della potenza non mi è molto chiara purtroppo....io in attesa di un aiuto ho provato a vederla così dimmi se sbaglio:
Dato che il lavoro di una forza è :
$\int dL=\int \vec F \cdot d\vec r=$
Allora posso andare a sostituire (e qui in parte mi trovo con te) sfruttando:
$d\vec r$=essendo la derivata dello spostamento ossia la velocità tangenziale
cioè:
$d\vec r=d\vec \theta \wedge \vec r$
(Da adesso evito di riportare il simbolo di vettore per non impiegare ere nello scrivere tutto xD)
Quindi ho:
$=\int F \cdot (d\theta \wedge r)=$
$=\int (r \wedgeF) \cdot d\theta=$
$=\int M\cdot d\theta$
Se adesso vado a integrare otterrei (essendo M costante lo porto fuori):
$L=M (\theta_{f} - \theta_{i})$
adesso quello che mi chiedo è lecito considerare $L$ e non più $dl$ per il PLV ? Non credo xD
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Un altro modo in cui ho pensato di vederla è così:
Dato che un vincolo semplice ad esempio il carrello esplica una reazione perpendicolare al piano su cui poggia e quindi impone spostamento nullo lungo quella direzione (supponiamo sia n la direzione) cioè il lavoro è nullo lungo quella direzione:
$dL=R \cdot dn = 0 $
(dove con dn ho indicato lo spostamento lungo la direzione $n$)
Allo stesso modo un doppio doppio pendolo impedisce la rotazione e quindi impone un momento tale per cui l'angolo descritto (supponiamo sia $\phi$) sia pari a zero quindi seguendo la formula di sopra scriverò:
$dL= M \cdot \phi = 0$
Ora dimmi se sbaglio e dove sbaglio in entrambi i modi...... perché non riesco a darmi una spiegazione
I lavori da considerare nel principio dei lavori virtuali sono lavori infinitesimi $dL$, quindi togliendo l'integrale ti viene proprio $dL=Md theta$.
Riguardo a ciò che hai scritto nella seconda parte, non capisco dove vuoi arrivare...è ovvio che il carrello impedisce lo spostamento verticale, ma nel principio dei lavori virtuali si sopprime il carrello e gli si sostituisce la sua reazione, in seguito si applica al corpo un spostamento compatibile con i vincoli rimanenti (quindi, dato che il carrello è stato tolto, si può imprimere al corpo uno spostamento verso il basso, che prima era impedito dal carrello) e quindi si impone che il lavoro svolto dalle forze esterno in questo spostamento sia nullo.
Riguardo a ciò che hai scritto nella seconda parte, non capisco dove vuoi arrivare...è ovvio che il carrello impedisce lo spostamento verticale, ma nel principio dei lavori virtuali si sopprime il carrello e gli si sostituisce la sua reazione, in seguito si applica al corpo un spostamento compatibile con i vincoli rimanenti (quindi, dato che il carrello è stato tolto, si può imprimere al corpo uno spostamento verso il basso, che prima era impedito dal carrello) e quindi si impone che il lavoro svolto dalle forze esterno in questo spostamento sia nullo.
Ah ok quindi essendo un angolo infinitesimo va bene $Md\theta$
Anche se in realtà il PLV non lo capisco proprio bene... poiché quest'angolo "virtuale" $\phi$ che abbiamo ottenuto una volta tolto il vincolo, lo sostituiamo con una reazione vincolare che uguaglia l'effetto del vincolo in modo tale che la struttura è labile 1 volta ma per la particolare condizione di carico si trova in equilibrio...detto ciò dato che siamo in equilibrio perché descriviamo questo angolo che è virtuale $\phi$ per trovare la reazione quando in realtà nulla si muove ?
Anche se in realtà il PLV non lo capisco proprio bene... poiché quest'angolo "virtuale" $\phi$ che abbiamo ottenuto una volta tolto il vincolo, lo sostituiamo con una reazione vincolare che uguaglia l'effetto del vincolo in modo tale che la struttura è labile 1 volta ma per la particolare condizione di carico si trova in equilibrio...detto ciò dato che siamo in equilibrio perché descriviamo questo angolo che è virtuale $\phi$ per trovare la reazione quando in realtà nulla si muove ?
No, la reazione vincolare e il vincolo non sono uguali, il vincolo esercita una reazione e impedisce uno spostamento, se si leva il vincolo e gli si sostituisce la sua reazione, il corpo può spostarsi nella direzione impedita inizialmente dal vincolo. Togliendo il vincolo e sostituendoci la reazione, il corpo si trova ancora in equilibrio, ma adesso per trovare quanto vale la reazione possiamo usare il principio dei lavori virtuali, che dice che un corpo rigido è in equilibrio se e solo se il lavoro virtuale delle forze esterne fatto dopo uno spostamento virtuale compatibile con i rimanenti vincoli è uguale a zero...in questo caso abbiamo tolto un carrello, ci abbiamo sostituito la reazione e abbiamo imposto una rotazione dell'asta attorno al punto A (infatti la cerniera in A è ancora presente, quindi lo spostamento del corpo rigido, per quanto detto prima, deve essere compatibile con i vincoli rimanenti, e dato che la cerniera in A impedisce la traslazione del punto A, lo spostamento virtuale del corpo rigido in questione non può che essere una rotazione attorno ad A), quindi il punto A sta fermo mentre tutti gli altri punti, che adesso, avendo tolto il carrello non sono più vincolati, trasleranno verso il basso.
E' proprio questo lo spirito del PLV, abbiamo un corpo IN EQUILIBRIO, nulla si muove, il plv ci dice che, SE SI MUOVESSE (quindi c'è un "se", è per questo che gli spostamenti sono detti virtuali) allora il lavoro fatto dalle forze esterne, in questo spostamento, SAREBBE NULLO.
detto ciò dato che siamo in equilibrio perché descriviamo questo angolo che è virtuale ϕ per trovare la reazione quando in realtà nulla si muove ?
E' proprio questo lo spirito del PLV, abbiamo un corpo IN EQUILIBRIO, nulla si muove, il plv ci dice che, SE SI MUOVESSE (quindi c'è un "se", è per questo che gli spostamenti sono detti virtuali) allora il lavoro fatto dalle forze esterne, in questo spostamento, SAREBBE NULLO.
Ok grazie mille sei stato molto chiaro !
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