[Scienza delle Costruzioni] Principio dei lavori virtuali: dimostrazione
Buongiorno,
ho difficoltà nel capire alcuni passaggi relativi alla "dimostrazione" del principio del lavoro virtuale nel caso di un continuo di Cauchy (continuo deformabile tridimensionale). Ho diviso la dimostrazione in più immagini per motivi di spazio.
- 1° immagine: fin qui, tutto OK.
- 2° immagine: non capisco perché prima si considera solo la parte antisimmetrica del gradiente e poi solo quella simmetrica (vedere anche la 3° immagine).
- 3° immagine: quest'immagine non riguarda la dimostrazione, ma è relativa alla decomposizione del gradiente di cui sopra.
- 4° immagine: tornando alla dimostrazione, OK.
- NB: Infine non ho capito che roba siano, in questo caso, il gradiente e le sue parti simmetrica ed antisimmetrica. Siamo in 3D, per cui lo spostamento è un vettore. Dunque il gradiente sarà un tensore. Invece il libro lo definisce un'applicazione lineare. E soprattutto non capisco quale operazione ci sia dove ho evidenziato in blu nelle immagini precedenti: in alcuni casi c'è il simbolo del prodotto scalare, in altre non c'è nulla.
Grazie.
ho difficoltà nel capire alcuni passaggi relativi alla "dimostrazione" del principio del lavoro virtuale nel caso di un continuo di Cauchy (continuo deformabile tridimensionale). Ho diviso la dimostrazione in più immagini per motivi di spazio.
- 1° immagine: fin qui, tutto OK.
- 2° immagine: non capisco perché prima si considera solo la parte antisimmetrica del gradiente e poi solo quella simmetrica (vedere anche la 3° immagine).
- 3° immagine: quest'immagine non riguarda la dimostrazione, ma è relativa alla decomposizione del gradiente di cui sopra.
- 4° immagine: tornando alla dimostrazione, OK.
- NB: Infine non ho capito che roba siano, in questo caso, il gradiente e le sue parti simmetrica ed antisimmetrica. Siamo in 3D, per cui lo spostamento è un vettore. Dunque il gradiente sarà un tensore. Invece il libro lo definisce un'applicazione lineare. E soprattutto non capisco quale operazione ci sia dove ho evidenziato in blu nelle immagini precedenti: in alcuni casi c'è il simbolo del prodotto scalare, in altre non c'è nulla.
Grazie.
Risposte
Se conosci il linguaggio tensoriale posso spiegarti come si arriva dal lemma fondamentale del lavoro al principio dei lavori virtuali
Benvenuto sul Forum, IdT, e grazie per la risposta.
Dovrei conoscere un po' di linguaggio tensoriale, per cui, se mi spieghi come arrivare al principio dei lavori virtuali, dovrei riuscire a capirlo. Ho capito bene i passaggi per giungere al principio dei lavori virtuali per la trave (continuo deformabile monodimensionale), ma ho difficoltà appunto con la parte relativa al continuo di Cauchy (continuo deformabile tridimensionale): fondamentalmente, non ho capito i passaggi in cui c'è anche il gradiente di spostamento.
Grazie.
Dovrei conoscere un po' di linguaggio tensoriale, per cui, se mi spieghi come arrivare al principio dei lavori virtuali, dovrei riuscire a capirlo. Ho capito bene i passaggi per giungere al principio dei lavori virtuali per la trave (continuo deformabile monodimensionale), ma ho difficoltà appunto con la parte relativa al continuo di Cauchy (continuo deformabile tridimensionale): fondamentalmente, non ho capito i passaggi in cui c'è anche il gradiente di spostamento.
Grazie.
In questi giorni, ho continuato a ragionarci su e sono arrivato a parziali conclusioni. Per maggiore chiarezza, ho riassunto la parte "incriminata", così magari a qualcuno gli viene in mente qualcosa che, a me, purtroppo è sfuggita...
Scrivo quello che ho capito io:
- $vecs_0$ è l'autotensione ed è un vettore;
- $vecu$ è lo spostamento ed è un vettore;
- $barbarS_1$ è la tensione ed è un tensore;
- $text(grad)(vecu)$ è il gradiente di spostamento ed è un tensore decomponibile in 2 tensori: il tensore simmetrico $barbarE$ ed il tensore antisimmetrico $barbarTheta$.
Se quanto ho scritto è corretto, allora l'ultimo dubbio che mi resta è: perché prima si considera solo $barbarTheta$ e poi solo $barbarE$?
Grazie a tutti!
Scrivo quello che ho capito io:
- $vecs_0$ è l'autotensione ed è un vettore;
- $vecu$ è lo spostamento ed è un vettore;
- $barbarS_1$ è la tensione ed è un tensore;
- $text(grad)(vecu)$ è il gradiente di spostamento ed è un tensore decomponibile in 2 tensori: il tensore simmetrico $barbarE$ ed il tensore antisimmetrico $barbarTheta$.
Se quanto ho scritto è corretto, allora l'ultimo dubbio che mi resta è: perché prima si considera solo $barbarTheta$ e poi solo $barbarE$?
Grazie a tutti!
semplicemente perchè il prodotto scalare tra un tensore simmetrico (la tensione) e un tensore antisimmetrico è nullo.
Per cui resta solamente il contributo al $L_{vi}$ del tensore simmetrico.
Per cui resta solamente il contributo al $L_{vi}$ del tensore simmetrico.
Grazie.
"ELWOOD":
semplicemente perchè il prodotto scalare tra un tensore simmetrico (la tensione) e un tensore antisimmetrico è nullo.
Per cui resta solamente il contributo al $L_{vi}$ del tensore simmetrico.
sono interessato anche io a questa cosa, non capisco perchè il prodotto scalare tra un sym e uno skw dovrebbe essere nullo, posso capire se sono sym e skw dello stesso tensore allora dovrebbero essere ortogonali tra di loro, ma in generale questo perchè dovrebbe essere vero ? io ho fatto questo conto so che M è un tensore del secondo ordine e lo scompongo cosi;
sym =$ 1/2(M+M') $ e skw = $ 1/2(M-M') $ allora devo trovare quando
$ 1/2(M+M')*1/2(M-M') =0 $
$ 1/4(M'M-M'M'+MM-MM')=0 $
ma se prendo ad esempio M1 e M2 uno sym e uno skw questa cosa mi fa :
$ 1/4(M1'M2-M1'M2'+M1M2-M1M2')=0 $
e quindi dovrebbe verificarsi che
$ M1'M2=M1M2' $
$ M1'M2'=M1'M2' $
non lo so non mi sembra corretto ho provato anche a mettere due matrici su matlab e il risultato non è zero, volevo farlo con la notazione tensoriale ma non credo cambi nulla
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