[Scienza delle Costruzioni] Metodo Spostamenti - Matrice delle rigidezze
Salve a tutti,
sto facendo degli esercizi col Metodo degli Spostamenti e ho problemi a scrivere i Kij della matrice delle rigidezze.
Spiego i passaggi che faccio:
1) ho una struttura (di solito un telaio) con incastri a terra. Vado a fare lo schema a nodi bloccati inserendo dei vincoli ausiliari (morsetti e carrelli) e applico dei cedimenti rotazionali e cedimenti lungo gli assi dei carrelli per rendere la struttura cinematicamente compatibile con quella assegnata. In questa fase non metto le forze nodali.
2) A questo punto applico un cedimento alla volta a ogni singola trave, che si presenterà come trave doppiamente incastrata. I risultati delle cds le ricavo facilmente con la linea elastica.
Per comodità faccio una tabella dove disegno per ogni cedimento applicato la deformata. E scrivo vicino le cds che affiorano.
A questo punto quando devo in un certo senso "raggruppare" tutti questi dati ho problemi. Non riesco a capire bene come procedere col metodo. Dovrei scrivere le equazioni di equilibrio, dato che solo una fra tutte quelle equilibrate rispetta la condizione dei carichi applicati.
Quindi $ [K] [V] + [F_0] = [F] $
dove K è la matrice delle rigidezze,
V è il vettore incognite in questo caso i cedimenti,
F0 sono le forze nodali e F le forze esterne.
Ora ho problemi a scrivere le componenti Kij della matrice delle rigidezze.
So che sono le forze che nascono in direzioni i quando applico uno spostamento unitario in direzione j.
Non riesco a capire se il riferimento con cui scrivo deve ruotare per ogni nodo oppure resta fermo nel senso che ne scelgo uno e resta uguale per tutti i nodi (direzione 1, direzione 2, e rotazione 3 sempre con gli stessi versi per tutti).
Non riesco a trovare un metodo efficace per scrivere queste componenti, finisco sempre per sbagliare o perdere pezzi per strada.
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Non riesco a trovare in rete un documento o un esercizio svolto in maniera esaustiva e completa.
Posso allegare le immagini dal quaderno? Non riesco a capire bene come fare i disegni dei grafici direttamente con l'applicazione
Grazie a tutti
sto facendo degli esercizi col Metodo degli Spostamenti e ho problemi a scrivere i Kij della matrice delle rigidezze.
Spiego i passaggi che faccio:
1) ho una struttura (di solito un telaio) con incastri a terra. Vado a fare lo schema a nodi bloccati inserendo dei vincoli ausiliari (morsetti e carrelli) e applico dei cedimenti rotazionali e cedimenti lungo gli assi dei carrelli per rendere la struttura cinematicamente compatibile con quella assegnata. In questa fase non metto le forze nodali.
2) A questo punto applico un cedimento alla volta a ogni singola trave, che si presenterà come trave doppiamente incastrata. I risultati delle cds le ricavo facilmente con la linea elastica.
Per comodità faccio una tabella dove disegno per ogni cedimento applicato la deformata. E scrivo vicino le cds che affiorano.
A questo punto quando devo in un certo senso "raggruppare" tutti questi dati ho problemi. Non riesco a capire bene come procedere col metodo. Dovrei scrivere le equazioni di equilibrio, dato che solo una fra tutte quelle equilibrate rispetta la condizione dei carichi applicati.
Quindi $ [K] [V] + [F_0] = [F] $
dove K è la matrice delle rigidezze,
V è il vettore incognite in questo caso i cedimenti,
F0 sono le forze nodali e F le forze esterne.
Ora ho problemi a scrivere le componenti Kij della matrice delle rigidezze.
So che sono le forze che nascono in direzioni i quando applico uno spostamento unitario in direzione j.
Non riesco a capire se il riferimento con cui scrivo deve ruotare per ogni nodo oppure resta fermo nel senso che ne scelgo uno e resta uguale per tutti i nodi (direzione 1, direzione 2, e rotazione 3 sempre con gli stessi versi per tutti).
Non riesco a trovare un metodo efficace per scrivere queste componenti, finisco sempre per sbagliare o perdere pezzi per strada.
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Non riesco a trovare in rete un documento o un esercizio svolto in maniera esaustiva e completa.
Posso allegare le immagini dal quaderno? Non riesco a capire bene come fare i disegni dei grafici direttamente con l'applicazione
Grazie a tutti
Risposte
Provo a darti qualche informazione:
Devi sempre iniziare l'esercizio individuando univocamente il vettore $ V $.
Sei libero di scegliere cosa rappresentano le componenti del vettore $V$ come meglio credi, l'importante è che poi ti comporti con coerenza rispetto alle scelte fatte. In soldoni puoi dire che $V_1$ è lo spostamento lungo $+x$ del nodo 1, $V_2$ è lo spostamento lungo $-y$ del nodo 23 o la rotazione oraria o antioraria, fai tu, del nodo 12. Sei totalmente libero.
Una volta operata la scelta delle componenti del vettore $V$ di conseguenza puoi calcolare gli elementi di $K$ sapendo che $K_{ij}$ è la forza che compie lavoro per lo spostamento $V_j$ quando la struttura si è deformata con
${ (V_i=1),( V_r=0 AA r!=i):}$
Spero di averti dato qualche spunto per chiarirti un po le idee.
Non riesco a capire se il riferimento con cui scrivo deve ruotare per ogni nodo oppure resta fermo nel senso che ne scelgo uno e resta uguale per tutti i nodi (direzione 1, direzione 2, e rotazione 3 sempre con gli stessi versi per tutti).
Devi sempre iniziare l'esercizio individuando univocamente il vettore $ V $.
Sei libero di scegliere cosa rappresentano le componenti del vettore $V$ come meglio credi, l'importante è che poi ti comporti con coerenza rispetto alle scelte fatte. In soldoni puoi dire che $V_1$ è lo spostamento lungo $+x$ del nodo 1, $V_2$ è lo spostamento lungo $-y$ del nodo 23 o la rotazione oraria o antioraria, fai tu, del nodo 12. Sei totalmente libero.
Una volta operata la scelta delle componenti del vettore $V$ di conseguenza puoi calcolare gli elementi di $K$ sapendo che $K_{ij}$ è la forza che compie lavoro per lo spostamento $V_j$ quando la struttura si è deformata con
${ (V_i=1),( V_r=0 AA r!=i):}$
Spero di averti dato qualche spunto per chiarirti un po le idee.
Se ho un vettore incognite di 12 componenti, e una matrice delle rigidezze 12 x 12 se volessi calcolarmi K11, significherebbe controllare quali sono le forze compiute dalla mia V1 in direzione 1.
Così via per K12, fino a K1,12. E questo fin qui mi è chiaro. E quindi per scriverle devo darmi un riferimento a priori globale in modo da essere chiara univocamente per i segni adottati poi nella scrittura delle componenti di K.
In realtà mi ero confusa perché nei miei appunti in direzione 1, avevo scritto così:
$ K_1,_1 V_1 + K_1,_2V_2+K_1,_3V_3 + ...+K_1,_12V_12 + F_1 (nodali) = F_e,_2 $
E mi aveva confuso questa cosa perché questa è l'equazione di equilibrio non la scrittura delle componenti della matrice.
Provo ora a ragionare più lentamente per non cercare di sbagliare. Anche se credo che stessi commettendo un errore non troppo grave, dato che non sapevo bene a quale riferimento far capo.
Ti ringrazio comunque, mi hai un po' chiarito le idee!
Così via per K12, fino a K1,12. E questo fin qui mi è chiaro. E quindi per scriverle devo darmi un riferimento a priori globale in modo da essere chiara univocamente per i segni adottati poi nella scrittura delle componenti di K.
In realtà mi ero confusa perché nei miei appunti in direzione 1, avevo scritto così:
$ K_1,_1 V_1 + K_1,_2V_2+K_1,_3V_3 + ...+K_1,_12V_12 + F_1 (nodali) = F_e,_2 $
E mi aveva confuso questa cosa perché questa è l'equazione di equilibrio non la scrittura delle componenti della matrice.
Provo ora a ragionare più lentamente per non cercare di sbagliare. Anche se credo che stessi commettendo un errore non troppo grave, dato che non sapevo bene a quale riferimento far capo.
Ti ringrazio comunque, mi hai un po' chiarito le idee!
"Hynesh":
... E quindi per scriverle devo darmi un riferimento a priori globale in modo da essere chiara univocamente per i segni adottati poi nella scrittura delle componenti di K.
...
Io piuttosto che vincolarmi a un riferimento globale preferisco disegnare le singole deformate e le relative forze. A quel punto non importa quali versi ho adottato nello scegliere gli spostamenti. Mi basta calcolare il lavoro (virtuale) delle forze dello schema $i$ per gli spostamenti dello schema $j$ per avere in automatico $K_{ij}$
Sì per la prima parte mi trovo come fai tu, anche io faccio gli schemi delle deformate.
Applico uno alla volta i cedimenti $ V_n $ e mi disegno le singole deformate dove poi scrivo le forze rifacendomi agli schemi noti (travi doppiamente incastrate). E invece di fare il lavoro virtuale controllo per ogni K le forze agenti. Quando ci sono molte V mi confondo infatti facilmente.
Provo a documentarmi, perché alcuni testi usano il plv come te ^^ Magari mi ci trovo meglio!
Applico uno alla volta i cedimenti $ V_n $ e mi disegno le singole deformate dove poi scrivo le forze rifacendomi agli schemi noti (travi doppiamente incastrate). E invece di fare il lavoro virtuale controllo per ogni K le forze agenti. Quando ci sono molte V mi confondo infatti facilmente.
Provo a documentarmi, perché alcuni testi usano il plv come te ^^ Magari mi ci trovo meglio!
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