[Scienza delle Costruzioni] Jourawski e momento di trasporto
Buongiorno, oggi mi sto scervellando un po' su esercizi che riguardano la formula di Jourawski: in questo specifico caso ho un taglio che non è applicato centralmente, quindi di sicuro mi genererà un momento torcente. La mia idea era quella di trasportare il taglio nel centro, calcolare le tensioni con Jourawski e poi aggiungere il valore delle tensioni dovute a questo momento torcente trasportato. In sostanza:
tensioni di Jourawski $tau_j = (T*S)/(J*c)$ [laddove $c$ = corda e $S$ = momento statico] + tensioni di torcente $tau_t = (T*(B/2)^2)/J$ [laddove B/2^2 è la distanza, centro della struttura, per cui trasporto il taglio].
Quello che mi lascia perplesso a questo punto, e che mi ha spinto ad affidarmi ai vostri consigli è:
1) Quale momento di inerzia $J$ devo andare ad utilizzare per le tensioni $tau_t$? Quindi l'altro andrà usato per $tau_j$?
2) Il momento statico $S$ della formula di Jourawski sarà calcolato solo per mezza ala, per tutte e due le ale oppure solo per l'anima centrale? Perché? Io avevo pensato di calcolarlo solo per l'anima centrale, perché è l'anima ad essere interessata dal taglio una volta che l'ho spostato (e dovrebbe dare una tensione massima nel suo baricentro...).
Grazie in anticipo a tutti
Ecco la traccia:
tensioni di Jourawski $tau_j = (T*S)/(J*c)$ [laddove $c$ = corda e $S$ = momento statico] + tensioni di torcente $tau_t = (T*(B/2)^2)/J$ [laddove B/2^2 è la distanza, centro della struttura, per cui trasporto il taglio].
Quello che mi lascia perplesso a questo punto, e che mi ha spinto ad affidarmi ai vostri consigli è:
1) Quale momento di inerzia $J$ devo andare ad utilizzare per le tensioni $tau_t$? Quindi l'altro andrà usato per $tau_j$?
2) Il momento statico $S$ della formula di Jourawski sarà calcolato solo per mezza ala, per tutte e due le ale oppure solo per l'anima centrale? Perché? Io avevo pensato di calcolarlo solo per l'anima centrale, perché è l'anima ad essere interessata dal taglio una volta che l'ho spostato (e dovrebbe dare una tensione massima nel suo baricentro...).
Grazie in anticipo a tutti
Ecco la traccia:
Risposte
1) la sollecitazione di taglio $T_y$ susciterà inerzia alla rotazione attorno all'asse x (anzi nel caso della tua figura, asse z)
per la simmetria della sezione rispetto all'asse verticale y, il centro di taglio è su tale asse
il modulo del momento torcente sarà pari a $T_y*e$, e è l'eccentricità del taglio rispetto al centro di taglio (in questo caso B/2)
la torsione genera un momento della sezione nel piano della stessa, dunque attorno all'asse della trave; nel calcolo degli sforzi tangenziali generati dal momento torcente interviene quindi l'inerzia torsionale, detto anche fattore di rigidezza torsionale (che sarà intuitivamente inversamente proporzionale agli sforzi), nel caso in figura si ha una sezione composta di due rettangoli (anima+ala), quindi l'inerzia torsionale delle sezione è data dalla somma delle inerzie torsionali dei singoli rettangoli. $J_t$ vari sono tabellati in molti libri di costruzioni.
2) la formula di jourawski prevede il computo del momento statico, rispetto all'asse attorno a cui la sezione sollecitata tende a ruotare, di tutta l'area della sezione sottesa alla corda scelta. quindi, se nel caso in figura si pone la corda in un punto dell'anima perchè in tale punto si vuole conoscere lo sforzo, bisognerà fare $S_x$ dell'ala + del pezzetto di anima sotteso alla corda scelta.
solitamente nelle sezioni composte si preferisce procedere calcolando lo sforzo a tratti (prima una parte dell'ala, poi si passa all'anima..) poichè l'andamento delle tensioni è in alcuni tratti lineare, in altri parabolico.
per la simmetria della sezione rispetto all'asse verticale y, il centro di taglio è su tale asse
il modulo del momento torcente sarà pari a $T_y*e$, e è l'eccentricità del taglio rispetto al centro di taglio (in questo caso B/2)
la torsione genera un momento della sezione nel piano della stessa, dunque attorno all'asse della trave; nel calcolo degli sforzi tangenziali generati dal momento torcente interviene quindi l'inerzia torsionale, detto anche fattore di rigidezza torsionale (che sarà intuitivamente inversamente proporzionale agli sforzi), nel caso in figura si ha una sezione composta di due rettangoli (anima+ala), quindi l'inerzia torsionale delle sezione è data dalla somma delle inerzie torsionali dei singoli rettangoli. $J_t$ vari sono tabellati in molti libri di costruzioni.
2) la formula di jourawski prevede il computo del momento statico, rispetto all'asse attorno a cui la sezione sollecitata tende a ruotare, di tutta l'area della sezione sottesa alla corda scelta. quindi, se nel caso in figura si pone la corda in un punto dell'anima perchè in tale punto si vuole conoscere lo sforzo, bisognerà fare $S_x$ dell'ala + del pezzetto di anima sotteso alla corda scelta.
solitamente nelle sezioni composte si preferisce procedere calcolando lo sforzo a tratti (prima una parte dell'ala, poi si passa all'anima..) poichè l'andamento delle tensioni è in alcuni tratti lineare, in altri parabolico.
Perfetto, allora andrebbe bene fare per la torsione $tau =(T*(B/2)^2)/(J_y)$ e per Jourawski $tau =T/J_z * ((s(H-s)(H-s)/2))/s + T/J_z*(Bs)/B*(d-s/2)$? Ho considerato le distanze tra il baricentro totale $G$ e quello delle singole figure... Mi rimane ancora il dubbio su quale momento di inerzia applicare nello specifico, per il resto chi mi aiuta a capire se ci sono grosse sbavature? Invece le corde sono $B$ ed $s$ ai denominatori.
Grazie
Grazie
le tensioni tangenziali date dal momento torcente sono : $\tau_max = (T(B/2)*s)/J_T$, occhio non $J_y$ (inoltre si ricordi che $J_T$ ha dimensioni di un momento di inerzia, vari $J_T$ sono tabellati in manuali (anche su wikipedia)). l'andamento degli sforzi tangenziali prodotti da momento torcente in sezione monoconnessa composta da rettangoli risulta lineare a farfalla, nullo sulla linea media e massimo su contorno; qualora $ s < < B,H$ (come nel caso dell'esercizio $s\approx1/10B$) allora $\tau$ può considerarsi costante sulla sezione. nel caso dell'esercizio, $J_T\approx 2/3*12*1.3^3 = 17.576 cm^4$, dunque $\tau_max = \tau = 17.75 (kN)/(cm^2)$
si tratta ora di calcolare il valore di $\tau$ nel baricentro della sezione dovuto a jourawski (in altre parole, la tau provocata dal taglio trasportato nel centro di taglio). Calcolando $\tau_Gj$ partendo dall'ala si ha
è del tutto equivalente al calcolo di $\tau_G$ partendo invece dal punto più alto della sezione (a meno del segno ovviamente, in tale caso il momento statico sarebbe negativo rispetto a quello appena calcolato); il tutto poichè il baricentro divide la sezione in due parti di medesima area.
usando la sovrapposizione si ha : $\tau_max = \tau_t + \tau_Gj = 112.665 (kN)/(cm^2) $
spero torni, è tardi quindi potrei aver fatto errori per la stanchezza
si tratta ora di calcolare il valore di $\tau$ nel baricentro della sezione dovuto a jourawski (in altre parole, la tau provocata dal taglio trasportato nel centro di taglio). Calcolando $\tau_Gj$ partendo dall'ala si ha
$\tau_Gj = T/J_z *(Bs*(34.8- s/2))/s + T/J_z *((34.8-s)*s*(34.8-(34.8/2 +s)))/s =94.915 (kN)/(cm^2)$
è del tutto equivalente al calcolo di $\tau_G$ partendo invece dal punto più alto della sezione (a meno del segno ovviamente, in tale caso il momento statico sarebbe negativo rispetto a quello appena calcolato); il tutto poichè il baricentro divide la sezione in due parti di medesima area.
usando la sovrapposizione si ha : $\tau_max = \tau_t + \tau_Gj = 112.665 (kN)/(cm^2) $
spero torni, è tardi quindi potrei aver fatto errori per la stanchezza
Ti ringrazio per la risposta e per il chiarimento, volevo chiederti un'ultima informazione riguardante il calcolo di Jourawski nelle sezioni sottili (appunto con $s≈1/10B$): in questo tipo di casi posso approssimare il momento statico al numeratore come il semplice prodotto tra l'area totale di quel pezzo di figura e la distanza tra il baricentro del pezzo e il baricentro di tutto il sistema? Mi pare di aver preso un appunto simile a lezione, però non ne sono molto sicuro... Grazie ancora 
che io sappia quando si hanno sezioni sottili si possono fare approssimazioni per quanto riguarda i momenti di inerzia di pezzi di sezione rettangolari del tipo $1/12l(s)^3$ dove s è lo spessore e $s<
in ogni caso la formula di Jourawski non cambia, il momento statico non si approssima mai.
non capisco dove sia l'approssimazione
in ogni caso la formula di Jourawski non cambia, il momento statico non si approssima mai.
lotuno ha scritto:
in questo tipo di casi posso approssimare il momento statico al numeratore come il semplice prodotto tra l'area totale di quel pezzo di figura e la distanza tra il baricentro del pezzo e il baricentro di tutto il sistema?
non capisco dove sia l'approssimazione
c.v.d. ho sbagliato, infatti non mi tornava che la $\tau_max$ fosse cosi elevata... (piccolo consiglio: se si lavora con l'acciaio si consideri che la tau di rottura è circa la metà della sigma di rottura; poichè mediamente gli acciai da costruzione hanno sigma di rottura di circa $300-500 MPa=30-50 (kN)/(cm^2)$ (e carico ammissibile, per ovvie ragioni, molto più piccolo di quello di rottura....), se ne ricava un certo range di possibili tau quindi pari grosso modo a metà del $\sigma_(am)$; segnalo ciò per poter magari confrontare risultati di verifiche).
l'errore è nel momento statico, ho convertito tutto in $cm$ eccetto $d$... quindi va sostituito a $34,8$ un $3,48$
l'errore è nel momento statico, ho convertito tutto in $cm$ eccetto $d$... quindi va sostituito a $34,8$ un $3,48$
Ho letto attentamente la discussione e l'ho trovata molto utile ai fini della comprensione del calcolo delle tensioni dovendo considerare anche quelle generate dal momento torcente. Mi trovo ad analizzare un caso analogo, tuttavia facendo un po' di ricerche inerenti la composizione del grafico relativo all'andamento delle tensioni, ho trovato due tipologie di grafico differenti, che potete vedere nell'immagine. Mi sapreste spiegare qual è la differenza? O meglio ancora qual è il grafico corretto? Grazie 
"Ivan55":
le tensioni tangenziali date dal momento torcente sono : $\tau_max = (T(B/2)*s)/J_T$, occhio non $J_y$
Ciao, senti scusami ancora ma non capisco come mai il momento di inerzia debba essere questo... non dovrebbe essere genericamente $B*H^3/12$?
"vincy338":
Ho letto attentamente la discussione e l'ho trovata molto utile ai fini della comprensione del calcolo delle tensioni dovendo considerare anche quelle generate dal momento torcente. Mi trovo ad analizzare un caso analogo, tuttavia facendo un po' di ricerche inerenti la composizione del grafico relativo all'andamento delle tensioni, ho trovato due tipologie di grafico differenti, che potete vedere nell'immagine. Mi sapreste spiegare qual è la differenza? O meglio ancora qual è il grafico corretto? Grazie
Sono entrambi corretti. L'intensità delle $tau$ puoi rappresentarla "dalla parte che vuoi".
Messaggio da lotuno » 05/12/2015, 21:28
Ivan55 ha scritto:
le tensioni tangenziali date dal momento torcente sono : τmax=T(B2)⋅sJT, occhio non Jy
Ciao, senti scusami ancora ma non capisco come mai il momento di inerzia debba essere questo... non dovrebbe essere genericamente B⋅H312?
il momento di inerzia $I_a = (bh^3)/12$ è riferito a un generico rettangolo; con tale formula si misura l'inerzia alla rotazione rispetto a un asse $a$ ortogonale all'altezza di tale rettangolo. ($a$ è un asse baricentrico)
un momento torcente fa ruotare la sezione, invece, nel piano di appartenenza; in altre parole la sezione ruota attorno all'asse della trave (stiamo parlando di un solido elastico lineare isotropo ossia de Saint Venant). Quindi (dato che la sezione non è fatta di aria ma di un materiale che può sopportare tante piccole tensioni, vale a dire che oppone resistenza a questa torsione) se ne ricava che, nel caso di momento torcente applicato alla sezione, bisognerà calcolare l'inerzia alla rotazione attorno all'asse della trave (che può anche vedersi come l'asse entrante o uscente dal baricentro, a seconda delle convenzioni), questo momento di inerzia rispetto all'asse della trave si chiama momento di inerzia torsionale, o anche fattore di rigidezza torsionale.
nel caso di sezioni monoconnesse composte da più rettangoli, $J_T= 1/3 \Sigma ls^3 $, l è il "lato lungo" dell'i-esimo rettangolo, s è lo spessore. Si nota che $J_T$ cresce significativamente se lo spessore del rettangolo è notevole.
Ti ringrazio per il chiarimento, non ci avevano mai nominato questo fattore particolare e mi mancava solo quel pezzo per capire il tutto. Sei stato molto chiaro e preciso, grazie ancora
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