[Scienza delle Costruzioni] Feedback verifiche di resistenza travature
$ T_{AB}(2L)=4qL $$ CD $Salve, ho svolto un esercizio sulle verifiche di resistenza di travature. Riporto il testo qua di seguito
Scegliendo arbitrariamente il verso dei vettori $V_A$,$V_D$,$V_C$ verso l'alto e $H_C$,$H_D$ verso destra. Ho da subito calcolato le reazioni vincolari ottenendo: $H_C=0$, $H_D=-2qL$, $V_D=2qL$, $V_A=4qL$, $V_C=2qL$. Procedo al calcolo delle caratteristiche della sollecitazione:
\[
\begin{cases}
N_{AB}=0 \\ T_{AB}=4qL \\ M_{AB}=4qLs
\end{cases}
\begin{cases}
N_{CB}=-2qL \\ T_{CB}=0 \\ M_{CB}=0
\end{cases}
\begin{cases}
N_{DB}=-2\sqrt{2} qL \\ T_{DB}=0 \\ M_{DB}=0
\end{cases}
\]
Individuo le sezioni critiche.
I) Per la trave $AB$ si ha che la sezione in $B$ (a sinistra della cerniera interna) è critica. E su di essa agisce $T_{AB}(2L)=4qL$, $M_{AB}(2L)=8qL^2$.
II) Per la trave $DB$ si ha che ogni sezione è ugualmente è critica. E su di esse agisce solo $N_{DB}=-2\sqrt{2}qL$.
III) Per la trave $CB$ si ha che ogni sezione è ugualmente critica. E su di esse agisce solo $N_{CB}=-2qL$.
Vediamo se il caso I) regge:
Calcoliamo $J_{11}$ della sezione a $T$.
\[
J_{11}=(1/12)(5\cdot (300-5-5)^3+(1/12)(5^3 \cdot 100) + 5\cdot 100(145+5/2)^2\cdot 2=31919375 mm^4
\]
Quindi si ha $\sigma_z(x_2)=\frac{8qL^2}{J_11}x_2$. Con la formula di Jourawsky trovo che lo sforzo tangenziale $\tau_{zy}$ dipende da $y$ (con $y=0$ posto all'interfaccia tra la parte in alto orizzontale della T e quella verticale):
\[
\tau_{zy}(y)=4.15+0.0408y-1.4 \cdot 10^{-4}y^2
\]
Considero i punti della sezione $O=(0,0)$ e $A=(0,145)$ e calcolo le sollecitazioni. In $(0,0)$ si ha che $y=145$ per la formula di Jourawsky. Ottengo $\sigma_z(O)=0$ e $\tau_{zy}(O)=10.0457$, $\sigma_z(A)=0.0327$ e $\tau_{zy}(A)=4.208$. Tutto in $N/(mm^2)$. Calcolo la tensione idea con Tresca:
\[
\sigma_{id}=\sqrt{\sigma_z(O)^2+3\tau_{zy}(O)^2}=17.39 N/mm^2
\]
\[
\sigma_{id}=\sqrt{\sigma_z(A)^2+3\tau_{zy}(A)^2}=7.288
\]
E quindi la sezione in $B$ della trave $AB$ non regge.
Itero il procedimento pure per i casi II) e III). Può andare?
Grazie per aver letto fin qua!
Scegliendo arbitrariamente il verso dei vettori $V_A$,$V_D$,$V_C$ verso l'alto e $H_C$,$H_D$ verso destra. Ho da subito calcolato le reazioni vincolari ottenendo: $H_C=0$, $H_D=-2qL$, $V_D=2qL$, $V_A=4qL$, $V_C=2qL$. Procedo al calcolo delle caratteristiche della sollecitazione:
\[
\begin{cases}
N_{AB}=0 \\ T_{AB}=4qL \\ M_{AB}=4qLs
\end{cases}
\begin{cases}
N_{CB}=-2qL \\ T_{CB}=0 \\ M_{CB}=0
\end{cases}
\begin{cases}
N_{DB}=-2\sqrt{2} qL \\ T_{DB}=0 \\ M_{DB}=0
\end{cases}
\]
Individuo le sezioni critiche.
I) Per la trave $AB$ si ha che la sezione in $B$ (a sinistra della cerniera interna) è critica. E su di essa agisce $T_{AB}(2L)=4qL$, $M_{AB}(2L)=8qL^2$.
II) Per la trave $DB$ si ha che ogni sezione è ugualmente è critica. E su di esse agisce solo $N_{DB}=-2\sqrt{2}qL$.
III) Per la trave $CB$ si ha che ogni sezione è ugualmente critica. E su di esse agisce solo $N_{CB}=-2qL$.
Vediamo se il caso I) regge:
Calcoliamo $J_{11}$ della sezione a $T$.
\[
J_{11}=(1/12)(5\cdot (300-5-5)^3+(1/12)(5^3 \cdot 100) + 5\cdot 100(145+5/2)^2\cdot 2=31919375 mm^4
\]
Quindi si ha $\sigma_z(x_2)=\frac{8qL^2}{J_11}x_2$. Con la formula di Jourawsky trovo che lo sforzo tangenziale $\tau_{zy}$ dipende da $y$ (con $y=0$ posto all'interfaccia tra la parte in alto orizzontale della T e quella verticale):
\[
\tau_{zy}(y)=4.15+0.0408y-1.4 \cdot 10^{-4}y^2
\]
Considero i punti della sezione $O=(0,0)$ e $A=(0,145)$ e calcolo le sollecitazioni. In $(0,0)$ si ha che $y=145$ per la formula di Jourawsky. Ottengo $\sigma_z(O)=0$ e $\tau_{zy}(O)=10.0457$, $\sigma_z(A)=0.0327$ e $\tau_{zy}(A)=4.208$. Tutto in $N/(mm^2)$. Calcolo la tensione idea con Tresca:
\[
\sigma_{id}=\sqrt{\sigma_z(O)^2+3\tau_{zy}(O)^2}=17.39 N/mm^2
\]
\[
\sigma_{id}=\sqrt{\sigma_z(A)^2+3\tau_{zy}(A)^2}=7.288
\]
E quindi la sezione in $B$ della trave $AB$ non regge.
Itero il procedimento pure per i casi II) e III). Può andare?
Grazie per aver letto fin qua!
Risposte
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Sì nella fretta ho completamente rimosso il carico distribuito nel calcolo delle caratteristiche! Però rifacendo i conti mi verrebbe $M_{AB}-4qLs+4qs\cdot s/2=0$ ossia $M_{AB}=4qLs-2qs^2$ 
Poi, per le altre aste chiaramente cambia il momento di inerzia e pure i punti critici della sezione cambieranno (cambia la sezione proprio). Nello specifico caso perché lo sforzo $N/A$ è costante quindi in realtà non c'è nemmeno bisogno di cercare i punti critici della sezione
Poi, per le altre aste chiaramente cambia il momento di inerzia e pure i punti critici della sezione cambieranno (cambia la sezione proprio). Nello specifico caso perché lo sforzo $N/A$ è costante quindi in realtà non c'è nemmeno bisogno di cercare i punti critici della sezione
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"sellacollesella":
Il momento flettente ora va bene, ma dovresti rivedere anche taglio e sforzo normale. Quindi, li diagrammi per bene e dai diagrammi, come fossero delle radiografie, individuerai la sezione che se la passa peggio e su quella poi passerai alla determinazione delle tensioni nei punti che a loro volta se la passano peggio. Ok?
Chiaro, in pratica faccio quello che ho scritto ma con i numeri giusti!
Per la questione dell'instabilità, a lezione abbiamo fatto il carico critico Euleriano. E' la stessa roba? Devo quindi confrontare il valore di $N$ con il carico critico euleriano $P_{cr}=\frac{\pi^2 EJ}{l_0^2}$.
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Perfetto grazie millee! ^^ Per le sezioni malmesse analizzerei, della trave $AB$, la sezione $A$ con $s=0$ e pure quella che sta nel mezzo con $s=L$. :]
In questo caso nell'esercizio non veniva fornito il limite di tensione per avere instabilità...oppure può coincidere con $\sigma_{adm}$?
In questo caso nell'esercizio non veniva fornito il limite di tensione per avere instabilità...oppure può coincidere con $\sigma_{adm}$?
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Perfetto, grazie millee! :]]
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