[Scienza delle Costruzioni] Esercizio legame spostamenti e deformazioni assiali

[marcook1]

Salve a tutti, ho un punto di un esercizio che non riesco a risolvere completamente, spero che qualcuno sappia aiutarmi perché non so come andare avanti.
Per ovvi motivi ometterò il resto dell'esercizio, che è consultabile interamente qui http://www.dic.unipi.it/stefano.bennati/2014-06-13_PS_SdCI_1.pdf

Allora il testo della parte di esercizio che mi interessa è la seguente:


Determinare i valori delle eventuali combinazioni ($delta$ ,$epsilon$) alle quali corrisponde uno spostamento
nullo del punto C [sugg.: concentare l’attenzione su $N_5$]..

Dai precedenti quesiti del problema(risolto con il metodo delle forze) si ricava che:
L'incognita iperstatica $X_2 =(EA)/l (2(4+sqrt(2))delta - (12+sqrt(2))epsilon l)/(12 sqrt(2)+27) $
$N_5 ^(0)=0$, $N_5 ^(1)=0$ $N_5 ^(2)= - sqrt(2)$

Allora ecco il mio ragionamento (identico alla soluzione dell'esercizio):

Lo spostamento del nodo C può essere correlato alla deformazione dell'asta 5:
$epsilon_5 = (Delta l)/l = (v_c - delta)/l = (N_5)/(EA)- epsilon$

$N_5$ è ricavabile attraverso le incognite iperstatiche come previsto dal metodo delle forze:

$N_5 = N_5 ^(0) + N_5 ^(1) X_1 + N_5 ^(2) X_2= - sqrt(2) X_2 = -sqrt(2) (EA)/(l) ((2(4+sqrt(2))) delta - (12+sqrt(2))epsilon l)/(12 sqrt(2)+27) $

Sostituendo nella relazione di $epsilon_5$:

$epsilon_5 = -sqrt(2) [(EA)/l (2(4+sqrt(2))delta - (12+sqrt(2))epsilon l)/(12 sqrt(2)+27)] 1/(EA)- epsilon = (-2 sqrt(2)(4+sqrt(2)) delta + sqrt(2)(12+sqrt(2))epsilon l)/(l(12sqrt(2)+27)) - epsilon$ $=>$ $epsilon_5 = (-4-8 sqrt(2))/ (12 sqrt(2)+27) delta/l - 25/(12 sqrt(2) + 27)epsilon$

A questo punto devo scrivere una condizione che dica: se $v_c = 0$ questo implica che $epsilon_5 =?????$.....e non so cosa scrivere!!!

La soluzione dell'esercizio è $epsilon = (25+4 sqrt(2))/25 delta/l$

Grazie mille a chiunque mi aiuterà

[marcook1]

Diciamo Ni....allora rifaccio il mio ragionamento, dimmi se è sbagliato perché non ne sono molto sicuro:

Lo spostamento del nodo C può essere correlato alla deformazione dell'asta 5 come

$epsilon_5 = (Delta l)/l = (v_c - delta)/l = N_5 /(EA)- delta/l$

Se $v_c = 0 => epsilon_5 = - delta/l = epsilon$
(ho cambiato segno perché l'asta si accorcia)

Quindi: $epsilon = N_5 /(EA)- delta/l = l/(EA) [-sqrt(2)((EA)/l ((8+2sqrt(2))delta - (12+sqrt(2))epsilon l)/(12 sqrt(2)+27))]+ delta/l$
dopo i calcoli mi torna
$epsilon = (4sqrt(2)+23)/25 delta/l$

Che ne dici??

PS: grazie mille per il tuo prezioso aiuto

[marcook1]

Si ecco adesso mi torna bene, non è che non capivo il ragionamento ma mi incartavo (chissà per quale motivo perché è davvero semplice) nei conti.....grazie 8000

[Enter1]

Salve vorrei se possibile un chiarimento su l'ultima parte dell'esercizio dove viene richiesto di risolvere l'esercizio con il metodo degli spostamenti imponendo l'equilibrio nei vari nodi. Lo sforzo normale delle aste verticali 3 e 5 in funzione degli spostamenti e delle deformazioni viene scritto come

$ N=((EA)/L)(v3+v2+xi l) $

Questo formula deriva dallo scrivere lo sforzo normale $ N $ in funzione della deformazione assiale $ xi $ che rappresenta a sua volta l'allungamento totale dell'asta diviso la lunghezza di quest'ultima $ xi=omega /l $

Per quanto riguarda $ omega $ non mi è chiaro il perchè del segno positivo del contributo dovuto al difetto di lunghezza $ xi $ il quale essendo inizialmente negativo dovrebbe corrispondere ad un'accorciamento dell'asta

Come mai quindi non $ N=((EA)/L)(v3+v2-xi l) $ ??

Grazie a chi vorrà rispondere