[Scienza delle Costruzioni] Esercizio cedimenti vincolari PLV

[MatteusP]

Buongiorno a tutti,

Chiedo il vostro aiuto per confrontarmi con voi relativamente allo svolgimento ed alla soluzione di un esercizio che riporto di seguito:

Traccia esercizio:
E' data la struttura piana isostatica scarica costituita da due tronchi come in figura. La struttura è vincolata al suolo con una cerniera e con due carrelli. I due tronchi sono collegati con una cerniera mutua. Di questa struttura, due vincoli sono cedevoli:

1) Il carrello con piano di scorrimento orizzontale cede verticalmente verso il basso di $3\Delta$;
2) La cerniera di collegamento al suolo cede verticalmente verso l'alto di $\Delta$.

Per effetto di questi cedimenti, calcolare il modulo dell'angolo di rotazione del tronco collegato a terra dai due carrelli.


PROCEDIMENTO

Eseguo il calcolo della rotazione del tronco II con il principio dei lavori virtuali e per tale motivo carico il tronco II con un momento fittizio $\deltaM$, orientato in senso antiorario, e trovo le reazioni vincolari (versi scelti arbitrariamente)

Di seguito il mio disegno:



EQUAZIONE STATICA TRONCO I
$\sum F_X=0$ $\rightarrow$ $X_2 - X_4=0$
$\sum F_Y=0$ $\rightarrow$ $X_1-X_3=0$
$\sum M_Z (Polo A)=0$ $\rightarrow$ $X_4*L - X_3*L=0$

EQUAZIONE STATICA TRONCO II
$\sum F_X=0$ $\rightarrow$ $X_4-X_6=0$
$\sum F_Y=0$ $\rightarrow$ $X_3+X_5=0$
$\sum M_Z (Polo D)=0$ $\rightarrow$ $X_5*L + \deltaM=0$

RISOLVENDO IL SEGUENTE SISTEMA
$X_2 - X_4=0$
$X_1-X_3=0$
$X_4*L - X_3*L=0$
$X_4-X_6=0$
$X_3+X_5=0$
$X_5*L + \deltaM=0$

OTTENGO I SEGUENTI RISULTATI:

$X_1 = (\deltaM)/L ; X_2 = (\deltaM)/L ; X_3 = (\deltaM)/L ; X_4 = (\deltaM)/L ; X_5 = -(\deltaM)/L ; X_6 = (\deltaM)/L$

Compiono lavoro la reazione $X_1$ il momento $\deltaM$ e la reazione $X_5$. Ottengo:

$dL_V = X_1*dya + \deltaM * d\varphi + X_5*dyb$

$dL_V = (\deltaM)/L * \Delta + \deltaM*d\varphi + (-(\deltaM)/L) * -3\Delta$

per il principio dei lavori virtuali ho che $dL_V=0$ e quindi $\deltaM(\Delta/L+d\varphi+(3\Delta)/L)=0$
Data l'arbitrarietà di $d\varphi$ ottengo che l'angolo di rotazione del tronco collegato a terra dai due carrelli è pari a $d\varphi=-(4\Delta)/L$

Il segno negativo significa che la rotazione del tronco II avviene nel verso opposto a quello prefissato, cioè in verso orario.

Cosa ne pensate?

Grazie a tutti per il contributo.

Buona Giornata.

[ingres]

Il risultato è corretto. Con l'analisi cinematica viene lo stesso valore.

[MatteusP]

"ingres":Il risultato è corretto. Con l'analisi cinematica viene lo stesso valore.

Grazie davvero! Molto gentile come sempre.

Con le catene cinematiche ci stavo provando, solo che mi sono bloccato dopo aver trovato gli spostamenti virtuali, che onestamente non sono neanche se sono corretti. Credo ci sia qualche cosa che non torna, ma non riesco a trovare l'errore...

L'immagine riporta il metodo che stavo utilizzando per risolvere. In blu sono riportati i centri di rotazione.

(1) centro di rotazione assoluto del tronco 1 che si trova sul punto improprio.
(1-2) centro di rotazione relativo tra il tronco 1 ed il tronco 2;
(2) centro di rotazione del tronco 2. Punto di intersezione tra le due rette dei carrelli.
I centri di rotazione sono allineati in quanto sulla stessa direzione.

[ingres]

In effetti non mi tornano alcune cose in quel risultato. La più eclatante è lo spostamento in C.
L'asta DB è un unico tronco per cui lo spostamento non può avere un andamento discontinuo in C.
Presi come poli O1=A e O2=B, mi risultano:

$u_1=0$
$v_1= Delta$

$u_2=4*Delta/L*y$
$v_2=-7*Delta -4Delta/L*x$

Quindi il tronco 1 ha uno spostamento rigido di $Delta$ e correttamente centro di rotazione $C_1+infty$.
Invece il tronco 2 ha
Punto D visto dal polo O2 ovvero D(-2L,0)
$v_(2D) = -7 Delta + 8 Delta = Delta$ OK
Punto C visto dal polo O2 ovvero C(-L,0)
$v_(2C) = -7 Delta + 4 Delta = -3 Delta$ OK

e centro di rotazione $C_2 (-7/4L,0)$.

Prova a rivedere i tuoi conti e guarda se il risultato ti torna.

[MatteusP]

Grazie, riguarderò senz'altro i conti dell'analisi cinematica!