[Scienza delle Costruzioni] - Equazione linea elastica
Ciao a tutti,
apro un nuovo topic in merito all'equazione della linea elastica in quanto col tasto cerca ho visto che l'argomento è stato affrontato una sola volta e va al di la dei dubbi che ho io.
Dunque... la prima parte del mio corso di scienza delle costruzioni parte spiegando l'equazione della linea elastica in ambito estensionale, flessionale e tagliante partendo dalle equazioni di equilibrio, costitutiva e di congruenza. Tali equazioni, combinate fra loro danno le relative equazioni differenziali della linea elastica (trascuriamo per il momento il carico termico)
Per quanto riguarda la dilatazione assiale ho la seguente equazione differenziale del 2° ordine: $EA*w^(II) = -q$
Per quanto riguarda la flessione ho la seguente equazione differenziale del 4° ordine: $EI*v^(IV) = q$
Per quanto riguarda lo scorrimento ho la seguente equazione differenziale del 2° ordine: $(GA)/chi v^(II) = -q$
NB: con q intendo il carico uniformemente distribuito.
Ciò che non capisco è come utilizzare e quando utilizzare le seguenti equazioni... mi spiego meglio. Quando vado ad integrare l'equazione del 4° ordine mi ritrovo 4 equazioni con 4 incognite che ricavo con le condizioni a contorno e con le condizioni a raccordo (e fin qui tutto ok). Una volta trovate le incognite mi posso ricavare Taglio, Momento, Rotazione e Deformata in quanto corrispondono alle equazioni ricavate ($T = - v'''EI$), ($M = - v''EI$) ecc
Facciamo un esempio più chiaro... l'altro giorno sono stato a revisione dal professore per farmi spiegare come calcolare la rotazione (per ricavarmi la formula per l'equazione dei tre momenti) in una trave appoggio-appoggio isostatica dove era presente solamente un carico termico. Personalmente sarei partito dall'equazione $EI*v^(IV) = q$ mentre lui è partito da $-v'' = K$ $=>$ $ -v''= M/(EI) + alpha t_1$. Perchè?
Spero di esser riuscito in qualche modo ad essermi spiegato...
apro un nuovo topic in merito all'equazione della linea elastica in quanto col tasto cerca ho visto che l'argomento è stato affrontato una sola volta e va al di la dei dubbi che ho io.
Dunque... la prima parte del mio corso di scienza delle costruzioni parte spiegando l'equazione della linea elastica in ambito estensionale, flessionale e tagliante partendo dalle equazioni di equilibrio, costitutiva e di congruenza. Tali equazioni, combinate fra loro danno le relative equazioni differenziali della linea elastica (trascuriamo per il momento il carico termico)
Per quanto riguarda la dilatazione assiale ho la seguente equazione differenziale del 2° ordine: $EA*w^(II) = -q$
Per quanto riguarda la flessione ho la seguente equazione differenziale del 4° ordine: $EI*v^(IV) = q$
Per quanto riguarda lo scorrimento ho la seguente equazione differenziale del 2° ordine: $(GA)/chi v^(II) = -q$
NB: con q intendo il carico uniformemente distribuito.
Ciò che non capisco è come utilizzare e quando utilizzare le seguenti equazioni... mi spiego meglio. Quando vado ad integrare l'equazione del 4° ordine mi ritrovo 4 equazioni con 4 incognite che ricavo con le condizioni a contorno e con le condizioni a raccordo (e fin qui tutto ok). Una volta trovate le incognite mi posso ricavare Taglio, Momento, Rotazione e Deformata in quanto corrispondono alle equazioni ricavate ($T = - v'''EI$), ($M = - v''EI$) ecc
Facciamo un esempio più chiaro... l'altro giorno sono stato a revisione dal professore per farmi spiegare come calcolare la rotazione (per ricavarmi la formula per l'equazione dei tre momenti) in una trave appoggio-appoggio isostatica dove era presente solamente un carico termico. Personalmente sarei partito dall'equazione $EI*v^(IV) = q$ mentre lui è partito da $-v'' = K$ $=>$ $ -v''= M/(EI) + alpha t_1$. Perchè?
Spero di esser riuscito in qualche modo ad essermi spiegato...
Risposte
scusami ma la trave incastro-appoggio non è isostatica
forse intendevi appoggio-appoggio
comunque se su questra trave vi è solo il carico termico è evidente che il momento sia nullo (vero solo per le isostatiche) quindi è facile studiare quella equazione e studiare quindi la curvatura della trave che risulta essere castante (il termine termico a meno di precisazioni è un termine costante)
quindi il campo degli spostamenti trasversali integrando due volte la curvatura che è costante sai sarà quadratico e quindi usando le condizioni al contorno puoi trovarti la linea elastica
forse intendevi appoggio-appoggio
comunque se su questra trave vi è solo il carico termico è evidente che il momento sia nullo (vero solo per le isostatiche) quindi è facile studiare quella equazione e studiare quindi la curvatura della trave che risulta essere castante (il termine termico a meno di precisazioni è un termine costante)
quindi il campo degli spostamenti trasversali integrando due volte la curvatura che è costante sai sarà quadratico e quindi usando le condizioni al contorno puoi trovarti la linea elastica
Ciao lorenzo.
Forse è bene fare un attimo il punto della situazione riguardo l'equazione differenziale della linea elastica, ferme restando le corrette osservazioni riportate da pocholoco92.
Per il problema flessionale, le equazioni che lo governano sono le seguenti:
\begin{eqnarray*}
(1)\quad v^{2}(x) & = & -\frac{M\left(x\right)}{EI}\\
\\
(2)\quad v^{4}(x) & = & \frac{q\left(x\right)}{EI}
\end{eqnarray*}
La $(1)$ (equazione del secondo ordine) è una versione ridotta, applicabile solo alle strutture isostatiche (in tal caso il problema statico è disaccoppiato dal problema cinematico-deformativo).
La $(2)$ (equazione del quarto ordine) è la versione estesa, applicabile sia alle isostatiche che alle iperstatiche.
Se alla struttura sono applicati anche carichi termici oltre a quelli meccanici, la $(1)$ assume la seguente forma:
\begin{eqnarray*}
v^{2}(x) = -\frac{M\left(x\right)}{EI}\pm\frac{2\alpha\Delta T}{h}
\end{eqnarray*}
dove il secondo addendo a secondo membro è la curvatura termica e il cui segno dipende dalle convenzioni che usi (solitamente la curvatura termica è positiva se tende le fibre inferiori).
Ora veniamo al tuo problema:
Se la trave (che non può essere incastro-appoggio altrimenti è iperstatica come già osservato da pocholoco92) è soggetta al solo carico termico ed è isostatica, posso applicare la $(1)$
\begin{eqnarray*}
v^{2}(x) = \pm\frac{2\alpha\Delta T}{h}
\end{eqnarray*}
nella quale il termine $(M(x))/(EI)$ è nullo, dal momento che $M(x)=0$ non essendoci carichi applicati che provocano la nascita di sollecitazione flettente come scritto giustamente da pocholoco92.
P.S. lorenzo, ho notato qualche errore nel tuo messaggio. Riporto le correzioni che credo siano da apportare e poi tu modifichi il messaggio correggendo.
Forse è bene fare un attimo il punto della situazione riguardo l'equazione differenziale della linea elastica, ferme restando le corrette osservazioni riportate da pocholoco92.
Per il problema flessionale, le equazioni che lo governano sono le seguenti:
\begin{eqnarray*}
(1)\quad v^{2}(x) & = & -\frac{M\left(x\right)}{EI}\\
\\
(2)\quad v^{4}(x) & = & \frac{q\left(x\right)}{EI}
\end{eqnarray*}
La $(1)$ (equazione del secondo ordine) è una versione ridotta, applicabile solo alle strutture isostatiche (in tal caso il problema statico è disaccoppiato dal problema cinematico-deformativo).
La $(2)$ (equazione del quarto ordine) è la versione estesa, applicabile sia alle isostatiche che alle iperstatiche.
Se alla struttura sono applicati anche carichi termici oltre a quelli meccanici, la $(1)$ assume la seguente forma:
\begin{eqnarray*}
v^{2}(x) = -\frac{M\left(x\right)}{EI}\pm\frac{2\alpha\Delta T}{h}
\end{eqnarray*}
dove il secondo addendo a secondo membro è la curvatura termica e il cui segno dipende dalle convenzioni che usi (solitamente la curvatura termica è positiva se tende le fibre inferiori).
Ora veniamo al tuo problema:
"l0r3nzo":
Facciamo un esempio più chiaro... l'altro giorno sono stato a revisione dal professore per farmi spiegare come calcolare la rotazione (per ricavarmi la formula per l'equazione dei tre momenti) in una trave incastro-appoggio istostatica dove era presente solamente un carico termico. Personalmente sarei partito dall'equazione $ EIv^(IV) = q $ mentre lui è partito da $ -v'' = K $ => $ = M/(EI) + alpha t_1 $. Perchè?
Se la trave (che non può essere incastro-appoggio altrimenti è iperstatica come già osservato da pocholoco92) è soggetta al solo carico termico ed è isostatica, posso applicare la $(1)$
\begin{eqnarray*}
v^{2}(x) = \pm\frac{2\alpha\Delta T}{h}
\end{eqnarray*}
nella quale il termine $(M(x))/(EI)$ è nullo, dal momento che $M(x)=0$ non essendoci carichi applicati che provocano la nascita di sollecitazione flettente come scritto giustamente da pocholoco92.
P.S. lorenzo, ho notato qualche errore nel tuo messaggio. Riporto le correzioni che credo siano da apportare e poi tu modifichi il messaggio correggendo.
Ho dimenticato di chiederti: ma in questa equazione:
Cosa rappresentano i simboli $K$ e $t_1$?
"l0r3nzo":
mentre lui è partito da $ -v'' = K $ $ => $ $ -v''= M/(EI) + alpha t_1 $
Cosa rappresentano i simboli $K$ e $t_1$?
"JoJo_90":
P.S. lorenzo, ho notato qualche errore nel tuo messaggio. Riporto le correzioni che credo siano da apportare e poi tu modifichi il messaggio correggendo.
Ho corretto quanto mi hai fatto notare. Il secondo caso effettivamente è stato un mio errore ma per quanto riguarda lo "scorrimento" nel mio corso viene chiamato in questo modo quindi correggo per correttezza ma l'errore, in questo caso era involontario.
Altro errore è stato aver detto "incastro-appoggio" intendevo dire "cerniera-carrello" e ho immaginato la cerniera come un incastro, chiedo scusa.
"JoJo_90":
Ho dimenticato di chiederti: ma in questa equazione:
[quote="l0r3nzo"]mentre lui è partito da $ -v'' = K $ $ => $ $ -v''= M/(EI) + alpha t_1 $
Cosa rappresentano i simboli $K$ e $t_1$?[/quote]
Con K noi intendiamo il cambiamento di curvatura della trave $K= - v'' $ ovvero l'equazione di congruenza per i problemi flessionali.
con $t_1$ si intende $(deltat_i - deltat_e)/H$ con H che è l'altezza della trave.
Tornando alla questione del topic, come sempre le risposte sono state chiarissime ma ho ancora molta nebbia nella mia testa (devo solo fare tanto esercizio, ma prima di tutto devo capire perché sennò non riesco a fare nulla)... Ciò che non capisco di più è la distinzione che esiste tra le tre equazioni differenziali perché, ad esempio, partendo dall'equazione differenziale del 4° relativa alle deformazioni flessionali, una volta trovate le 4 costanti posso definire la deformata, la rotazione il momento ed il taglio.
Lo stesso taglio però lo posso anche calcolare con l'equazione differenziale dello scorrimento $(GA)/chi v^(II) = -q$... o no?
Ciao, l'utilizzo dell'una o dell'altra equazione differenziale, dipende essenzialmente dalle ipotesi preliminari riguardanti il modello di trave utilizzato.
Il modello di "Eulero-Bernoulli" ritiene preponderante l'azione flessionale, trascurando così gli scorrimenti dovuti al taglio.
Vi è poi il modello alla "Timoshenko" in cui viene presa in considerazione anche il contributo tagliante.
EDITO
aggiungendo questo. La distinzione come detto prima è solamente tra 2 equazioni in quanto le 2:
$EJv''''=q \ \ \ (1)$
$EJv''=M \ \ \ (2)$
Sono analiticamente identiche, notare la correlazione $\rarr \frac{d^2M}{dx^2}=q(x)$
Il modello di "Eulero-Bernoulli" ritiene preponderante l'azione flessionale, trascurando così gli scorrimenti dovuti al taglio.
Vi è poi il modello alla "Timoshenko" in cui viene presa in considerazione anche il contributo tagliante.
EDITO
aggiungendo questo. La distinzione come detto prima è solamente tra 2 equazioni in quanto le 2:
$EJv''''=q \ \ \ (1)$
$EJv''=M \ \ \ (2)$
Sono analiticamente identiche, notare la correlazione $\rarr \frac{d^2M}{dx^2}=q(x)$
"ELWOOD":
Ciao, l'utilizzo dell'una o dell'altra equazione differenziale, dipende essenzialmente dalle ipotesi preliminari riguardanti il modello di trave utilizzato.
Il modello di "Eulero-Bernoulli" ritiene preponderante l'azione flessionale, trascurando così gli scorrimenti dovuti al taglio.
Vi è poi il modello alla "Timoshenko" in cui viene presa in considerazione anche il contributo tagliante.
EDITO
aggiungendo questo. La distinzione come detto prima è solamente tra 2 equazioni in quanto le 2:
$EJv''''=q \ \ \ (1)$
$EJv''=M \ \ \ (2)$
Sono analiticamente identiche, notare la correlazione $\rarr \frac{d^2M}{dx^2}=q(x)$
Dunque, noi utilizziamo la semplificazione di "Eulero-Bernoulli" che appunto consente di non considerare il contributo tagliante, mentre Timoshenko non è mai stato nominato.
Quindi in conclusione è il professore, o il testo dell'esercizio che mi indirizza sul tipo di equazione utilizzare?
Se utilizzate il modello di Eulero-Bernoulli, allora l'equazione $(GA)/\chiv''(x) = -q$ non la devi considerare.
In generale, l'utilizzo dell'uno o dell'altro modello (con le rispettive equazioni reggenti) dipende dalla trave da studiare. Se è una trave per la quale è possibile introdurre le ipotesi di Eulero-Bernoulli (trave snella), si adotta tale modello, altrimenti se la trave non risponde ai detti requisiti (trave cosiddetta "tozza"), bisogna applicare il modello di Timoshenko.
Nel tuo caso, se dici che quest'ultimo non lo avete nemmeno nominato, non puoi sbagliarti sulle equazioni da usare.
Ciao.
"l0r3nzo":
Quindi in conclusione è il professore, o il testo dell'esercizio che mi indirizza sul tipo di equazione utilizzare?
In generale, l'utilizzo dell'uno o dell'altro modello (con le rispettive equazioni reggenti) dipende dalla trave da studiare. Se è una trave per la quale è possibile introdurre le ipotesi di Eulero-Bernoulli (trave snella), si adotta tale modello, altrimenti se la trave non risponde ai detti requisiti (trave cosiddetta "tozza"), bisogna applicare il modello di Timoshenko.
Nel tuo caso, se dici che quest'ultimo non lo avete nemmeno nominato, non puoi sbagliarti sulle equazioni da usare.
Ciao.
Ok, grazie mille! 
Prego
Salve ragazzi, posto qui il mio dubbio perchè è inerente all'argomento. Io ho questa situazione (vedi fig.)
Il dubbio è: l'equazione differenziale della linea elastica nel secondo tratto è $ v^(IV)= -q/(EJ) $? Nella mia convenzione dei segni il positivo è verso il basso.
Grazie...
Il dubbio è: l'equazione differenziale della linea elastica nel secondo tratto è $ v^(IV)= -q/(EJ) $? Nella mia convenzione dei segni il positivo è verso il basso.
Grazie...
Si.
okok grazie.. quindi quando scrivo l'equazione differenziale della linea elastica estensionale e flessionale devo tener conto del segno..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo