[Scienza delle Costruzioni] Equazione di Navier e asse neutro esercizio
Salve a tutti, da diversi giorni sto ragionando su questa cosa che non riesco a risolvere e spero in un vostro aiuto:
data la sezione :
e i dati geometrici:
mi si chiede di trovare le tensioni massime e minime che agiscono nella sezione e l'asse neutro.
Vado a calcolare la componente del momento lungo x e lungo y:
$M_x = P*e_y=867 kN*cm$
$M_y =-P*e_x=-499.5 kN*cm$
ora vado ad applicare la formula binomia di Navier essendo in presenza di flessione deviata:
$\sigma_z=+-N/A +-M_x/I_x *y +- M_y/I_y *x$
essendo il momento nel secondo quadrante quindi dove $x$ è positivo e $y$ è negativo; vado a ragionare usando la regola della mano destra, quindi : $Mx$ comprime le fibre del semipiano negativo delle $y$ e tende quelle del semipiano positivo delle $y$, mentre $My$ comprime le fibre del semipiano negativo delle $x$ e tende quelle del semipiano positivo delle $x$...sapendo ciò vado a disegnare il diagramma delle tensioni :
ora basandomi sul diagramma posso scrivere che $\sigma_z$ sarà massima nel punto$ A$ dove $Mx$ da contributo negativo alla $\sigma_z$ e $My$ da contributo negativo alla $\sigma_z$ quindi scriverò:
$\sigma_{z_max}= -N/A - M_x/I_x * y_{max} - M_y/I_y * x_{max}$
dove$ y_{max},x_{max},N,M_x,M_y$ sono quantità che andrò a inserire nell'equazione "senza segno" e userò i segni dati dal diagramma cioè rispettivamente se $N$ o $M$ andranno a fornire un contributo positivo o negativo alla tensione normale $\sigma_z$ quindi:
$\sigma_{z_max} = -53 -(867*10^4)/(1943*10^4) * 100 - (499.5*10^4)/(142*10^4) *50 $
$\sigma_{z_max} = -273.5 mPa$
seguendo lo stesso ragionamento ricavo $\sigma_{z_min}$ che guardando il grafico delle tensioni si ha nel punto $B$ dove si ha
$\sigma_{z_min} = -N/A + M_x /I_x * y_{max} + M_y / I_y *x_{max}$
$\sigma_{z_min} = -53 +(867*10^4)/(1943*10^4) * 100 + (499.5*10^4)/(142*10^4) *50 = 167.50 N/(mm)^2$
Fin qui il ragionamento è sbagliato ?
cioè trovare le componenti del momento, poi disegnare il diagramma delle tensioni per poi valutare i segni nell'equazione di Navier ?
Mentre per l'equazione dell'asse neutro non so come mettere i segni, ho provato così data l'equazione generale:
$+-1 +-e_y/\rho _x^2 *y +- e_x/\rho _y^2 *x = 0 $
sostituisco le coordinate del centro di pressione ossia $C=(-e_x,-e_y)$ quindi:
$+-1 +-(-e_y/\rho _x^2 *y) +- (-e_x/\rho_y^2 *x) = 0$
quindi ottengo
$+1-e_y/\rho_x^2 *y - e_x/\rho _y^2 *x = 0$
$+1-0.0084y - 0.066x =0$
il ragionamento anche qui è giusto ???
Vi ringrazio in anticipo, ma ci sto davvero perdendo la testa da giorni su questo tipo di esercizi
data la sezione :
e i dati geometrici:
mi si chiede di trovare le tensioni massime e minime che agiscono nella sezione e l'asse neutro.
Vado a calcolare la componente del momento lungo x e lungo y:
$M_x = P*e_y=867 kN*cm$
$M_y =-P*e_x=-499.5 kN*cm$
ora vado ad applicare la formula binomia di Navier essendo in presenza di flessione deviata:
$\sigma_z=+-N/A +-M_x/I_x *y +- M_y/I_y *x$
essendo il momento nel secondo quadrante quindi dove $x$ è positivo e $y$ è negativo; vado a ragionare usando la regola della mano destra, quindi : $Mx$ comprime le fibre del semipiano negativo delle $y$ e tende quelle del semipiano positivo delle $y$, mentre $My$ comprime le fibre del semipiano negativo delle $x$ e tende quelle del semipiano positivo delle $x$...sapendo ciò vado a disegnare il diagramma delle tensioni :
ora basandomi sul diagramma posso scrivere che $\sigma_z$ sarà massima nel punto$ A$ dove $Mx$ da contributo negativo alla $\sigma_z$ e $My$ da contributo negativo alla $\sigma_z$ quindi scriverò:
$\sigma_{z_max}= -N/A - M_x/I_x * y_{max} - M_y/I_y * x_{max}$
dove$ y_{max},x_{max},N,M_x,M_y$ sono quantità che andrò a inserire nell'equazione "senza segno" e userò i segni dati dal diagramma cioè rispettivamente se $N$ o $M$ andranno a fornire un contributo positivo o negativo alla tensione normale $\sigma_z$ quindi:
$\sigma_{z_max} = -53 -(867*10^4)/(1943*10^4) * 100 - (499.5*10^4)/(142*10^4) *50 $
$\sigma_{z_max} = -273.5 mPa$
seguendo lo stesso ragionamento ricavo $\sigma_{z_min}$ che guardando il grafico delle tensioni si ha nel punto $B$ dove si ha
$\sigma_{z_min} = -N/A + M_x /I_x * y_{max} + M_y / I_y *x_{max}$
$\sigma_{z_min} = -53 +(867*10^4)/(1943*10^4) * 100 + (499.5*10^4)/(142*10^4) *50 = 167.50 N/(mm)^2$
Fin qui il ragionamento è sbagliato ?
cioè trovare le componenti del momento, poi disegnare il diagramma delle tensioni per poi valutare i segni nell'equazione di Navier ?
Mentre per l'equazione dell'asse neutro non so come mettere i segni, ho provato così data l'equazione generale:
$+-1 +-e_y/\rho _x^2 *y +- e_x/\rho _y^2 *x = 0 $
sostituisco le coordinate del centro di pressione ossia $C=(-e_x,-e_y)$ quindi:
$+-1 +-(-e_y/\rho _x^2 *y) +- (-e_x/\rho_y^2 *x) = 0$
quindi ottengo
$+1-e_y/\rho_x^2 *y - e_x/\rho _y^2 *x = 0$
$+1-0.0084y - 0.066x =0$
il ragionamento anche qui è giusto ???
Vi ringrazio in anticipo, ma ci sto davvero perdendo la testa da giorni su questo tipo di esercizi
Risposte
Ma cosa sono tutti quei segni meno e più, ma chi ti ha insegnato a fare quella roba?
Il trinomio di Navier (trinomio, non binomio, ci sono 3 termini) risolve esattamente (dove con esattamente intendo in modo esatto, ossia non approssimato) il problema di trovare la $sigma_z$ nel problema di de sant venant:
$sigma_z=N/A+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
Questa equazione è espressa in un sistema di riferimento ortonormale principale centrale positivamente orientato, in cui tutte le sollecitazioni sono applicate sul baricentro. N è positiva se di trazione, negativa se di compressione, $M_x$ è positiva se rivolta lungo il verso positivo dell'asse x, negativo altrimenti, stessa cosa per $M_y$.
Nel caso in cui $N$ non sia applicato nel baricentro, ma in un punto (x_0, y_0), lo si sposta nel baricentro aggiungendo due momenti di trasporto:
$M_x=Ny_0$
$M_y=-Nx_0$
In queste due formule N e il punto (x_0, y_0) vanno presi con segno, quelle due relazioni ti danno direttamente il segno dei due momenti, e li inserisci nel trinomio, stessa cosa per l'asse centrale.
Il trinomio di Navier (trinomio, non binomio, ci sono 3 termini) risolve esattamente (dove con esattamente intendo in modo esatto, ossia non approssimato) il problema di trovare la $sigma_z$ nel problema di de sant venant:
$sigma_z=N/A+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
Questa equazione è espressa in un sistema di riferimento ortonormale principale centrale positivamente orientato, in cui tutte le sollecitazioni sono applicate sul baricentro. N è positiva se di trazione, negativa se di compressione, $M_x$ è positiva se rivolta lungo il verso positivo dell'asse x, negativo altrimenti, stessa cosa per $M_y$.
Nel caso in cui $N$ non sia applicato nel baricentro, ma in un punto (x_0, y_0), lo si sposta nel baricentro aggiungendo due momenti di trasporto:
$M_x=Ny_0$
$M_y=-Nx_0$
In queste due formule N e il punto (x_0, y_0) vanno presi con segno, quelle due relazioni ti danno direttamente il segno dei due momenti, e li inserisci nel trinomio, stessa cosa per l'asse centrale.
Avevo letto questa discussione:
viewtopic.php?f=38&t=150946&hilit
ma penso di aver mal interpretato
quindi in qualsiasi modo sia orientato il momento non importa, l'equazione è quella riportata da te:
$sigma_z=N/A+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
poi i segni li andrò a mettere a seconda delle proiezioni del momento lungo x e y
Un'altra domanda se avessi sempre un sistema di riferimento ortonormale principale centrale ma con x e y orientati diversamente l'equazione come si modificherebbe ?
Cioè quello che non capisco è perché c'è un segno "-" avanti al terzo termine al secondo membro $M_y/I_yx$, come si spiega ?
viewtopic.php?f=38&t=150946&hilit
ma penso di aver mal interpretato
quindi in qualsiasi modo sia orientato il momento non importa, l'equazione è quella riportata da te:
$sigma_z=N/A+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
poi i segni li andrò a mettere a seconda delle proiezioni del momento lungo x e y
Un'altra domanda se avessi sempre un sistema di riferimento ortonormale principale centrale ma con x e y orientati diversamente l'equazione come si modificherebbe ?
Cioè quello che non capisco è perché c'è un segno "-" avanti al terzo termine al secondo membro $M_y/I_yx$, come si spiega ?
quindi in qualsiasi modo sia orientato il momento non importa, l'equazione è quella riportata da te; poi i segni li andrò a mettere a seconda delle proiezioni del momento lungo x e y
Si, se ti danno il vettore momento M, una volta trovati gli assi x e y, scomponi M lungo queste due direzioni, le componenti M_x e M_y saranno positive o negative a seconda che siano concordi o meno con il rispettivo asse.
Un'altra domanda se avessi sempre un sistema di riferimento ortonormale principale centrale ma con x e y orientati diversamente l'equazione come si modificherebbe ?
Sarebbe invariata, la dimostrazione del trinomio di Navier è eseguita su un generico sistema di assi principali centrali (gli assi x e y però devono essere "positivamente orientati", ossia y deve essere ruotato rispetto a x di 90 gradi in senso antiorario)
Puoi provare con una sezione circolare, in cui ogni coppia di assi ortogonali è principale centrale, prendi due sdr inclinati l'uno rispetto all'altro di 45 gradi, prendi un vettore M e vedi se la $sigma_z$ risultante è la stessa nei due casi.
Ok grazie mille, ancora un altra domanda :
Perché c'è un segno "-" avanti al terzo termine al secondo membro $M_y/I_yx$, come si spiega ?
Perché c'è un segno "-" avanti al terzo termine al secondo membro $M_y/I_yx$, come si spiega ?
Non c'è un vero motivo, non so se te l'hanno dimostrato analiticamente il trinomio di navier, ma si ottiene applicando le definizioni di momento flettente su una sezione , sforzo normale, taglio etc, svolgendo i calcoli il riosultato è quello lì, e dato che nella soluzione analitica fatta per bene si usano le equazioni costitutive elastiche, le equazioni di bilancio e le equazioni di beltrami-donati-mitchell, ossia tutti gli ingredienti necessari per il problema elastico, la soluzione non può che essere quella.
Nel caso della formula del taglio di jourawksi per esempio si usano solo le equazioni di bilancio, e per questo la soluzione non è esatta.
Nel caso della formula del taglio di jourawksi per esempio si usano solo le equazioni di bilancio, e per questo la soluzione non è esatta.
Dopo aver parlato dello sforzo normale centrato, della flessione retta, vi è lo sforzo normale eccentrico dove c'è scritto :
"ricordando dall'elasticità lineare che il principio di sovrapposizione degli effetti vale per gli spostamenti, per le tensioni e le per le deformazioni; allora si ha che, per le tensioni il principio di sovapposizione degli effetti ci dice che:
$sigma_z=N/A+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
dove quel segno meno deriva dal fatto che momento positivo My tende le fibre longitudinali del semipiano x<0 "
e utilizza questo disegno:
Perciò ho approfittato per chiedere del segno meno !
ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato !!
"ricordando dall'elasticità lineare che il principio di sovrapposizione degli effetti vale per gli spostamenti, per le tensioni e le per le deformazioni; allora si ha che, per le tensioni il principio di sovapposizione degli effetti ci dice che:
$sigma_z=N/A+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
dove quel segno meno deriva dal fatto che momento positivo My tende le fibre longitudinali del semipiano x<0 "
e utilizza questo disegno:
Perciò ho approfittato per chiedere del segno meno !
ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato !!
Si, quella è la formula giusta, voi l'avete dimostrata a pezzi per poi usare il principio si sovrapposizione e sommare tutto, e magari in quel caso si può dare qualche giustificazione al segno meno, ma in una dimostrazione "globale" che non usa il principio di sovrapposizione ma ti restituisce direttamente il trinomio, non c'è bisogno di giustificare i meno o i più.
Questa è la dimostrazione di cui ti parlo, presente sul Baldacci https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Saint_Venant
Questa è la dimostrazione di cui ti parlo, presente sul Baldacci https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Saint_Venant
Anche per la flessione deviata ho la stessa cosa:
$sigma_z=+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
dove la spiegazione è : dobbiamo far molta attenzione ai segni, sono molto importanti nella flessione deviata infatti il segno meno è semplicemente dovuto alle convenzioni ossia alla direzione degli assi x e y scelti
ho letto su Wikipedia ma non capisco perché vi è un segno meno nell'integrale di M_3
$M_3 = int -\sigma_{11} x_2 dA $
come mai ?
$sigma_z=+M_x/I_xy-M_y/I_yx$
dove la spiegazione è : dobbiamo far molta attenzione ai segni, sono molto importanti nella flessione deviata infatti il segno meno è semplicemente dovuto alle convenzioni ossia alla direzione degli assi x e y scelti
ho letto su Wikipedia ma non capisco perché vi è un segno meno nell'integrale di M_3
$M_3 = int -\sigma_{11} x_2 dA $
come mai ?
Applichi la definizione:
La forza risultante applicata su una sezione del cilindro è:
$R=intsigmae_3dS$
La componente normale è la proiezione di R su $e_3$:
$N=R*e_3=inte_3*sigmae_3dS=intsigma_zdS$ (basta svolgere i calcoli)
Similmente il momento risultante:
$M=intrxxRdS=intrxxsigmae_3dS$
Il momento $M_y$ è la proiezione del momento risultante sulla direzione $e_2$:
$M_y=M*e_2=inte_2*rxxsigmae_3dS$
Svolgendo i calcoli, posto $r=(x,y,0)$ Infatti r è il vettore posizione sulla sezione e quindi giace sulla sezione, ortogonale all'asse e_3, per cui la componente $z$ di r è nulla, si ottiene:
$M_y=int-sigma_zxdS$
E similmente si ottiene:
$M_x=intsigma_zydS$
Utilizzando queste relazioni, si arriva alla formula di Navier, che contiene quel meno di cui non c'è da preoccuparsi facendosi tanti problemi sulle fibre tese e altra roba.
p.s. sulla pagina di wikipedia come versore normale alla sezione del cilindro è preso $e_1$, ma il risultato è lo stesso, basta ruotare ciclicamente i vettori, M_y in wikipedia è la proiezione di M lungo e_3 e M_x sarà la proiezione di M lungo e_2.
La forza risultante applicata su una sezione del cilindro è:
$R=intsigmae_3dS$
La componente normale è la proiezione di R su $e_3$:
$N=R*e_3=inte_3*sigmae_3dS=intsigma_zdS$ (basta svolgere i calcoli)
Similmente il momento risultante:
$M=intrxxRdS=intrxxsigmae_3dS$
Il momento $M_y$ è la proiezione del momento risultante sulla direzione $e_2$:
$M_y=M*e_2=inte_2*rxxsigmae_3dS$
Svolgendo i calcoli, posto $r=(x,y,0)$ Infatti r è il vettore posizione sulla sezione e quindi giace sulla sezione, ortogonale all'asse e_3, per cui la componente $z$ di r è nulla, si ottiene:
$M_y=int-sigma_zxdS$
E similmente si ottiene:
$M_x=intsigma_zydS$
Utilizzando queste relazioni, si arriva alla formula di Navier, che contiene quel meno di cui non c'è da preoccuparsi facendosi tanti problemi sulle fibre tese e altra roba.
p.s. sulla pagina di wikipedia come versore normale alla sezione del cilindro è preso $e_1$, ma il risultato è lo stesso, basta ruotare ciclicamente i vettori, M_y in wikipedia è la proiezione di M lungo e_3 e M_x sarà la proiezione di M lungo e_2.
Ok perfetto grazie mille !! Adesso non ho più dubbi !!!
Per quanto riguarda l'esercizio per calcolare i punti con $\sigma_max$ e $\sigma_min$ come posso procedere ?
Adesso ho corretto così:
Una volta scritta l'eq di Navier che nel nostro caso diventa (ricordando che N e My sono negative):
$\sigma=-N/A + M_x/I_x y + M_y/I_y x $
quindi ho pensato che sarà massima quando avremo x e y negative (x=-50 e y=-100) ossia nel terzo quadrante e, minima quando x e y sono entrambe positive (x=50 e y=100) quindi primo quadrante
per quanto riguarda il diagramma delle tensioni
ho pensato che una volta proiettati $M_x$ e $M_y$ nel nostro sistema; di utilizzare la regola della mano destra per capire i momenti quali fibre comprimono e quali tendono, una volta tracciati i 3 diagrammi posso dire quali sono i due punti più sollecitati ossia A è il più sollecitato e B è il meno sollecitato
è giusto adesso ?
Adesso ho corretto così:
Una volta scritta l'eq di Navier che nel nostro caso diventa (ricordando che N e My sono negative):
$\sigma=-N/A + M_x/I_x y + M_y/I_y x $
quindi ho pensato che sarà massima quando avremo x e y negative (x=-50 e y=-100) ossia nel terzo quadrante e, minima quando x e y sono entrambe positive (x=50 e y=100) quindi primo quadrante
per quanto riguarda il diagramma delle tensioni
ho pensato che una volta proiettati $M_x$ e $M_y$ nel nostro sistema; di utilizzare la regola della mano destra per capire i momenti quali fibre comprimono e quali tendono, una volta tracciati i 3 diagrammi posso dire quali sono i due punti più sollecitati ossia A è il più sollecitato e B è il meno sollecitato
è giusto adesso ?
Non so come te lo hanno insegnato a te, ma per disegnare l'andamento di $sigma_z$ sulla sezione si traccia l'asse neutro e poi si prendono due parallele all'asse neutro che intersecano le posizioni limite della sezione, si traccia la normale all'asse neutro e poi si traccia una retta obliqua che rappresenta l'andamento di $sigma_z$. Da questo procedimento si capisce che sigma_z massimo e minimo si trovano sulla frontiera della sezione, cosa evidente considerando che $sigma_z$ è una funzione continua di due variabili x,y sul dominio compatto rappresentato dalla sezione, il gradiente di sigma non si annulla mai sulla sezione, quindi il massimo e minimo si trovano necessariamente sulla frontiera.
Per capire su quale estremo si trova il minimo e su quale il massimo di $\sigma_z$ come fai ?
Ti ringrazio per l'enorme mano che mi stai dando !
Ti ringrazio per l'enorme mano che mi stai dando !
Calcoli $sigma_z$ sui due estremi, metti il valore sulla relativa retta, e poi tracci una retta obliqua che interseca l'asse neutro e la normale...otttieni il diagramma di $sigma_z$
Ecco, in questo esempio, si calcola il valore di sigma_z sull'estremo in alto, mettiamo sia positivo, allora quello sarà il valore sigma_max, mentre quello nell'altro estremo sarà sigma_min
Ecco, in questo esempio, si calcola il valore di sigma_z sull'estremo in alto, mettiamo sia positivo, allora quello sarà il valore sigma_max, mentre quello nell'altro estremo sarà sigma_min
Ok grazie mille ! Ottima spiegazione !
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