[Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento
Buongiorno, come al solito ho bisogno di qualche delucidazione per sopperire a 12 anni di mancato studio.
Sto studiando il principio del lavori virtuali, mi trovo in un primo momento indicato che la derivata seconda del vettore spostamento (ortogonale alla trave) è la curvatura, dopo poche pagine mi trovo che la derivata seconda del vettore spostamento (ortogonale alla trave) è la curvatura cambiata di segno ... quale delle 2 è corretta?
Potete darmi (se possibile) una spiegazione grafica della questione, forse 15 anni fa non ci sarebbe stato bisogno!
Grazie
Sto studiando il principio del lavori virtuali, mi trovo in un primo momento indicato che la derivata seconda del vettore spostamento (ortogonale alla trave) è la curvatura, dopo poche pagine mi trovo che la derivata seconda del vettore spostamento (ortogonale alla trave) è la curvatura cambiata di segno ... quale delle 2 è corretta?
Potete darmi (se possibile) una spiegazione grafica della questione, forse 15 anni fa non ci sarebbe stato bisogno!
Grazie
Risposte
Scusate la ripetizione, qualcuno può essermi di aiuto?
A parte il discorso del segno meno (credo sia una svista, è corretta la "versione" col segno meno), potete chiarirmi per favore il legame che c'è tra vettore spostamento (in direzione ortogonale alla trave) - curvatura della trave (associata al momento) - cedimento su vincolo rotazionale.
In pratica le ipotesi cinematiche per l'enunciato del principio del lavori virtuali (precisamente il teorema dei lavori virtuali), sono:
SPOSTAMENTI
$ vec(u) $ = vettore spostamento ortogonale alla trave (funzione di z,con z coordinata longitudinale pt su trave)
$ vec(w) $ = vettore spostamento longitudinale alla trave (funzione di z,con z coordinata longitudinale pt su trave)
DEFORMAZIONI
$ epsilon $ - deformazione longitudinale
$ gamma $ - deformazione angolare (trascurabile per corpi sufficientemente snelli)
$ kappa $ - curvatura
CEDIMENTI
$ zeta i $ cedimento longitudinale alla trave
$ zeta j $ cedimento ortogonale alla trave
$ phi k $ cedimento di rotazione
Per la congruenza interna avrò:
$ epsilon = vec(w)'$
$ kappa = -vec(u)''$ (- derivata seconda del vettore spostamento ortogonale alla trave)
Per la congruenza esterna su vincoli avrò:
$ zeta i $ = $ vec(w) $ (agli estremi, ossia sui vincoli)
$ zeta j $ = $ vec(u) $ (agli estremi, ossia sui vincoli)
$ phi k = -vec(u) '$ (agli estremi) (- derivata prima del vettore spostamento ortogonale alla trave)
In pratica non ho capito perchè sono rispettivamente - la derivata prima del vettore spostamento e - la derivata seconda del vettore spostamento ... siamo in ipotesi di piccoli spostamenti.
grazie
A parte il discorso del segno meno (credo sia una svista, è corretta la "versione" col segno meno), potete chiarirmi per favore il legame che c'è tra vettore spostamento (in direzione ortogonale alla trave) - curvatura della trave (associata al momento) - cedimento su vincolo rotazionale.
In pratica le ipotesi cinematiche per l'enunciato del principio del lavori virtuali (precisamente il teorema dei lavori virtuali), sono:
SPOSTAMENTI
$ vec(u) $ = vettore spostamento ortogonale alla trave (funzione di z,con z coordinata longitudinale pt su trave)
$ vec(w) $ = vettore spostamento longitudinale alla trave (funzione di z,con z coordinata longitudinale pt su trave)
DEFORMAZIONI
$ epsilon $ - deformazione longitudinale
$ gamma $ - deformazione angolare (trascurabile per corpi sufficientemente snelli)
$ kappa $ - curvatura
CEDIMENTI
$ zeta i $ cedimento longitudinale alla trave
$ zeta j $ cedimento ortogonale alla trave
$ phi k $ cedimento di rotazione
Per la congruenza interna avrò:
$ epsilon = vec(w)'$
$ kappa = -vec(u)''$ (- derivata seconda del vettore spostamento ortogonale alla trave)
Per la congruenza esterna su vincoli avrò:
$ zeta i $ = $ vec(w) $ (agli estremi, ossia sui vincoli)
$ zeta j $ = $ vec(u) $ (agli estremi, ossia sui vincoli)
$ phi k = -vec(u) '$ (agli estremi) (- derivata prima del vettore spostamento ortogonale alla trave)
In pratica non ho capito perchè sono rispettivamente - la derivata prima del vettore spostamento e - la derivata seconda del vettore spostamento ... siamo in ipotesi di piccoli spostamenti.
grazie
Questo non ha niente a che fare con il principio dei lavori virtuali.
Si tratta del modello di trave di Eulero-Bernoulli...se non te li ricordi ristudiatelo.
Si tratta del modello di trave di Eulero-Bernoulli...se non te li ricordi ristudiatelo.
"serendipity00":
Questo non ha niente a che fare con il principio dei lavori virtuali.
Si tratta del modello di trave di Eulero-Bernoulli...se non te li ricordi ristudiatelo.
Il contesto era quello
Hai una curva nel piano, insomma pensala come una funzione y=f(x), cosa rappresentano la derivata prima e seconda della funzione, se la funzione è "poco curva"?
"serendipity00":
Hai una curva nel piano, insomma pensala come una funzione y=f(x), cosa rappresentano la derivata prima e seconda della funzione, se la funzione è "poco curva"?
In condizioni di funzione "qualsiasi" la derivata prima è il coefficiente angolare mentre la derivata seconda è il coefficiente angolare della derivata prima, rispetto alla funzione non derivata ci da indicazione di come cambia la derivata prima.
Per piccoli spostamenti (poco curva come dici tu) ... non saprei ... somareggio sorry
In condizioni di funzione "qualsiasi" la derivata prima è il coefficiente angolare mentre la derivata seconda è il coefficiente angolare della derivata prima, rispetto alla funzione non derivata ci da indicazione di come cambia la derivata prima
EH beh grazie
La derivata è la $tan\theta$ dell'angolo formato dalla tangente con l'asse orizzontale, se la funzione è "poco curva" allora $\theta$ è piccolo e quindi $y'=tan theta \ approx \theta$.
Per quanto riguarda la curvatura, si può dimostrare che vale:
$k=(y'')/(1+(y')^2)^(3/2)$
Se la derivata prima è trascurabile allora $k\approx y''$.
nel caso della trave si hanno i segni negativi perché prendiamo una y verso il basso (dove la y corrisponde allo spostamento verticale u), ma comuque ce chi li prende senza meno, dipende dalla convenzione scelta per gli angoli, ma non è importante.
Ciao, se può essere utile, ho trovato questo link:
http://www.mat.uniroma2.it/~geo2/G2curve.pdf
Alla pagina 9, in particolare:
In pratica, se definisci la funzione u(x) in forma parametrica come (x; u(x)), poi puoi applicare la definizione di curvatura k, derivando due volte le componenti della forma parametrica e poi calcolandone la norma. Siccome derivando due volte x, questa diventa 0, avanza solo la componente u’’: se ne calcoli la norma, riottieni u’’.
Quindi, k=u’’ (a meno del segno, a seconda delle convenzioni scelte).
http://www.mat.uniroma2.it/~geo2/G2curve.pdf
Alla pagina 9, in particolare:
In pratica, se definisci la funzione u(x) in forma parametrica come (x; u(x)), poi puoi applicare la definizione di curvatura k, derivando due volte le componenti della forma parametrica e poi calcolandone la norma. Siccome derivando due volte x, questa diventa 0, avanza solo la componente u’’: se ne calcoli la norma, riottieni u’’.
Quindi, k=u’’ (a meno del segno, a seconda delle convenzioni scelte).
"Thememe1996":
Ciao, se può essere utile, ho trovato questo link:
http://www.mat.uniroma2.it/~geo2/G2curve.pdf
Alla pagina 9, in particolare:
In pratica, se definisci la funzione u(x) in forma parametrica come (x; u(x)), poi puoi applicare la definizione di curvatura k, derivando due volte le componenti della forma parametrica e poi calcolandone la norma. Siccome derivando due volte x, questa diventa 0, avanza solo la componente u’’: se ne calcoli la norma, riottieni u’’.
Quindi, k=u’’ (a meno del segno, a seconda delle convenzioni scelte).
Grazie, si interessante
Quindi, k=u’’ (a meno del segno, a seconda delle convenzioni scelte).
Non credo proprio...
Vale solo nelle ipotesi di derivata prima piccola
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