[Scienza delle Costruzioni] centro di taglio
Buon giorno foro
Chiedo aiuto per la risoluzione di un esercizio sul centro di taglio. Di norma non ho problemi, ma in quest'esercizio mi ha dato problemi la geometria, la quale, come vedete ha una parte semicircolare. Ho avuto non pochi problemi a calcolare momento statico e inerziale della figura
La figura è la seguente
nel punto $H$ abbiamo un'apertura di ampiezza trascurabile
La trave ha spessore uniforme $s$ uniforme e sottile rispetto a $l$
si determini il centro di taglio
Allora, la geometria ha simmetria orizzontale, dunque la componente dominante del taglio è diretta verticalmente, e, se applicata sul tratto verticale, possiamo eliminare dai calcoli il momento statico di quel pezzo ( braccio nullo ) e quindi dovremo calcolare solo il momento statico del tratto orizzontale e del quarto di circonferenza, che, per simmetria sono uguali ai tratti inferiori.
Ora, per jourawsky: $\tau = - (T_y / I_x) * S_x$
1) Devo dunque calcolare $I_x = 2 * ( ( l^3 * s / 12 ) + ( l^3 * s /4 ) + (l*s^3 / 12 ) + ( l^3 * s ) )$
dove, il terzo termine si può trascurare in quanto $s
2) ora ho bisogno di $S_x$, iniziamo con il tratto orizzontale superiore, fissando la variabile $\xi$ da destra a sinistra
$S_x ( \xi_1 ) = s* \xi_1 * l$
$S_x (\xi_1 = l ) = s*l^2$
$S_x ( \xi_2 ) = s*l^2 + $
dove, $s*l^2$ è il contributo di $S_x(\xi_1 )$
come calcolo il contributo di tale tratto??
3) ora posso calcolare $\tau$, sapendo che per il primo tratto $S_x (\xi_1) >0$, quindi $\tau_1 < 0$ ( con significato che lo sforzo è discorde al momento statico )
Mi aspetto che anche $S_x(\xi_2)$ sia $>0$ così che $\tau_2$ sia $<0$
da qui, posso calcolarmi la forza $R_i$, sapendo che $R_1 = R_3$ e $R_2 = R_4 $
m'interesso solo ai moduli in quanto, quando calcolerò la posizione del centro di taglio, vedrò il verso del momento che formano e vedrò se sono positivi o negativi i contributi, in questo caso sono tutti positivi ( avendo posto la rotazione oraria positiva )
Grazie per l'aiuto
Chiedo aiuto per la risoluzione di un esercizio sul centro di taglio. Di norma non ho problemi, ma in quest'esercizio mi ha dato problemi la geometria, la quale, come vedete ha una parte semicircolare. Ho avuto non pochi problemi a calcolare momento statico e inerziale della figura
La figura è la seguente
nel punto $H$ abbiamo un'apertura di ampiezza trascurabile
La trave ha spessore uniforme $s$ uniforme e sottile rispetto a $l$
si determini il centro di taglio
Allora, la geometria ha simmetria orizzontale, dunque la componente dominante del taglio è diretta verticalmente, e, se applicata sul tratto verticale, possiamo eliminare dai calcoli il momento statico di quel pezzo ( braccio nullo ) e quindi dovremo calcolare solo il momento statico del tratto orizzontale e del quarto di circonferenza, che, per simmetria sono uguali ai tratti inferiori.
Ora, per jourawsky: $\tau = - (T_y / I_x) * S_x$
1) Devo dunque calcolare $I_x = 2 * ( ( l^3 * s / 12 ) + ( l^3 * s /4 ) + (l*s^3 / 12 ) + ( l^3 * s ) )$
dove, il terzo termine si può trascurare in quanto $s
2) ora ho bisogno di $S_x$, iniziamo con il tratto orizzontale superiore, fissando la variabile $\xi$ da destra a sinistra
$S_x ( \xi_1 ) = s* \xi_1 * l$
$S_x (\xi_1 = l ) = s*l^2$
$S_x ( \xi_2 ) = s*l^2 + $
dove, $s*l^2$ è il contributo di $S_x(\xi_1 )$
come calcolo il contributo di tale tratto??
3) ora posso calcolare $\tau$, sapendo che per il primo tratto $S_x (\xi_1) >0$, quindi $\tau_1 < 0$ ( con significato che lo sforzo è discorde al momento statico )
Mi aspetto che anche $S_x(\xi_2)$ sia $>0$ così che $\tau_2$ sia $<0$
da qui, posso calcolarmi la forza $R_i$, sapendo che $R_1 = R_3$ e $R_2 = R_4 $
m'interesso solo ai moduli in quanto, quando calcolerò la posizione del centro di taglio, vedrò il verso del momento che formano e vedrò se sono positivi o negativi i contributi, in questo caso sono tutti positivi ( avendo posto la rotazione oraria positiva )
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ciao, posso aiutarti sul calcolo del momento statico e dell'inerzia, per quanto riguarda il centro di taglio ho anch'io ancora dubbi.
Calcolo del momento di inerzia: Quando hai figure cosi` particolari ti conviene tornare alla definizione di momento di inerzia, che in questo caso e` $ I = int y^2 dA $
Attento a questo.. Hai scritto anche te $ I_x $, questo vuol dire che devi considerare la distanza tra l'elementino e l'asse x, ovvero la coordinata y dell'elementino.
Per il primo pezzo te invece hai considerato la distanza dall'asse y, che e` in coordinata x.
Sarebbe invece $ I_x = 2*(l*s)*(l^2) $, ovvero l'area del rettangolo moltiplicata per la distanza dall'asse x al quadrato.
Poi, il tratto circolare, impostiamo una $ \theta $ in questo modo, che percorra la circonferenza in senso antiorario
Se il raggio della semicirconferenza e` $ r = l $, avremo ovviamente che la cordinata $ y $ dell'altezza di un elementino sara` $ y = l*cos(\theta) $, che infatti vale $ l $ per $ \theta = 0 $ e $ 0 $ per $ \theta = pi/2 $.
Ma l'integrale dell'inerzia ci chiede anche un $ dA $, che e` l'area dell'elementino di semicirconferenza. Questo, vedi il disegno, sara` $ dA = d\theta * l * s $
L'integrale diventara` $ I_2 = int (l*cos(\theta))^2*l*s*d\theta $ da 0 a pi, che fara` $ I_2 = pi/2 * l^3 * s$
Momento statico, stessa cosa.
Per il primo rettangolo, sara` $ S = int ydA = l*s*\xi_1 $ come hai gia` scritto, mentre per la semicirconferenza avrai:
$ S = int ydA = int l*cos(\theta)*l*s*d\theta $, stavolta pero` integriamo da 0 a $ \theta $, altrimenti viene nullo. Sara` quindi $ S = l^2*s*sin(\theta) + s*l^2 $ (senza dimenticarsi il contributo del rettangolino). Questo posso usarlo per il calcolo delle tensioni con Jourawsky.
Qui mi blocco anch'io perche` secondo me va fatto in un modo, e il professore ne dice un altro, che secondo me e` sbagliato.
Adesso che ci penso, per il tuo caso sarebbe meglio calcolare tutto rispetto al centro della circonferenza piuttosto che al traferro, perche` altrimenti calcolare il momento generato dalla tensioni tangenziali diventa assurdo, tocca fare un prodotto vettoriale non banale.. Mettendosi al centro della circonferenza, le tensioni tangenziali sono tutte perpendicolari al raggio, per definizione.
Calcolo del momento di inerzia: Quando hai figure cosi` particolari ti conviene tornare alla definizione di momento di inerzia, che in questo caso e` $ I = int y^2 dA $
Attento a questo.. Hai scritto anche te $ I_x $, questo vuol dire che devi considerare la distanza tra l'elementino e l'asse x, ovvero la coordinata y dell'elementino.
Per il primo pezzo te invece hai considerato la distanza dall'asse y, che e` in coordinata x.
Sarebbe invece $ I_x = 2*(l*s)*(l^2) $, ovvero l'area del rettangolo moltiplicata per la distanza dall'asse x al quadrato.
Poi, il tratto circolare, impostiamo una $ \theta $ in questo modo, che percorra la circonferenza in senso antiorario
Se il raggio della semicirconferenza e` $ r = l $, avremo ovviamente che la cordinata $ y $ dell'altezza di un elementino sara` $ y = l*cos(\theta) $, che infatti vale $ l $ per $ \theta = 0 $ e $ 0 $ per $ \theta = pi/2 $.
Ma l'integrale dell'inerzia ci chiede anche un $ dA $, che e` l'area dell'elementino di semicirconferenza. Questo, vedi il disegno, sara` $ dA = d\theta * l * s $
L'integrale diventara` $ I_2 = int (l*cos(\theta))^2*l*s*d\theta $ da 0 a pi, che fara` $ I_2 = pi/2 * l^3 * s$
Momento statico, stessa cosa.
Per il primo rettangolo, sara` $ S = int ydA = l*s*\xi_1 $ come hai gia` scritto, mentre per la semicirconferenza avrai:
$ S = int ydA = int l*cos(\theta)*l*s*d\theta $, stavolta pero` integriamo da 0 a $ \theta $, altrimenti viene nullo. Sara` quindi $ S = l^2*s*sin(\theta) + s*l^2 $ (senza dimenticarsi il contributo del rettangolino). Questo posso usarlo per il calcolo delle tensioni con Jourawsky.
Qui mi blocco anch'io perche` secondo me va fatto in un modo, e il professore ne dice un altro, che secondo me e` sbagliato.
Adesso che ci penso, per il tuo caso sarebbe meglio calcolare tutto rispetto al centro della circonferenza piuttosto che al traferro, perche` altrimenti calcolare il momento generato dalla tensioni tangenziali diventa assurdo, tocca fare un prodotto vettoriale non banale.. Mettendosi al centro della circonferenza, le tensioni tangenziali sono tutte perpendicolari al raggio, per definizione.
Innanzitutto mille grazie per la risposta. Mi hai chiarito subito il problema, e difatti ora ha tutto molto più senso.
Vorrei solo analizzare un paio di cose:
Per quanto riguarda $I_x$ del primo pezzo ( tratto verticale ), la distanza dal baricentro all'asse $x$, non è proprio $l/2$?
infatti, prendendo le formule del momento d'inerzia, ( lato parallelo all'asse * lato perpendicolare all'asse^3 / 12 + area* distanza ^2 ) abbiamo che $s$ è il lato parallelo all'asse $x$ in questo caso, $l$ è il lato perpendicolare, che va al cubo, e per huygens-steiner l'area sarà $l*s$ mentre la distanza del baricentro all'asse sarà $l/2$, ovviamente al quadrato
per il tratto orizzontale invece avremo $l$ = tratto parallelo, $s$ = tratto perpendicolare che va al cubo ( quindi si può trascurare tale contributo) e rimane solo il contributo del teorema di steiner, ossia $l*s$ = l'area, mentre $l$ è la distanza tra il baricentro del tratto e l'asse $x$
aggiungo il contributo del tratto curvilineo che tu hai calcolato $l^3 * s * \pi/2$, aggiungo il contributo del teorema di steiner $s*l* \pi/4$ = area del quarto di circonferenza e lo moltiplico per la distanza al quadrato, che dovrebbe essere ( correggimi se sbaglio ) $l*sqrt2/2$
così il nostro $I_x=2⋅((l^3*s/12)+(l^3*s/4)+(l^3*s)+(l^3 * s * \pi/2) + (l^2*sqrt2*s* \pi/8))$ dal quale ho tolto il contributo orizzontale il quale è trascurabile
Risolto quel dubbio, fin qui non dovrebbero esserci problemi
Affronto ora il secondo punto, che mi ha dato molto da riflettere: in effetti, mettendo il polo sul tratto verticale lascia non pochi problemi.. mentre, calcolando nel punto $O$, il prodotto scalare tra la forza $R=\int_lambda\tau(\xi_3) * dA$ e il braccio $b$ qualunque è sempre nullo.. così si può evitare addirittura di calcolare il momento statico $S_x$ per quei due tratti, calcolando solo quello del tratto verticale che ha braccio $b=l/2$
Torna tutto ora?
per il resto, so che la cordinata $X_(CT)$ ( $CT$ = centro di taglio) sarà $T_y*X_(CT) = \sum_(i=1)^N R_i *b_i$, prendendo sia $R_i$ e $b_i$ in modulo e vedendo se creano un momento orario o antiorario, avendo preso come riferimento una terna destrorsa.
Grazie ancora
Vorrei solo analizzare un paio di cose:
Per quanto riguarda $I_x$ del primo pezzo ( tratto verticale ), la distanza dal baricentro all'asse $x$, non è proprio $l/2$?
infatti, prendendo le formule del momento d'inerzia, ( lato parallelo all'asse * lato perpendicolare all'asse^3 / 12 + area* distanza ^2 ) abbiamo che $s$ è il lato parallelo all'asse $x$ in questo caso, $l$ è il lato perpendicolare, che va al cubo, e per huygens-steiner l'area sarà $l*s$ mentre la distanza del baricentro all'asse sarà $l/2$, ovviamente al quadrato
per il tratto orizzontale invece avremo $l$ = tratto parallelo, $s$ = tratto perpendicolare che va al cubo ( quindi si può trascurare tale contributo) e rimane solo il contributo del teorema di steiner, ossia $l*s$ = l'area, mentre $l$ è la distanza tra il baricentro del tratto e l'asse $x$
aggiungo il contributo del tratto curvilineo che tu hai calcolato $l^3 * s * \pi/2$, aggiungo il contributo del teorema di steiner $s*l* \pi/4$ = area del quarto di circonferenza e lo moltiplico per la distanza al quadrato, che dovrebbe essere ( correggimi se sbaglio ) $l*sqrt2/2$
così il nostro $I_x=2⋅((l^3*s/12)+(l^3*s/4)+(l^3*s)+(l^3 * s * \pi/2) + (l^2*sqrt2*s* \pi/8))$ dal quale ho tolto il contributo orizzontale il quale è trascurabile
Risolto quel dubbio, fin qui non dovrebbero esserci problemi
Affronto ora il secondo punto, che mi ha dato molto da riflettere: in effetti, mettendo il polo sul tratto verticale lascia non pochi problemi.. mentre, calcolando nel punto $O$, il prodotto scalare tra la forza $R=\int_lambda\tau(\xi_3) * dA$ e il braccio $b$ qualunque è sempre nullo.. così si può evitare addirittura di calcolare il momento statico $S_x$ per quei due tratti, calcolando solo quello del tratto verticale che ha braccio $b=l/2$
Torna tutto ora?
per il resto, so che la cordinata $X_(CT)$ ( $CT$ = centro di taglio) sarà $T_y*X_(CT) = \sum_(i=1)^N R_i *b_i$, prendendo sia $R_i$ e $b_i$ in modulo e vedendo se creano un momento orario o antiorario, avendo preso come riferimento una terna destrorsa.
Grazie ancora
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