[Scienza delle Costruzioni] Caratteristiche sollecitazione
Ciao a tutti,
sono alle prese con un esercizio di Scienza delle Costruzioni, in particolare questo:
sono riuscito a trovare le reazioni vincolari che scrivo qui di seguito:
$ Ma=M $
$ Va=M/l $
$ Vb=M/l $
$ Vc=M/l $
$ Md=M $
con Ma intendo la reazione vincolare dell'incastro, ovvero una coppia (o un momento)
con Md intendo la reazione vincolare del doppio pendolo
con Va intendo la reazione vincolare dell'incastro, ovvero una forza verticale diretta verso il basso
con Vb intendo la reazione vincolare complessiva della cerniera (che nei calcoli ho comunque suddiviso in Vb' e Vb'', reazioni vincolari uguali ed opposte, riferite rispettivamente al primo corpo rigido e al secondo corpo rigido)
con Vc intendo la reazione vincolare del carrello, ovvero una forza verticale diretta verso l'alto
con Mintendo la coppia concentrata applicata all'estremo libero G di destra
Il problema è trovare le caratteristiche della sollecitazione.
Suddivido la trave in tre parti, AB, CD, DG.
Per il primo tratto AB ottengo, impostando il punto di partenza dell'ascissa z da A, dove è presente l'incastro:
$\{(N=0), (T+Va+Vb'=0), (M-Ma+Va*z=0):}$
Per l'ultimo tratto DG ottengo, impostanzo il punto di partenza dell'ascissa z' da G, dove è presente l'estremo libero:
$\{(N=0), (T=0), (M=0):}$
Tuttavia non mi trovo con i diagrammi disegnati nella soluzione dell'esercizio, dove sbaglio?
sono alle prese con un esercizio di Scienza delle Costruzioni, in particolare questo:
sono riuscito a trovare le reazioni vincolari che scrivo qui di seguito:
$ Ma=M $
$ Va=M/l $
$ Vb=M/l $
$ Vc=M/l $
$ Md=M $
con Ma intendo la reazione vincolare dell'incastro, ovvero una coppia (o un momento)
con Md intendo la reazione vincolare del doppio pendolo
con Va intendo la reazione vincolare dell'incastro, ovvero una forza verticale diretta verso il basso
con Vb intendo la reazione vincolare complessiva della cerniera (che nei calcoli ho comunque suddiviso in Vb' e Vb'', reazioni vincolari uguali ed opposte, riferite rispettivamente al primo corpo rigido e al secondo corpo rigido)
con Vc intendo la reazione vincolare del carrello, ovvero una forza verticale diretta verso l'alto
con Mintendo la coppia concentrata applicata all'estremo libero G di destra
Il problema è trovare le caratteristiche della sollecitazione.
Suddivido la trave in tre parti, AB, CD, DG.
Per il primo tratto AB ottengo, impostando il punto di partenza dell'ascissa z da A, dove è presente l'incastro:
$\{(N=0), (T+Va+Vb'=0), (M-Ma+Va*z=0):}$
Per l'ultimo tratto DG ottengo, impostanzo il punto di partenza dell'ascissa z' da G, dove è presente l'estremo libero:
$\{(N=0), (T=0), (M=0):}$
Tuttavia non mi trovo con i diagrammi disegnati nella soluzione dell'esercizio, dove sbaglio?
Risposte
Ciao.
Io ti consiglierei di suddividere la trave secondo le discontinuità che presenta:
$AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EG$.
Il metodo con cui procedi credo sia quello "classico", ovvero: fai una sezione che taglia il tratto che stai considerando in un punto arbitrario e guardi o a destra o a sinistra della sezione fatta.
Procedi così?
Io ti consiglierei di suddividere la trave secondo le discontinuità che presenta:
$AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EG$.
Il metodo con cui procedi credo sia quello "classico", ovvero: fai una sezione che taglia il tratto che stai considerando in un punto arbitrario e guardi o a destra o a sinistra della sezione fatta.
Procedi così?
Esatto, procedo così guardando a sinistra della sezione che faccio in questo caso, visto che imposto l'ascissa z partendo da sinistra, dove è presente l'incastro nel punto A.
Tuttavia non capisco se considerare anche le reazioni vincolari nella sezione di taglio, o non considerarle come se mi fermassi un pelo prima della "discontinuità".
Inoltre, nell'effettuare i tagli successivi devo considerare anche le forze che ci sono nei tratti precedenti?
Ad esempio, operando sul tratto CD dove si effettua una sezione di taglio e si guarda a sinistra, devo considerare oltre alle forze che agiscono su questo tratto anche le forze che agiscono nei tratti AB e BC?
Tuttavia non capisco se considerare anche le reazioni vincolari nella sezione di taglio, o non considerarle come se mi fermassi un pelo prima della "discontinuità".
Inoltre, nell'effettuare i tagli successivi devo considerare anche le forze che ci sono nei tratti precedenti?
Ad esempio, operando sul tratto CD dove si effettua una sezione di taglio e si guarda a sinistra, devo considerare oltre alle forze che agiscono su questo tratto anche le forze che agiscono nei tratti AB e BC?
Se guardi a sinistra (e quindi è come se rimuovessi tutta la parte destra di struttura) l'unica forza che vedi che contribuisce al taglio è la reazione verticale dell'incastro, quindi:
$T(x)_("sx") = - V_("A")$
$T(x)_("sx") = - V_("A")$
Fin qui ci ero arrivato, proviamo ad analizzare il secondo tratto BC, qui avrò ancora una volta la forza verticale dell'incastro che contribuisce all'incastro in quanto le reazioni vincolari interne della cerniera si annullano fra di loro giusto?
Analizzando il tratto CD, al taglio contribuisce anche la reazione vincolare Vc del carrello, oltre a Va giusto? (ho guardato sempre a sinistra della sezione, considerando però anche le forze che agiscono sui tratti AB e BC)
Analizzando il tratto CD, al taglio contribuisce anche la reazione vincolare Vc del carrello, oltre a Va giusto? (ho guardato sempre a sinistra della sezione, considerando però anche le forze che agiscono sui tratti AB e BC)
"Alexander92":
Fin qui ci ero arrivato, proviamo ad analizzare il secondo tratto BC, qui avrò ancora una volta la forza verticale dell'incastro che contribuisce all'incastro in quanto le reazioni vincolari interne della cerniera si annullano fra di loro giusto?
Eh...no. Nel tratto $BC$ se guardi sempre a sinistra, ti devi fermare alla cerniera interna, perché la trave presenta una discontinuità materica. Dunque avrai:
$T(x)_("sx") = - V_("B")$.
Non devi oltrepassare la cerniera quindi non sono da considerare le reazioni all'incastro. Questo discorso vale naturalmente tutte le volte che incontri un vincolo interno.
Grazie per la risposta. Per quanto riguarda la reazione del carrello nel tratto BC non la considero perchè è come se mi fossi fermato un pelo prima di questo vincolo esterno, giusto?
Analizzando il tratto CD, avrò per il taglio $T=Vc$ e per il momento $M-Vc*z+M''d=0$ giusto? Considerando M qui come momento flettente.
Analizzando il tratto DE, avrò per il taglio $T=0$ e per il momento $M+Md'''=0$.
Analizzando il tratto EG, avrò per il taglio $T=0$ e per il momento $ M-Mg+Md'''=0 $, considerando qui Mg la coppia concentrata applicata in G. Ho considerato anche le forze che erano oltre E, andando verso sinistra, in quanto non c'è discontinuità materiale in E.
Dimmi se sbaglio qualcosa.
Analizzando il tratto CD, avrò per il taglio $T=Vc$ e per il momento $M-Vc*z+M''d=0$ giusto? Considerando M qui come momento flettente.
Analizzando il tratto DE, avrò per il taglio $T=0$ e per il momento $M+Md'''=0$.
Analizzando il tratto EG, avrò per il taglio $T=0$ e per il momento $ M-Mg+Md'''=0 $, considerando qui Mg la coppia concentrata applicata in G. Ho considerato anche le forze che erano oltre E, andando verso sinistra, in quanto non c'è discontinuità materiale in E.
Dimmi se sbaglio qualcosa.
"Alexander92":
Per quanto riguarda la reazione del carrello nel tratto BC non la considero perchè è come se mi fossi fermato un pelo prima di questo vincolo esterno, giusto?
E' giusto che non la devi considerare, ma non perché ti sei fermato un pelo prima. La sezione, essendo arbitraria, la fai in un punto qualsiasi del tratto. Non la consideri perché se guardi a sinistra non la vedi, mentre se guardavi a destra la vedevi.
Per il tratto $CD$ e seguenti, non ho capito cosa intendi con $M''d$...
"JoJo_90":
E' giusto che non la devi considerare, ma non perché ti sei fermato un pelo prima. La sezione, essendo arbitraria, la fai in un punto qualsiasi del tratto. Non la consideri perché se guardi a sinistra non la vedi, mentre se guardavi a destra la vedevi.
Vale sempre per ogni tratto che analizzo questa regola, fermarsi sempre un pelo prima di un vincolo interno o di una discontinuità materiale?
"JoJo_90":
Per il tratto $CD$ e seguenti, non ho capito cosa intendi con $M''d$...
Con $Md''$ intendo la reazione del doppio pendolo che si esplica attraverso un momento orario sul secondo corpo rigido ovvero sul tratto BD. Con $Md'''$ intendo la reazione del doppio pendolo che agisce sul terzo corpo rigido ovvero sul tratto DG, ovvero un momento antiorario di uguale modulo a quello precedente.
"Alexander92":
Vale sempre per ogni tratto che analizzo questa regola, fermarsi sempre un pelo prima di un vincolo interno o di una discontinuità materiale?
Si, ti fermi prima di un vincolo interno, ma anche se ci sono carichi concentrati (forze o coppie), perché essi provocano una discontinuità nelle leggi delle sollecitazioni, anche se non vi è discontinuità materica dovuta a vincoli.
"Alexander92":
Con $M''d$ intendo la reazione del doppio pendolo che si esplica attraverso un momento orario sul secondo corpo rigido ovvero sul tratto BD.
Tale reazione la vedi se guardi a destra, mentre se guardi a sinistra della sezione no; in tal caso vedresti il momento dato dalla reazione del carrello e il momento dato dalla reazione della cerniera interna.
In pratica, a sinistra e a destra, hai i momenti:
$M(x)_("sx") = - V_("B")z + V_("C")(z-l)$
$M(x)_("dx") = - M_("D")^(II)$
considerando l'origine delle $z$ posta in $B$.
In base a questo che hai scritto:
"Alexander92":
Analizzando il tratto CD, avrò per il taglio $T=Vc$ e per il momento $M-Vc*z + M''d=0$ giusto? Considerando M qui come momento flettente.
c'è quindi qualcosa che non và nel momento, perché hai scritto sia il momento dato dalla $V_("C")$ sia il momento del bipendolo $M_("D")^(II)$. Questi due momenti non li puoi vedere "contemporaneamente", perché se guardi a sinistra non vedi il momento del bipendolo e viceversa. Non so se mi sono spiegato.
"JoJo_90":
Tale reazione la vedi se guardi a destra, mentre se guardi a sinistra della sezione no; in tal caso vedresti il momento dato dalla reazione del carrello e il momento dato dalla reazione della cerniera interna.
In pratica, a sinistra e a destra, hai i momenti:
$M(x)_("sx") = - V_("B")z + V_("C")(z-l)$
$M(x)_("dx") = - M_("D")^(II)$
considerando l'origine delle $z$ posta in $B$
Come mai hai moltiplicato per la lunghezza $(z-l)$ la seguente espressione $V_("C")(z-l)$? Non è semplicemente $z $, considerando che z può variare da 0 a 2l se poniamo come origine delle $z $ in $B $?
"JoJo_90":
c'è quindi qualcosa che non và nel momento, perché hai scritto sia il momento dato dalla $V_("C")$ sia il momento del bipendolo $M_("D")^(II)$. Questi due momenti non li puoi vedere "contemporaneamente", perché se guardi a sinistra non vedi il momento del bipendolo e viceversa. Non so se mi sono spiegato.
Ho capito, riscrivo quello che ho scritto qualche post precedente per verificarne la correttezza:
Analizzando il tratto DE, avrò per il taglio $T=0$ e per il momento $M+Md'''=0$.
Analizzando il tratto EG, avrò per il taglio $T=0$ e per il momento $ M-Mg+Md'''=0 $, considerando qui Mg la coppia concentrata applicata in G. Ho considerato anche le forze che erano oltre E, andando verso sinistra, in quanto non c'è discontinuità materiale in E.
"Alexander92":
Come mai hai moltiplicato per la lunghezza $ (z-l) $ la seguente espressione $ V_("C")(z-l) $? Non è semplicemente $ z $, considerando che z può variare da 0 a 2l se poniamo come origine delle $ z $ in $ B $?
Posto un'immagine così forse è più chiaro:
Il braccio della reazione $V_("C")$ è $(z - l)$, mentre $z$ è il braccio della reazione $V_("B")^(II)$.
Per i tratti $DE$ ed $EG$ da quale parte hai guardato?
Chiarissimo! Comunque per i tratti $DE $ ed $EG $ ho sempre guardato a sinistra della sezione di taglio.
Allora, se hai guardato a sinistra, nell'ultimo tratto non vedi la coppia concentrata in $G$. La vedi se guardi a destra.
Il tratto $DE$ invece va bene.
Il tratto $DE$ invece va bene.
Ti ringrazio ancora per la risposta.
In definitiva, le caratteristiche della sollecitazione saranno, considerando sempre come origine dell'ascissa z il punto A e con $ Mg $ la coppia concentrata applicata in G:
Tratto $ AB $
$\{(N=0), (T=-(Mg)/l), (M=Mg-Mg*z/l):}$
Tratto $ BC $
$\{(N=0), (T=-(Mg)/l), (M=-(Mg)*(z-l)/l):}$
Tratto $ CD $
$\{(N=0), (T=0), (M=(Mg)*(z-2l)/l - (Mg)*(z-l)/l = -Mg):}$
Tratto $ DE $
$\{(N=0), (T=0), (M=-Mg):}$
Tratto $ EG $
$\{(N=0), (T=0), (M=-Mg):}$
Mi sono usciti sia il diagramma del taglio che quello del momento flettente come nella soluzione del libro. Per determinare le fibre tese, ho adottato la convenzione del concio, come nella figura che ho postato, dove la punteggiata sotto sta a indicare le fibre tese. Pertanto, laddove ho un momento positivo, disegnerò il diagramma del momento sotto, in quanto le fibre tese sono quelle inferiori, mentre se ho un momento negativo, disegnerò il dagramma del momento sopra, in quanto le fibre tese sono quelle superiori. Correggetemi se sbaglio.
Tuttavia vorrei capire meglio il discorso delle fibre tese, come posso determinarle ad occhio, senza effettuare calcoli?
Inoltre se volessi disegnare la deformata elastica, come dovrei procedere?
In definitiva, le caratteristiche della sollecitazione saranno, considerando sempre come origine dell'ascissa z il punto A e con $ Mg $ la coppia concentrata applicata in G:
Tratto $ AB $
$\{(N=0), (T=-(Mg)/l), (M=Mg-Mg*z/l):}$
Tratto $ BC $
$\{(N=0), (T=-(Mg)/l), (M=-(Mg)*(z-l)/l):}$
Tratto $ CD $
$\{(N=0), (T=0), (M=(Mg)*(z-2l)/l - (Mg)*(z-l)/l = -Mg):}$
Tratto $ DE $
$\{(N=0), (T=0), (M=-Mg):}$
Tratto $ EG $
$\{(N=0), (T=0), (M=-Mg):}$
Mi sono usciti sia il diagramma del taglio che quello del momento flettente come nella soluzione del libro. Per determinare le fibre tese, ho adottato la convenzione del concio, come nella figura che ho postato, dove la punteggiata sotto sta a indicare le fibre tese. Pertanto, laddove ho un momento positivo, disegnerò il diagramma del momento sotto, in quanto le fibre tese sono quelle inferiori, mentre se ho un momento negativo, disegnerò il dagramma del momento sopra, in quanto le fibre tese sono quelle superiori. Correggetemi se sbaglio.
Tuttavia vorrei capire meglio il discorso delle fibre tese, come posso determinarle ad occhio, senza effettuare calcoli?
Inoltre se volessi disegnare la deformata elastica, come dovrei procedere?
Ciò che io personalmente ritengo un buon metodo è quello di rappresentare per ogni tratto di struttura(nel tuo caso $AB$,$BC$,$CD$,$DE$ e $EG$) le azioni interne (N,T,M), alcune note e alcune che inevitabilmente dovranno nascere per equilibrare il tratto.
In questo modo hai la totale definizione delle azioni, e da qui è un attimo visualizzare su ogni tratto quali sono le fibre tese e quelle compresse.
In questo modo hai la totale definizione delle azioni, e da qui è un attimo visualizzare su ogni tratto quali sono le fibre tese e quelle compresse.
"ELWOOD":
Ciò che io personalmente ritengo un buon metodo è quello di rappresentare per ogni tratto di struttura(nel tuo caso $AB$,$BC$,$CD$,$DE$ e $EG$) le azioni interne (N,T,M), alcune note e alcune che inevitabilmente dovranno nascere per equilibrare il tratto.
In questo modo hai la totale definizione delle azioni, e da qui è un attimo visualizzare su ogni tratto quali sono le fibre tese e quelle compresse.
I diagrammi del taglio e del momento flettente per l'intera struttura sono questi:
Il mio problema è capire dove sono le fibre tese, nel post precedente ho fatto riferimento alla convenzione del concio, ma esiste un altro modo per determinarlo intuitivamente?
Inoltre vorrei tracciare la deformata elastica della trave, anche se non è richiesto dal libro, e presumo che bisogna guardare il diagramma dei momenti in quanto mi dice dove sono le fibre tese. Qualcuno sa dirmi qualcosa in più?
Grazie
"Alexander92":
Il mio problema è capire dove sono le fibre tese, nel post precedente ho fatto riferimento alla convenzione del concio, ma esiste un altro modo per determinarlo intuitivamente?
Se tu intendi capire quali sono le fibre avendo già il diagramma del momento, la risposta è banalmente SI, in quanto come tu sai il momento è sempre disegnato dalla parte delle fibre tese (Per cui dal disegno che hai messo, nel primo tratto le fibre tese sono sotto e poi da $B$ in poi sono sopra).
Se altrimenti tu vuoi capire a priori quali sono le fibre per disegnare il grafico del momento, ti ripeto il metodo che utilizzo io è quello che ti ho descritto prima. Dalle azioni interne negli estremi dei tratti considerati capisci quali sono le fibre tese. Se ad esempio nell'estremo $A$ ottieni un momento orario significa che questo deformerà la trave tendendo le fibre inferiori comprimendo invece quelle superiori.
"Alexander92":
Inoltre vorrei tracciare la deformata elastica della trave, anche se non è richiesto dal libro, e presumo che bisogna guardare il diagramma dei momenti in quanto mi dice dove sono le fibre tese. Qualcuno sa dirmi qualcosa in più?
Grazie
Esattamente...quando sai quali sono le fibre tese è un attimo descrivere la deformata della trave, nei tratti in cui il momento è disegnato sotto la linea della trave, la deformata avrà una concavità rivolta verso l'alto, mentre se il momento è disegnato sopra la concavità della deformata sarà verso il basso.
Se non ti è abbastanza chiaro dimmi che quando ho un attimo provo a schizzartela.
Ciao
"ELWOOD":
Se altrimenti tu vuoi capire a priori quali sono le fibre per disegnare il grafico del momento, ti ripeto il metodo che utilizzo io è quello che ti ho descritto prima. Dalle azioni interne negli estremi dei tratti considerati capisci quali sono le fibre tese. Se ad esempio nell'estremo $A$ ottieni un momento orario significa che questo deformerà la trave tendendo le fibre inferiori comprimendo invece quelle superiori.
Quindi per ogni tratto di trave analizzo le azioni interne agli estremi (che potranno coincidere con le reazioni vincolari), per poter capire le fibre tese. Non capisco il discorso di momento orario=fibre tese inferiori.
"ELWOOD":
Esattamente...quando sai quali sono le fibre tese è un attimo descrivere la deformata della trave, nei tratti in cui il momento è disegnato sotto la linea della trave, la deformata avrà una concavità rivolta verso l'alto, mentre se il momento è disegnato sopra la concavità della deformata sarà verso il basso.
Se non ti è abbastanza chiaro dimmi che quando ho un attimo provo a schizzartela.
Ciao
Approssimativamente ho capito come viene la deformata, ma qui sono presenti la cerniera, il carrello e il doppio pendolo. Devo considerare che la cerniera deve rimanere fissa nella sua posizione, il carrello si può spostare in direzione orizzontale, mentre il doppio pendolo solo in direzione verticale, giusto?
Se puoi farmi uno schizzo, forse riuscirò a capire. Grazie!
"Alexander92":
Non capisco il discorso di momento orario=fibre tese inferiori.
Ecco un'immagine esplicativa di ciò che intendo:
"Alexander92":
Approssimativamente ho capito come viene la deformata, ma qui sono presenti la cerniera, il carrello e il doppio pendolo. Devo considerare che la cerniera deve rimanere fissa nella sua posizione, il carrello si può spostare in direzione orizzontale, mentre il doppio pendolo solo in direzione verticale, giusto?
Se puoi farmi uno schizzo, forse riuscirò a capire. Grazie!
Esatto, devi tener conto degli spostamenti cinematicamente ammissibili che ogni vincolo può esplicare, dei quali Jojo sicuramente può darti una spiegazione migliore.
In generale dal grafico del momento puoi schizzare la deformata grazie al rapporto lineare tra le due grandezze momento e curvatura:
Come vedi si può notare la proporzionalità. Fino a B la curvatura della deformata ha concavità verso l'alto, mentre poi la concavità e rivolta verso il basso lungo tutta la linea della trave.
ciao
...mi puzza un'pò sta deformata...soprattutto in prossimità di C e nel tratto DE!
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