[Scienza delle Costruzioni] Calcolo rotazione in struttura iperstatica
Buongiorno! :] Sulla falsa riga di un esercizio letto ieri qua sul forum, oggi propongo la mia risoluzione di un esercizio simile nelle richieste. Premetto che il mio dubbio è solo sull'ultimo punto, gli altri due credo che siano solo questione di azzeccare i conti 
Comunque riporto tutto così da discutere nel miglior modo possibile della terza comanda. Allego l'immagino qua di seguito
Dato che il sistema di travature dato è iperstatico, mi fiondo subito a trovare un sistema principale isostatico associato: inserisco una cerniera e 2 coppie $X_1$ in $B$.
Risolvo quindi il sistema $S_0$ costituito dal sistema principale privato delle coppie $X_1$. Riporto i risultati ottenuti, omettendo i conti (in caso siano errati posso poi aggiungerli in futuro
)
\[
\begin{cases}
V_E^0=6qL \\ M_E^0=-8qL^2 \\ H_E^0=-4qL \\ H_A^0=4qL \\ M_A^0=3qL^2
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
N_{AB}^0=0 \\ T_{AB}^0=2qx \\ M_{AB}^0=3qL^2-qx^2/2
\end{cases}
\begin{cases}
N_{BC}^0=2qL \\ T_{BC}^0=4qL \\ M_{BC}^0=4qLx+2qL^2
\end{cases}
\begin{cases}
N_{DC}^0=4qL \\ T_{DC}^0=-2qL \\ M_{DC}^0=2qLx
\end{cases}
\begin{cases}
N_{ED}^0=4qL \\ T_{ED}^0=2qx-6qL \\ M_{ED}^0=-qx^2+6qLx-8qL^2
\end{cases}
\]
Passo al sistema $S_1$ ottenuto eliminando tutti i carichi dal sistema principale e rendendo unitarie le coppie su $B$.
\[
\begin{cases}
V_E^I=0 \\ M_A^I=-1 \\ M_E^I=0 \\ H_A^I=-1/L \\ H_E^I=1/L
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
N_{AB}^I=1/L \\ T_{AB}^I=0 \\ M_{AB}^I=-1
\end{cases}
\begin{cases}
N_{BC}^I=0 \\ T_{BC}^I=-1/L \\ M_{BC}^I=1-x/L
\end{cases}
\begin{cases}
N_{DC}^I=-1/L \\ T_{DC}^I=0 \\ M_{DC}^I=0
\end{cases}
\begin{cases}
N_{ED}^I=-1/L \\ T_{ED}^I=0 \\ M_{ED}^I=0
\end{cases}
\]
Trovo allora $\eta_{10}$ integrando soltanto sui tratti $AB$ e $BC$ dato che altrove si ha $M^I(x)=0$. Successivamente calcolo pure $\eta_{11}$ e $X_1$ con la Muller-Breslau.
\[
\eta_{10}=\frac{1}{EJ}\Big(\int_0^L(qx^2/2-3qL^2)dx+\int_0^L(4qLx+2qL^2)(1-x/L)dx\Big)=-\frac{7}{6EJ}qL^3
\]
\[
\eta_{11}=\frac{1}{EJ} \Big(\int_0^L(-1)^2dx + \int_0^L(1-x/L)^2dx \Big)=\frac{4}{3EJ}L
\]
\[
X_1=-\eta_{10}/\eta_{11}=\frac{7}{8}qL^2
\]
Calcolo ora le reazioni vincolari effettive e pure le caratteristiche effettive, di queste ultime riporto solo i momenti. Utilizzo la sovrapposizione degli effetti: $R^{eff}=R^0+X_1R_1$.
\[
\begin{cases}
H_E=-(25/8)qL \\ M_E=-8qL^2 \\ V_E=6qL \\ H_A=(25/8)qL \\ M_A=(17/8)qL^2
\end{cases}
\begin{cases}
M_{AB}=-qx^2/2+(17/8)qL^2 \\ M_{BC}=(25/8)qLx+(23/8)qL^2 \\ M_{DC}=2qLx \\ M_{ED}=-qx^2+6qLx-8qL^2
\end{cases}
\]
Per il terzo punto, ho provato ad isolare una parte di struttura nel modo seguente, figura $(2)$:
Trovando, imponendo l'equilibrio della porzione isolata, $V_D=2qL$ e $H_D=(25/8)qL$. Per utilizzare il teorema dei lavori virtuali, definisco il sistema esploratore $(3)$, calcolando $M_{AB}^u(x)=-1$ e tutti gli altri momenti flettenti nulli. Quindi utilizzo il TLV:
\[
\phi_B= \frac{1}{EJ} \Big( \int_0^L M_{AB} \cdot M_{AB}^u dx \Big) =\frac{1}{EJ} \Big( \int_0^L(-qx^2/2 + (17/8)qL^2)(-1)dx \Big)=-\frac{47}{24}\frac{qL^3}{EJ}
\]
Concludendo così l'esercizio. Può andare? Se volessi fare una verifica con il teorema di Castigliano, come dovrei procedere?
Grazie per la lettura !! :]
Comunque riporto tutto così da discutere nel miglior modo possibile della terza comanda. Allego l'immagino qua di seguito
Dato che il sistema di travature dato è iperstatico, mi fiondo subito a trovare un sistema principale isostatico associato: inserisco una cerniera e 2 coppie $X_1$ in $B$.
Risolvo quindi il sistema $S_0$ costituito dal sistema principale privato delle coppie $X_1$. Riporto i risultati ottenuti, omettendo i conti (in caso siano errati posso poi aggiungerli in futuro
)\[
\begin{cases}
V_E^0=6qL \\ M_E^0=-8qL^2 \\ H_E^0=-4qL \\ H_A^0=4qL \\ M_A^0=3qL^2
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
N_{AB}^0=0 \\ T_{AB}^0=2qx \\ M_{AB}^0=3qL^2-qx^2/2
\end{cases}
\begin{cases}
N_{BC}^0=2qL \\ T_{BC}^0=4qL \\ M_{BC}^0=4qLx+2qL^2
\end{cases}
\begin{cases}
N_{DC}^0=4qL \\ T_{DC}^0=-2qL \\ M_{DC}^0=2qLx
\end{cases}
\begin{cases}
N_{ED}^0=4qL \\ T_{ED}^0=2qx-6qL \\ M_{ED}^0=-qx^2+6qLx-8qL^2
\end{cases}
\]
Passo al sistema $S_1$ ottenuto eliminando tutti i carichi dal sistema principale e rendendo unitarie le coppie su $B$.
\[
\begin{cases}
V_E^I=0 \\ M_A^I=-1 \\ M_E^I=0 \\ H_A^I=-1/L \\ H_E^I=1/L
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
N_{AB}^I=1/L \\ T_{AB}^I=0 \\ M_{AB}^I=-1
\end{cases}
\begin{cases}
N_{BC}^I=0 \\ T_{BC}^I=-1/L \\ M_{BC}^I=1-x/L
\end{cases}
\begin{cases}
N_{DC}^I=-1/L \\ T_{DC}^I=0 \\ M_{DC}^I=0
\end{cases}
\begin{cases}
N_{ED}^I=-1/L \\ T_{ED}^I=0 \\ M_{ED}^I=0
\end{cases}
\]
Trovo allora $\eta_{10}$ integrando soltanto sui tratti $AB$ e $BC$ dato che altrove si ha $M^I(x)=0$. Successivamente calcolo pure $\eta_{11}$ e $X_1$ con la Muller-Breslau.
\[
\eta_{10}=\frac{1}{EJ}\Big(\int_0^L(qx^2/2-3qL^2)dx+\int_0^L(4qLx+2qL^2)(1-x/L)dx\Big)=-\frac{7}{6EJ}qL^3
\]
\[
\eta_{11}=\frac{1}{EJ} \Big(\int_0^L(-1)^2dx + \int_0^L(1-x/L)^2dx \Big)=\frac{4}{3EJ}L
\]
\[
X_1=-\eta_{10}/\eta_{11}=\frac{7}{8}qL^2
\]
Calcolo ora le reazioni vincolari effettive e pure le caratteristiche effettive, di queste ultime riporto solo i momenti. Utilizzo la sovrapposizione degli effetti: $R^{eff}=R^0+X_1R_1$.
\[
\begin{cases}
H_E=-(25/8)qL \\ M_E=-8qL^2 \\ V_E=6qL \\ H_A=(25/8)qL \\ M_A=(17/8)qL^2
\end{cases}
\begin{cases}
M_{AB}=-qx^2/2+(17/8)qL^2 \\ M_{BC}=(25/8)qLx+(23/8)qL^2 \\ M_{DC}=2qLx \\ M_{ED}=-qx^2+6qLx-8qL^2
\end{cases}
\]
Per il terzo punto, ho provato ad isolare una parte di struttura nel modo seguente, figura $(2)$:
Trovando, imponendo l'equilibrio della porzione isolata, $V_D=2qL$ e $H_D=(25/8)qL$. Per utilizzare il teorema dei lavori virtuali, definisco il sistema esploratore $(3)$, calcolando $M_{AB}^u(x)=-1$ e tutti gli altri momenti flettenti nulli. Quindi utilizzo il TLV:
\[
\phi_B= \frac{1}{EJ} \Big( \int_0^L M_{AB} \cdot M_{AB}^u dx \Big) =\frac{1}{EJ} \Big( \int_0^L(-qx^2/2 + (17/8)qL^2)(-1)dx \Big)=-\frac{47}{24}\frac{qL^3}{EJ}
\]
Concludendo così l'esercizio. Può andare? Se volessi fare una verifica con il teorema di Castigliano, come dovrei procedere?
Grazie per la lettura !! :]
Risposte
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Innanzitutto ti voglio ringraziare davvero tanto per la disponibilità e per la pazienza!
Effettivamente avevo sbagliato un conticino, però dopo aver corretto pure a me è tornato $X_1=(1/4)qL^2$. Riguardo alla rotazione, ho capito dove avevo sbagliato: stavo ancora considerando la struttura iperstatica anziché dimenticarmela ed utilizzare l'isostatica associata! L'uso del teorema di Castigliano qua è essenzialmente equivalente al metodo che avevo scritto nel post di ieri o sbaglio (penultimo messaggio)? https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=226274&start=20
Infatti ripercorrendo lo stesso flusso logico ottengo i medesimi risultati. Se però avessi preso $M_{AB}(x)$ anziché $M_{BA}$ non avrei ottenuto la stessa cosa, così mi risulta una rotazione di:
\[
\phi_B \cdot EJ=\int_0^L (-qx^2+(11/4)qL^2)(-1)dx=-\frac{29}{12}qL^3
\]
C'è per caso un verso di percorrenza obbligato?
Effettivamente avevo sbagliato un conticino, però dopo aver corretto pure a me è tornato $X_1=(1/4)qL^2$. Riguardo alla rotazione, ho capito dove avevo sbagliato: stavo ancora considerando la struttura iperstatica anziché dimenticarmela ed utilizzare l'isostatica associata! L'uso del teorema di Castigliano qua è essenzialmente equivalente al metodo che avevo scritto nel post di ieri o sbaglio (penultimo messaggio)? https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=226274&start=20
Infatti ripercorrendo lo stesso flusso logico ottengo i medesimi risultati. Se però avessi preso $M_{AB}(x)$ anziché $M_{BA}$ non avrei ottenuto la stessa cosa, così mi risulta una rotazione di:
\[
\phi_B \cdot EJ=\int_0^L (-qx^2+(11/4)qL^2)(-1)dx=-\frac{29}{12}qL^3
\]
C'è per caso un verso di percorrenza obbligato?
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Ahh sìsì perfettissimo !! Devo stare molto più attento nei conti sennò non tornano neppure per Natale del prossimo prossimo anno xD
Però son felice che mi hai trasmesso il concetto, grazie ancora :]]
Però son felice che mi hai trasmesso il concetto, grazie ancora :]]
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